胡良平

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會聯(lián)合會臨床科研統(tǒng)計學(xué)專業(yè)委員會，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在自然界中，有一系列看起來彼此互不相干的隨機(jī)變量，它們卻遵從同一種分布規(guī)律。例如在單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)；在一定人群中某種患病率很低的非傳染性疾病的患病數(shù)或死亡數(shù)等，這些“稀有事件”的發(fā)生次數(shù)常遵從一種被稱為“Poisson分布”的概率分布。本文將簡要介紹與該分布有關(guān)的主要內(nèi)容，并結(jié)合精神衛(wèi)生領(lǐng)域中的實(shí)例，介紹Poisson分布的具體應(yīng)用方法以及基于SAS實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分析的技巧。

1 Poisson分布簡介

1.1 Poisson分布

Poisson分布規(guī)律是由法國數(shù)學(xué)家Simeon Denis Poisson于1837年發(fā)現(xiàn)，故稱為Poisson分布［1-3］。

1.2 Poisson分布的適用場合

Poisson分布常用于描述單位時間內(nèi)或指定范圍（平面或空間）內(nèi)罕見“質(zhì)點(diǎn)”總數(shù)的隨機(jī)分布規(guī)律，常用于下列醫(yī)學(xué)研究場合：①研究細(xì)菌、血細(xì)胞等單位面積（容積）內(nèi)計數(shù)的分布；②人群中某些發(fā)病率很低的傳染病的患病人數(shù)或死亡人數(shù)的分布；③人群中某些惡性腫瘤的患病人數(shù)或死亡人數(shù)的分布；④放射醫(yī)學(xué)中放射性核素計數(shù)的分布；⑤某些疾病的地區(qū)或家族聚集性家庭數(shù)的分布；⑥癲癇患者治療出院后在未來一年內(nèi)癲癇發(fā)作次數(shù)的分布等。諸如此類“稀有事件”發(fā)生次數(shù)的分布規(guī)律的研究都可應(yīng)用Poisson分布。

1.3 Poisson分布的定義

若離散型隨機(jī)變量X的取值為非負(fù)整數(shù)，且相應(yīng)的概率函數(shù)［4］為：

則稱隨機(jī)變量X服從Poisson分布，記作X～P(λ)。其中，λ為服從Poisson分布的隨機(jī)變量X的均值，同時也是其方差。

1.4 Poisson分布的性質(zhì)

Poisson分布具有很多優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，包括：該分布的均值等于其方差；該分布具有可加性（即多個服從Poisson分布的隨機(jī)變量之和仍然服從Poisson分布）；當(dāng)其均值趨向無窮大時，分布趨向于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。因篇幅所限，其他性質(zhì)從略。

2 兩Poisson均值比較的要領(lǐng)及SAS實(shí)現(xiàn)

2.1 問題與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

【例1】文獻(xiàn)［5］的目的是探討卒中類型、卒中部位與卒中后癲癇的多因素關(guān)系，為卒中后癲癇的防治提供參考。以1 804例卒中患者為研究對象，收集其性別、年齡、卒中類型、卒中部位、卒中后癲癇發(fā)生的時間等資料，根據(jù)卒中后是否發(fā)生癲癇，將患者分為卒中后無癲癇組（n=1 487）和卒中后癲癇組（n=317），分析卒中后癲癇發(fā)作的危險因素。本例以文獻(xiàn)［5］中卒中后出現(xiàn)癲癇的317例患者為研究對象，其中，早發(fā)性癲癇為141例，遲發(fā)性癲癇為176例。試探索卒中后早發(fā)性癲癇人數(shù)是否一定低于遲發(fā)性癲癇人數(shù)。

【例2】已知文獻(xiàn)［5］中卒中后早發(fā)性癲癇患者共有141例，其中，男性98例，女性43例。試探索卒中后早發(fā)性癲癇患者中男性人數(shù)是否一定高于女性人數(shù)。

【例3】已知文獻(xiàn)［5］中卒中類型為“額葉、顳葉”的患者卒中后出現(xiàn)癲癇的患者共有38例，其中，早發(fā)性癲癇為24例，遲發(fā)性癲癇為14例。試探索卒中后早發(fā)性癲癇人數(shù)與遲發(fā)性癲癇人數(shù)之間的差別是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。

2.2 兩Poisson均值比較的四要素

2.2.1 四要素之簡介

在進(jìn)行兩Poisson均值的比較時，涉及到下列四個要素，即“檢驗(yàn)假設(shè)（包括H0和H1）”“前提條件”“Z檢驗(yàn)統(tǒng)計量”和“拒絕域”。由于這四個方面存在著密切的聯(lián)系，需將它們合并在一起進(jìn)行論述。

2.2.2 四要素之概述

兩Poisson均值比較的四要素可以概括為下面的表格［6］，見表1。

表1 兩Poisson均值比較的四要素

表1中的式（2）～式（5）如下：

式（2）和式（3）中定義的“檢驗(yàn)統(tǒng)計量（隨機(jī)變量）”服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.2.3 分析方法的合理選擇

根據(jù)例1中已知的條件，可假定患癲癇病的人數(shù)近似服從Poisson分布。且因X1=141＜X2=176，希望得出它們對應(yīng)的總體均值“λ1＜λ2”（屬于備擇假設(shè)）的結(jié)論，故本例屬于“下單側(cè)檢驗(yàn)”問題。

根據(jù)例2中已知的條件，可假定患癲癇病的人數(shù)近似服從Poisson分布。且因X1=98＞X2=43，希望得出它們對應(yīng)的總體均值“λ1＞λ2”（屬于備擇假設(shè)）的結(jié)論，故本例屬于“上單側(cè)檢驗(yàn)”問題。

根據(jù)例3中已知的條件，可假定患癲癇病的人數(shù)近似服從Poisson分布；進(jìn)一步還假定早發(fā)性癲癇人數(shù)與遲發(fā)性癲癇人數(shù)對應(yīng)的總體均值不等（屬于備擇假設(shè)）的結(jié)論，故本例屬于“雙側(cè)檢驗(yàn)”問題。

2.3 兩Poisson均值比較的SAS實(shí)現(xiàn)

SAS程序如下：

【程序說明】前7行是注釋語句（即用“*”開頭），第8和第9行為例1的數(shù)據(jù)，即現(xiàn)在是計算例1中的數(shù)據(jù)。若希望計算例2中的數(shù)據(jù)，就需要用第3和第4行替換第8和第9行（應(yīng)刪除開頭的“*”）；若希望計算例3中的數(shù)據(jù)，就需要用第5和第6行替換第8和第9行（應(yīng)刪除開頭的“*”）。

【SAS主要輸出結(jié)果及解釋】

以上為例1的輸出結(jié)果，因例1屬于“下單側(cè)檢驗(yàn)問題”。下單側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果的判定：若z＜za，則接受（H1：λ1＜λ2）；否則，就接受（H0：λ1≥λ2）；PL為下單側(cè)概率。又因z=-1.96580＜-1.64485，故P=0.024661＜0.05，應(yīng)拒絕零假設(shè)，而接受備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為，在總體上，卒中后早發(fā)性癲癇人數(shù)少于遲發(fā)性癲癇人數(shù)。

以上為例2的輸出結(jié)果，因例2屬于“上單側(cè)檢驗(yàn)問題”。上單側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果的判定：若z＞z1_a，則接受（H1：λ1＞λ2）；否則，就接受（H0：λ1≤λ2）；PU為上單側(cè)概率。又因z=4.63184＞1.64485，故P=0.000001812＜0.05，應(yīng)拒絕零假設(shè)，而接受備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為，在總體上，卒中后早發(fā)性癲癇患者中男性人數(shù)多于女性人數(shù)。

以上為例3的輸出結(jié)果，因例3屬于“雙側(cè)檢驗(yàn)問題”。雙側(cè)檢驗(yàn)結(jié)果的判定：若z＜zha或z＞z1_ha，則接受（H1：λ1≠λ2）；否則，就接受（H0：λ1=λ2）；PT為雙側(cè)概率。又因，故P=0.10476＞0.05，應(yīng)接受零假設(shè)，即可以認(rèn)為，在總體上，卒中后早發(fā)性癲癇人數(shù)與遲發(fā)性癲癇人數(shù)相等。

3 討論與小結(jié)

3.1 討論

服從Poisson分布的隨機(jī)變量屬于離散型隨機(jī)變量，其取值為0、1、2等，這樣的隨機(jī)變量及其取值一同被稱為“計數(shù)資料”。本文通過將兩個服從Poisson分布的“計數(shù)數(shù)據(jù)”直接代入公式計算，其中每一個計數(shù)數(shù)據(jù)都被視為特定條件下的一個“均值”，就可獲得檢驗(yàn)統(tǒng)計量的數(shù)值，這樣的“計數(shù)數(shù)據(jù)”與“家庭人口數(shù)”“脈搏次數(shù)/分鐘”等的“計數(shù)資料”似乎是完全一樣的，但當(dāng)沒有理由認(rèn)為后者是服從Poisson分布時，是不能僅依據(jù)兩個“計數(shù)數(shù)據(jù)”就進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的，而需要將它們視為“計量資料”，在求得“平均值”或“平均秩”后，再采取相應(yīng)的統(tǒng)計分析方法進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

3.2 小結(jié)

本文結(jié)合3個實(shí)例，介紹了兩Poisson均值比較的三種Z檢驗(yàn)及SAS實(shí)現(xiàn)。在統(tǒng)計學(xué)上，一般按“備擇假設(shè)”所決定的“方向（大、小順序）”來確定“上單側(cè)檢驗(yàn)”“下單側(cè)檢驗(yàn)”或“雙側(cè)檢驗(yàn)”。當(dāng)備擇假設(shè)為“A＜B”時，就是“下單側(cè)檢驗(yàn)（拒絕域位于概率分布曲線下的左側(cè)尾端）”；當(dāng)備擇假設(shè)為“A＞B”時，就是“上單側(cè)檢驗(yàn)（拒絕域位于概率分布曲線下的右側(cè)尾端）”；當(dāng)備擇假設(shè)為“A≠B”時，就是“雙側(cè)檢驗(yàn)（對關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱分布而言，拒絕域位于概率分布曲線下的左、右兩尾端，例如標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和t分布。而對僅取零和正值的非對稱分布而言，拒絕域位于概率分布曲線下的左側(cè)或右側(cè)，例如Poisson分布、F分布、χ2分布等）。