■尹 艷

作者單位：江蘇省蘇州市相城區(qū)望亭中學(xué)

構(gòu)造法簡單來講主要指的是能夠以題目結(jié)論、題干給出條件及自身性質(zhì)特點，結(jié)合條件構(gòu)造與之相符的數(shù)學(xué)形式。在數(shù)學(xué)解題中運用構(gòu)造法主要是為了轉(zhuǎn)變題目表現(xiàn)的未知條件成為已知量，從而提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)解題效率。

一、運用于函數(shù)解題

在高中數(shù)學(xué)知識中，函數(shù)具有舉足輕重的作用，同學(xué)們在學(xué)習(xí)相關(guān)知識時，不僅要掌握具體的解題技巧，還要具備符合自身學(xué)習(xí)情況的解題思想，這也是同學(xué)們解答數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵。尤其對于幾何、代數(shù)類型數(shù)學(xué)題的解答，均要考慮到函數(shù)思想，通過運用構(gòu)造函數(shù)簡化原本繁雜的問題，從而培養(yǎng)同學(xué)們對該類問題的解答能力。

例1如果1，證明：x+y=0。

證明：構(gòu)造函數(shù)(x∈R)，易證f(x)在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞增。因為，所以lg1=0。所以f(x)=-f(y)，即f(x)=f(-y)。又因為f(x)屬于增函數(shù)，所以x=-y，即x+y=0。

二、運用于方程解題

同學(xué)們在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識的過程中，可以發(fā)現(xiàn)方程密切聯(lián)系函數(shù)，均是以題型為依據(jù)給出數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征關(guān)系。解題時可以運用構(gòu)造法組成一個或多個等量公式，這樣一來便可以將原本復(fù)雜的問題更加簡單化，可以有效提高同學(xué)們的解題質(zhì)量及解題速度。

例2已知a，b，c均為實數(shù)，滿足條件a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b。

解析：由已知條件我們發(fā)現(xiàn)該題的解題突破口尋找難度較大，但是經(jīng)過構(gòu)造方程，則可以迅速找出解題思路。與已知條件相結(jié)合可得a+b=6，ab=c2+9，所以直觀可見a，b與一元二次方程的兩個根十分相似。所以結(jié)合已經(jīng)掌握的韋達(dá)定理，構(gòu)造方程t2-6t+(c2+9)=0。由于Δ=(-6)2-4(c2+9)≥0，可以得出36-4c2-36=-4c2≥0。據(jù)此可以得出c2≤0，結(jié)合題干中的已知條件c為實數(shù)，所以可以得出c2=0，證得a=b=3。

三、運用于向量解題

通過構(gòu)造向量能夠有效增加解題效率，尤其對于多不等式結(jié)構(gòu)，譬如M1M2+N1N2，可以運用向量的數(shù)量積表示，變形原本不等式，從而提供新的不等式證明法。

例3在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+1，求通項an。

解析：很顯然，該數(shù)列{an}并非等差或者等比數(shù)列，所以不好通過等差或者等比數(shù)列公式來求。而所給出的條件可變形為an+1=2an+1，于是可構(gòu)造出等比數(shù)列{an+1+1}，即可獲得通項an。由于an+1=2an+1，因此an+1+1=2(an+1)，換言之就是說數(shù)列{an+1+1}為等比數(shù)列，首項為a1+1=1+1=2，公比為q=2。通過變形構(gòu)造出一個等比數(shù)列，進(jìn)而求得通項。

四、運用于數(shù)列解題

在高中數(shù)學(xué)諸多題目的解答過程中，證明不等式的數(shù)學(xué)題尤為多，通過使用構(gòu)造法完成數(shù)列構(gòu)造，可以找出較為高效的解題思路。

例4求方程的實數(shù)根個數(shù)。

解析：由于已知的等差中項為，因此可以設(shè)由兩個式子的平方差得出，代入方程組中任意一個方程，得d2=1，因此d=±1，但是均無法滿足都是非負(fù)數(shù)，因此原方程無實數(shù)解。