（中北大學 信息與通信學院，太原030051）

隨著計算機斷層成像（computed tomography，CT）在醫(yī)療診斷、工業(yè)無損探傷和食品安全檢測等領域廣泛的應用，其對重建后的圖片質量要求也越來越高，進而對軟硬件特別是重建算法的要求也越來越高。在眾多算法中，大致分為解析算法和迭代算法兩大類，其中在解析算法中，濾波反投影（filtered back projection，F(xiàn)BP）算法簡單方便易于實現(xiàn)，而在實際工業(yè)應用中最為普遍。在FBP 算法中，常見的濾波函數(shù)有R-L濾波函數(shù)和S-L濾波函數(shù)。R-L濾波函數(shù)采用矩形窗，該濾波函數(shù)實現(xiàn)簡單、計算方便，用它完成的重建圖像，具有較清晰的輪廓，而且空間分辨率高，但是卻伴隨著嚴重的Gibbs 現(xiàn)象。S-L濾波函數(shù)采用sinc 函數(shù)來抑制投影中的高頻成分，很好地抑制了Gibbs 現(xiàn)象，對于含有噪聲的投影數(shù)據(jù)，它的重建圖像質量比R-L濾波函數(shù)的好。濾波器的選取對圖像重建質量的影響非常明顯。

至今，重建算法中所使用的濾波器一直以來都是研究的熱點，例如，文獻[1]提出一種R-L-NEW 混合濾波器，獲得了較好的結果；文獻[2]利用多點平均和混合濾波的思想，提出R-L-MS-L 混合濾波器對火箭發(fā)動機模型進行仿真，得到較好的結果；文獻[3]對指數(shù)函數(shù)進行了研究并取得成果；本文利用混合濾波的原理，通過NEW 濾波函數(shù)和S-L濾波函數(shù)混合成新的NEW-SL 混合濾波函數(shù)，通過實驗仿真數(shù)據(jù)的驗證，得到了NEW-SL濾波函數(shù)所重建出來的圖像質量更接近于原始圖像。

1 新型混合濾波器設計思路

1.1 FBP 算法

FBP 算法因其高效簡單而被大量應用在CT 圖像重建上。本文以平行束濾波反投影重建算法為研究對象，其計算公式如下[4]：

式中：Pθ（t）代表采集到的投影數(shù)據(jù)；代表一維濾波器。

可見，影響重建結果好壞的關鍵在于濾波函數(shù)的選取，濾波函數(shù)能直接影響到反投影重建的結果。所以，選取合適的濾波器是實現(xiàn)高質量重建圖像的關鍵因素之一。

1.2 濾波器

1.2.1 R-L濾波器

R-L濾波器計算公式如下：

與濾波函數(shù)HR-L（ρ）相對應的卷積函數(shù)hR-L（R）為

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

其離散表達式為

R-L濾波函數(shù)形式簡單、實用，所重建出來的圖像輪廓清晰，但有明顯的Gibbs 現(xiàn)象，即振蕩響應。另外，當重建圖像過程中存在噪聲時，所重建的結果就會較差。

1.2.2 S-L濾波器

S-L濾波器計算公式如下：

式中：B=1/（2d）；sinc（x）=sin（x）/x。

與濾波函數(shù)HS-L（ρ）相對應的卷積函數(shù)hS-L（R）為

其離散表達式為

S-L濾波函數(shù)有效地減輕了R-L濾波的振蕩響應，更好地補償了混迭現(xiàn)象；但由于HS-L（ρ）在低頻段偏離了所以重建的圖片質量不如R-L 的好。

1.3 構建新混合濾波函數(shù)NEW-SL

NEW 濾波器[5]的表達式是從理想濾波器的定義及性質推導出來的，其相應的采樣序列為

滿足正負值相加后，代數(shù)和為零。即滿足：

NEW 濾波器設計簡單，并對噪聲有抑制作用，極大地減少了Gibbs 現(xiàn)象?；诖?，本文參考RL-SL混合濾波器與RL-NEW 混合濾波器，提出NEW-SL混合濾波器。其離散形式為

式中：k1≥0，k2≥0，且k1+k2=0。顯然，當k1=0時，就是S-L濾波；當k2=0時，就是NEW 濾波。

2 實驗仿真與結果分析

實驗仿真是對尺寸為256*256 像素的Shepp-Logan 二維頭模型[6]分別用R-L、S-L、RL-SL、RL-NEW進行重建，并觀察其縱向第128 行的灰度曲線圖，結果如圖1所示。

圖1 原始模型圖像與NEW-SL濾波后圖像Fig.1 Original model image and NEW-SL filtered image

實驗是在處理器為Inter（R）Core（TM）i5-3230M CPU@2.60GHz，RAM為4.00 GB 的電腦設備上通過Matlab2016a 來完成。

想要對比圖像重建后的質量如何，首先要進行圖像重建后的灰度值是否與原始圖像相符或是接近。各個濾波器所重建出結果的灰度曲線如圖2所示。

圖2 原始模型及各種濾波函數(shù)下的圖像灰度曲線圖Fig.2 Image gray scale curves of the original model and various filter functions

圖像的灰度曲線圖可以顯示出不同濾波函數(shù)重建后的圖像與原始圖像的差異，灰度曲線波動的越大，說明圖像越粗糙。由圖2可見，NEW-SL濾波函數(shù)重建出的圖像灰度曲線相比較于R-L、S-L 等濾波函數(shù)所重建出來的灰度曲線更為平滑，曲線更接近與原始圖的灰度曲線，所以，NEW-SL濾波函數(shù)所重建出來的圖像相較于R-L、S-L 等濾波函數(shù)重建出來的圖像更接近于原始圖像。

但僅通過圖像的灰度曲線圖這一項來定義重建圖像的好壞是不科學的，還需要對比各濾波函數(shù)的歸一化均方誤差d 和歸一化平均絕對誤差r 來進行分析[7]。d、r 的公式如下所示：

歸一化均方誤差d 反映的是少數(shù)點的大誤差，d 越小表示誤差越小，體現(xiàn)為重建后的圖像更接近于原始圖像；歸一化平均絕對誤差r 反映的是多數(shù)點的小誤差，r 越小表示誤差越小，誤差越小，重建的結果越接近于原始圖像。

表1為各個濾波函數(shù)重建圖像后的歸一化均方誤差值和歸一化平均絕對誤差值。

表1 重建圖像后的誤差對比Tab.1 Comparison of errors after image reconstruction

通過表1可知，利用NEW-SL 混合濾波函數(shù)重建后的d值和r值相比于R-L、S-L 等濾波函數(shù)均有所下降，說明利用此混合濾波函數(shù)所重建出來的圖像效果更接近于原始圖像。

對實驗室中采集到的128*128 的固體火箭發(fā)動機模型投影數(shù)據(jù)進行重建。為了能不引入其他因素而影響到實驗數(shù)據(jù)的對比，選取RL、S-L 及NEWSL濾波函數(shù)進行直接對比。圖3為重建結果圖像。

可以看到，R-L濾波函數(shù)重建出來的圖像相較于S-L濾波函數(shù)重建出來的有些許偽影，影響到了圖像質量。而NEW-SL濾波函數(shù)重建出來的圖像相較于S-L濾波函數(shù)內部結構相對清晰，相對于R-L濾波函數(shù)沒有產生偽影，即NEW-SL濾波函數(shù)兼顧了空間和密度分辨率，相較于R-L 和S-L濾波函數(shù)重建出了相對較好的結果。

圖3 原始圖像及各個濾波函數(shù)重建結果圖Fig.3 Original image and the reconstruction results of each filter function

3 結語

CT 重建中所使用的濾波器多種多樣，選擇濾波器的原則是主瓣高而窄，最大旁瓣相對主瓣盡可能小，本文結合混合濾波函數(shù)的原理所提出的NEWSL 混合濾波函數(shù)，通過實驗仿真與R-L、S-L 等其他濾波函數(shù)從灰度曲線圖和歸一化均方誤差及歸一化平均絕對誤差這兩個方面進行對比，發(fā)現(xiàn)此濾波函數(shù)可以在保持原有的空間分辨率的情況下，使密度分辨率更高，重建結果也更平滑。此外，當在實際應用中使用NEW-SL 混合濾波函數(shù)時，可以根據(jù)實際情況來適當?shù)恼{整參數(shù)k1和k2的值，使重建結果能夠達到預期的結果。