王世俊，馬 琳

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

機(jī)械系統(tǒng)中由于裝配需要、加工精度的限制、運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的正常損耗等諸多因素的影響,不可避免的存在間隙和約束.間隙和約束的存在使得機(jī)械系統(tǒng)在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)會(huì)發(fā)生沖擊振動(dòng),異常的沖擊振動(dòng)可能會(huì)造成噪聲加劇、使用壽命降低等諸多不利情況的發(fā)生.因此研究含間隙、約束的沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的現(xiàn)實(shí)意義,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此展開了大量的研究.Shaw等[1]發(fā)現(xiàn)含間隙沖擊振動(dòng)系統(tǒng)中由于分段非光滑特性,可能會(huì)由于擦邊分岔而導(dǎo)致分岔行為的奇異性.Nordmark等[2]研究了單自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)在低頻時(shí)存在的完整顫沖擊振動(dòng).文獻(xiàn)[3-7]對(duì)單自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)做了細(xì)致而深入的研究,針對(duì)單側(cè)和雙側(cè)剛性及彈性約束的不同情況研究了系統(tǒng)的低頻特性、周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律、局部吸引域結(jié)構(gòu)變化機(jī)理.葉建聰?shù)萚8]研究了一類含摩擦兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng),分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)于動(dòng)力學(xué)特性的影響.張艷龍等[9]研究了隨機(jī)干擾對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響,發(fā)現(xiàn)了在一定隨機(jī)干擾強(qiáng)度下,系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)參數(shù)域存在抗干擾能力強(qiáng)的點(diǎn)和抗干擾能力弱的點(diǎn).樂(lè)源[10]研究一類碰撞振動(dòng)系統(tǒng)在內(nèi)伊馬克沙克-音叉分岔點(diǎn)附近的局部動(dòng)力學(xué)行為.朱喜鋒等[11]研究了一類含剛性約束兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)在低頻時(shí)的顫碰行為.文獻(xiàn)[12-15]研究了含剛性約束兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)基本周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷規(guī)律,以及低頻時(shí)顫沖擊振動(dòng)的產(chǎn)生機(jī)理.

在以往的研究中主要針對(duì)單純剛性約束或彈性約束的單自由度或兩自由度沖擊振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究,而現(xiàn)實(shí)機(jī)械系統(tǒng)中常常是具有這兩種類型復(fù)合約束的系統(tǒng).本文針對(duì)具有剛性及彈性復(fù)合約束的兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng),研究其低頻動(dòng)力學(xué)特性,并分析彈性約束剛度比對(duì)μk0系統(tǒng)沖擊動(dòng)力學(xué)特性的影響.

1 兩自由度受迫振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型

系統(tǒng)無(wú)量綱化后的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

(2)

(3)

兩質(zhì)塊相互碰撞前后的瞬時(shí)速度可根據(jù)動(dòng)量守恒確定

(4)

所引入的無(wú)量綱化參數(shù)為

(5)

系統(tǒng)經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化后,可以方便的確定部分參數(shù)的取值范圍：μm∈(0,1),μk∈(0,1),μk0∈(0,1),μc∈(0,1),f∈[0,1].

兩質(zhì)塊間的相互作用力滿足：

(6)

2 系統(tǒng)低頻特性研究

為了確定沖擊振動(dòng)系統(tǒng)的激振力周期數(shù)以及在各碰撞面的沖擊次數(shù),建立如下Poincaré映射：

(7)

在所建立的映射的基礎(chǔ)上,對(duì)于約束A12和約束A2處的單側(cè)碰撞面可以用符號(hào)p/n來(lái)描述其沖擊振動(dòng)的模式,其中n表示周期數(shù)(n=1,2,3,…),p表示質(zhì)塊和約束的沖擊振動(dòng)次數(shù)；對(duì)于雙側(cè)約束A1,引入符號(hào)n-z-q來(lái)描述其運(yùn)動(dòng),其中z和q分別表示對(duì)于雙側(cè)約束左側(cè)碰撞面和右側(cè)碰撞面的沖擊振動(dòng)次數(shù)(z,q=0,1,2,3,…).

研究時(shí)選取無(wú)量綱化參數(shù)μm=0.5,μk=0.5,μc=0.5,ζ=0.1,R=0.8,δ1=0.6,δ2=0.4,μk0=0.7,f=0作為基準(zhǔn)參數(shù),考慮激振力頻率ω變化時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.圖2是當(dāng)激振力頻率ω∈(0,2]時(shí),系統(tǒng)的總體分岔圖,可以看到當(dāng)ω∈(0,0.883]時(shí),系統(tǒng)主要在約束A12和約束A1處發(fā)生沖擊振動(dòng),由于激振力作用在質(zhì)塊M1上,通過(guò)約束A12處質(zhì)塊M1和質(zhì)塊M2相互沖擊振動(dòng)帶動(dòng)質(zhì)塊M2運(yùn)動(dòng),此時(shí)質(zhì)塊M2未與約束A2發(fā)生沖擊振動(dòng).當(dāng)ω∈[0.883,1.396]時(shí),系統(tǒng)在三處碰撞面都發(fā)生沖擊振動(dòng),圖3是ω=1.0時(shí)系統(tǒng)的相圖,質(zhì)塊M1在約束A1處左側(cè)和右側(cè)各發(fā)生一次沖擊振動(dòng),質(zhì)塊M2在約束A2處發(fā)生一次沖擊振動(dòng),兩質(zhì)塊在約束A12處相互之間發(fā)生一次沖擊振動(dòng).當(dāng)ω∈(1.396,2]時(shí),系統(tǒng)只在約束A1和約束A12處發(fā)生沖擊振動(dòng).可見(jiàn)在中等頻率范圍時(shí)系統(tǒng)在三處約束處都會(huì)發(fā)生沖擊振動(dòng),而在低頻以及高頻時(shí)則主要是在約束A1和約束A12處發(fā)生沖擊振動(dòng).

在圖2(b)中可以看到,系統(tǒng)在約束A12處碰撞面低頻范圍會(huì)發(fā)生具有粘滯特性的完整顫沖擊振動(dòng),從式(6)系統(tǒng)發(fā)生粘滯運(yùn)動(dòng)的條件可以知道同時(shí)具有剛性約束和彈性約束的系統(tǒng)中,質(zhì)塊M1和質(zhì)塊M2發(fā)生粘滯時(shí)其相互之間的作用力N更為復(fù)雜.圖4是當(dāng)ω=0.2時(shí)系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖,由分段函數(shù)f1(x1)可以知道當(dāng)質(zhì)塊M1的位移|x1|≥δ1時(shí),質(zhì)塊M1在約束A1處將受到彈簧所提供的彈性力,在圖4(a1)中可以看到當(dāng)ωt到達(dá)A點(diǎn)后,質(zhì)塊M1的位移量超過(guò)了約束A1右側(cè)的間隙值δ1=0.6,此時(shí)質(zhì)塊M1將受到約束A1處彈簧力f1(x1)的作用,而此時(shí)質(zhì)塊M1和M2之間的相對(duì)位移量x1-x2正在逐步減小,但兩者還未進(jìn)入粘滯；當(dāng)ωt越過(guò)B點(diǎn)之后,此時(shí)質(zhì)塊M1仍然受到彈簧力f1(x1)的作用,而質(zhì)塊M1和M2之間的相對(duì)位移量縮減為零,進(jìn)入了粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)越過(guò)C點(diǎn)之后,彈簧力f1(x1)的作用消失,但質(zhì)塊M1和M2在剛性約束A12處仍然保持粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài),直到到達(dá)D點(diǎn)結(jié)束了粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài).由此我們可以看到,當(dāng)系統(tǒng)逐步進(jìn)入粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過(guò)程中,有彈簧所提供的彈性力的介入,系統(tǒng)仍然會(huì)進(jìn)入粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而當(dāng)彈性力消失,系統(tǒng)不會(huì)立即結(jié)束粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而是會(huì)繼續(xù)保持粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一段時(shí)間.

3 彈性約束剛度比對(duì)于系統(tǒng)沖擊振動(dòng)特性的影響

考慮改變彈性約束剛度比μk0的參數(shù)值時(shí),對(duì)于系統(tǒng)沖擊振動(dòng)特性的影響.在基準(zhǔn)參數(shù)μk0=0.7時(shí),這里分別考慮取較小值μk0=0.3和較大值μk0=0.9時(shí)的情況,激振力頻率變化范圍ω∈(0,1]選取.由圖7(a1-a4)可以看到,當(dāng)μk0=0.3時(shí),系統(tǒng)在約束A1處主要沖擊振動(dòng)模式為：1-1-0,1-1-1運(yùn)動(dòng)；在約束A12處,4/1運(yùn)動(dòng)在ω≈0.45附近經(jīng)Bare Grazing分岔出現(xiàn)了5/1運(yùn)動(dòng)的半環(huán)狀周期窗口,隨著ω的遞減而消失.當(dāng)ω進(jìn)一步的減小,5/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)連續(xù)的Real Grazing分岔,沖擊振動(dòng)次數(shù)p逐次增加,最小沖擊速度逐漸減小,逐步進(jìn)入非完整顫沖擊振動(dòng),當(dāng)最小沖擊速度減小到0進(jìn)入具有粘滯特性的完整顫沖擊振動(dòng)；在約束A2處低頻區(qū)域?yàn)闊o(wú)沖擊振動(dòng)的0/1運(yùn)動(dòng),在中等頻率范圍出現(xiàn)了1/1運(yùn)動(dòng).

由圖7(b1-b3)可以看到,當(dāng)μk0=0.9時(shí),此時(shí)彈性約束處具有較大的約束剛度比,從而質(zhì)塊M1的運(yùn)動(dòng)范圍將被約束A1限制在較小的范圍,而約束A2處表現(xiàn)為無(wú)沖擊振動(dòng),故而此處未繪制約束A2處的分岔圖.在約束A1處,沖擊振動(dòng)的模式類型顯著增多,并且在對(duì)于雙側(cè)約束A1左側(cè)和右側(cè)的沖擊次數(shù)上表現(xiàn)出了強(qiáng)烈的非對(duì)稱性,除1-1-1,3-3-3運(yùn)動(dòng)外,還存在2-3-2,2-4-2,1-2-1運(yùn)動(dòng),在整個(gè)頻率范圍引入了較多的概周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng),在超低頻區(qū)域表現(xiàn)為1-z-0的單側(cè)沖擊狀態(tài).在約束A12處,亞諧運(yùn)動(dòng),概周期運(yùn)動(dòng),混沌運(yùn)動(dòng)的頻率范圍增大,基本周期沖擊振動(dòng)p/1經(jīng)Grazing分岔向(p+1)/1轉(zhuǎn)遷的規(guī)律被打破,隨著ω的減小系統(tǒng)仍然能夠進(jìn)入具有粘滯特性的完整顫沖擊振動(dòng),但Sliding分岔線已經(jīng)消失,系統(tǒng)經(jīng)過(guò)混沌運(yùn)動(dòng)而直接躍遷到完整顫沖擊振動(dòng).

4 結(jié)論

研究了一類剛性及彈性復(fù)合約束的受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,分析了復(fù)雜受力情況下的粘滯條件,對(duì)系統(tǒng)的低頻動(dòng)力學(xué)特性、分岔規(guī)律進(jìn)行了研究,并分析了系統(tǒng)參數(shù)彈性約束剛度比μk0對(duì)于系統(tǒng)沖擊振動(dòng)特性的影響,得出了以下主要結(jié)論.

1) 復(fù)合約束條件下,系統(tǒng)約束在結(jié)構(gòu)上具有強(qiáng)非對(duì)稱性,激振力頻率決定了系統(tǒng)與幾處約束發(fā)生沖擊振動(dòng).中等頻率范圍系統(tǒng)對(duì)三處約束處都會(huì)發(fā)生沖擊振動(dòng),低頻以及高頻時(shí)則主要是在約束A1和約束A12處發(fā)生沖擊振動(dòng).

2) 在系統(tǒng)逐步進(jìn)入粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的過(guò)程中,有彈簧所提供的彈性力的介入,系統(tǒng)仍然會(huì)進(jìn)入粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而當(dāng)彈性力消失,系統(tǒng)不會(huì)立即結(jié)束粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài),而是會(huì)繼續(xù)保持粘滯運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一段時(shí)間.

3) 系統(tǒng)在剛性碰撞面A12處,隨著激振力頻率ω遞減,基本周期沖擊振動(dòng)p/1向(p+1)/1轉(zhuǎn)遷的過(guò)程中,p/1運(yùn)動(dòng)經(jīng)Real Grazing分岔導(dǎo)致沖擊振動(dòng)次數(shù)增加1次,直接進(jìn)入穩(wěn)定的(p+1)/1運(yùn)動(dòng)；Bare Grazing分岔導(dǎo)致p/1運(yùn)動(dòng)進(jìn)入包含亞諧運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷域,穿越轉(zhuǎn)遷域后進(jìn)入(p+1)/1運(yùn)動(dòng).復(fù)合約束條件下由Bare Grazing分岔可能會(huì)激發(fā)半環(huán)狀周期窗口.

4) 彈性約束剛度μk0取較小值時(shí),系統(tǒng)具有較好的緩沖減振特性,彈性約束A1處主要沖擊振動(dòng)模式較為簡(jiǎn)單,主要包括：1-1-0,1-1-1運(yùn)動(dòng),剛性約束A12處基本周期沖擊振中夾雜了包含亞諧運(yùn)動(dòng)、概周期運(yùn)動(dòng)、混沌運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷域范圍減??；μk0取較大值時(shí),系統(tǒng)具有較好的限位特性,質(zhì)塊M1的位移范圍被約束A1限制在有限范圍,導(dǎo)致在約束A2無(wú)沖擊振動(dòng),約束A1處出現(xiàn)了較多的強(qiáng)非對(duì)稱性的沖擊振動(dòng)模式,主要包括：2-3-2,2-4-2,1-2-1運(yùn)動(dòng),剛性約束面A12處基本周期沖擊振動(dòng)p/1向(p+1)/1轉(zhuǎn)遷的規(guī)律性被打破,同時(shí)嵌入了較多的混動(dòng)運(yùn)動(dòng).