■李 劍

在高中數(shù)學(xué)中,函數(shù)是一個(gè)十分重要的知識(shí)點(diǎn),同時(shí)函數(shù)問題涉及的范圍十分廣泛,出題方式多樣化,有很多同學(xué)面對(duì)多種多樣的函數(shù)問題會(huì)感覺十分頭疼,不知道如何下手。而導(dǎo)數(shù)則是解決函數(shù)問題的好途徑,與其他方式相比較,用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題會(huì)更加簡單、便捷。在高中數(shù)學(xué)解題中,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)可以解決很多問題,特別是關(guān)于函數(shù)的問題、曲線方程問題,通過導(dǎo)數(shù)能獲得良好的解題效果。因此,在解答高中數(shù)學(xué)問題時(shí),同學(xué)們可以靈活應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來解決問題,以此促進(jìn)同學(xué)們數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的提升。

一、在函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

最值問題是高中函數(shù)問題中比較常見的問題之一,不管是日常練習(xí),還是在考試中,都會(huì)涉及最值問題,在實(shí)際解題時(shí),同學(xué)們可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)最值問題。

例如：函數(shù)f(x)=-x2-2x+3在[a,2]中的最大值是,求a的值。

分析：這一問題是最基本的求值問題,同學(xué)們?cè)诮忸}過程中,如果通過圖形或者一元二次方程根的方式求解,會(huì)顯得十分麻煩。對(duì)此可以從導(dǎo)數(shù)的角度入手進(jìn)行求值。函數(shù)f(x)=-x2-2x+3的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-2x-2,令f′(x)=0,可求得x=-1。當(dāng)a≤-1時(shí),函數(shù)f(x)的最大值是f(-1)=4,不符合題意；當(dāng)-1＜a＜2 時(shí),函數(shù)f(x)在[a,2]上單調(diào)遞減,求得最大值為f(a)=,從而求得。

二、在函數(shù)單調(diào)性問題中的應(yīng)用

函數(shù)單調(diào)性問題也是高中數(shù)學(xué)中比較常見的問題之一,在解決函數(shù)單調(diào)性問題時(shí),主要是通過單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷,而導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可以為函數(shù)的單調(diào)性判斷提供更加簡便的方法。利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題的主要原理是：對(duì)于函數(shù)f(x),如果它的導(dǎo)數(shù)f′(x)在自變量區(qū)間大于0,則函數(shù)f(x)呈單調(diào)遞增,反之則單調(diào)遞減。

分析：在解答這道題目時(shí),如果僅依靠單調(diào)性的定義來解答,會(huì)顯得十分困難,可以從導(dǎo)數(shù)的角度入手。由于f(x)的定義域是(0,+∞),f(x)的導(dǎo)數(shù)是,對(duì)其進(jìn)行分類討論：如果a-1=1,即a=2 時(shí),f′(x)＞0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。如果0＜a-1＜1,則1＜a＜2,當(dāng)x∈(a-1,1)時(shí),f′(x)＜0；當(dāng)x∈(0,a-1)及x∈(1,+∞)時(shí),f(x)′＞0。因此,f(x)在(a-1,1)上單調(diào)遞減,在(0,a-1)及x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增。如果a-1＞1,則a＞2,可得f(x)在(1,a-1)上單調(diào)遞減,在(0,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增。

總而言之,在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中,導(dǎo)數(shù)具有十分重要的作用,如果同學(xué)們牢固地掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí),并且能靈活地應(yīng)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問題,就可以有效提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。因此,在實(shí)踐中,同學(xué)們要充分把握導(dǎo)數(shù)的本質(zhì),并能很好地利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題。