顏禧亮

（福建省浦城縣第三中學(xué)，福建南平 353400）

引 言

數(shù)學(xué)是一門理論與實踐并重的學(xué)科，而初中階段是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵時期，初中數(shù)學(xué)對初中生尤為重要，是學(xué)好理科的基礎(chǔ)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，可以極大地提高教學(xué)質(zhì)量，進(jìn)而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績，為學(xué)生后期的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。由此，筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，從數(shù)形結(jié)合的含義入手，淺談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的必要性，并為其應(yīng)用提供相應(yīng)的策略。

一、數(shù)形結(jié)合的含義

數(shù)與形這兩個基本概念是數(shù)學(xué)的兩塊基石，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中，大多數(shù)數(shù)學(xué)知識都是圍繞這兩個基本概念展開的。所以，數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換來解決抽象數(shù)學(xué)問題的一種思想方法，同時是初中數(shù)學(xué)中重要的思想之一，也是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵要素之一[1]。數(shù)形結(jié)合思想是指學(xué)生在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時，要將圖像信息轉(zhuǎn)換為代數(shù)信息，并將數(shù)量特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。在解決與數(shù)量有關(guān)的問題時，學(xué)生要根據(jù)數(shù)量結(jié)構(gòu)構(gòu)造出圖形，促進(jìn)數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，從而利用數(shù)形的辯證對應(yīng)關(guān)系，使各自的優(yōu)勢凸顯，以解決抽象數(shù)學(xué)問題。數(shù)形結(jié)合題就是將問題的代數(shù)表述與幾何刻畫結(jié)合，將抽象邏輯思維與具體形象思維結(jié)合，突出一種相互轉(zhuǎn)換、相互聯(lián)系地分析問題、解決問題的思路。初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題時，可以廣泛地運用這種思想。數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用，可以使某些抽象的問題直觀化、生動化，幫助學(xué)生將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，把握問題的本質(zhì)。所以，它能在一定程度上使學(xué)生找到問題的簡便解法，提高學(xué)習(xí)效率。

二、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的必要性

利用數(shù)形結(jié)合思想不僅可以解決很多問題，如代數(shù)概念問題、三角函數(shù)問題等，還可以使數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生事半功倍的效果[2]。首先，在教授許多代數(shù)概念時，教師可以通過形來描述。其次，在教學(xué)初中階段的重要問題——函數(shù)問題時，教師也可以有效地運用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生有效解決問題。例如，在教學(xué)三角函數(shù)問題時，教師可以運用三角函數(shù)圖像，直觀、簡潔地解決問題，同時引導(dǎo)學(xué)生了解定量描述，掌握函數(shù)的幾何意義?？傊?，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，能夠提高教學(xué)質(zhì)量。

例如，初中教材中有許多列方程解決應(yīng)用題的內(nèi)容，在教學(xué)過程中，教師可以充分利用圖形的直觀性和具象性，引導(dǎo)學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，找到問題的突破口，這樣比引導(dǎo)學(xué)生掌握一個個公式、一個個具體的解題方法更有效果，還能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的運用策略

（一）以形呈數(shù)，簡化數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)問題具有復(fù)雜性，如果教師在教學(xué)時仍采用傳統(tǒng)、單一的教學(xué)模式，那么學(xué)生就很難對知識進(jìn)行深刻的理解。教師在教學(xué)時應(yīng)以圖形為輔，讓抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而幫助學(xué)生找到解決問題的途徑，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率[3]。教師在教學(xué)時，應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，鼓勵學(xué)生自主解決問題，以激發(fā)學(xué)生思考。學(xué)生通過頭腦風(fēng)暴會想出多種解決問題的方法。教師只要在此過程中扮演好引導(dǎo)者的角色，即可讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，抽象的問題都可以轉(zhuǎn)化成簡單的數(shù)量關(guān)系，以此為學(xué)生解決問題提供輔助。其次，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，要強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生巧妙地利用這種思想解決問題，從而在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例如，在學(xué)習(xí)初中人教版八年級下冊“一次函數(shù)”時，學(xué)生遇到這樣的習(xí)題：“某自來水公司為了限制單位用水，每月只給某單位計劃用水3000 噸，計劃內(nèi)每噸水收費1.8 元，超計劃一噸按2 元收費，請計算出水費與用水量之間的函數(shù)關(guān)系。”面對此類問題，學(xué)生通常會被計劃內(nèi)、計劃外迷惑，覺得題目中的信息太過復(fù)雜。對此，教師可借助畫圖的方法讓學(xué)生明白計劃內(nèi)與計劃外都是在計算水費與用水量之間的關(guān)系，分別列出函數(shù)表達(dá)式即可，這無疑實現(xiàn)了以形呈數(shù)的效果，簡化了題目內(nèi)容，使其演變成數(shù)量關(guān)系求解，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效率得以提高。

（二）以形想數(shù)，感悟數(shù)量關(guān)系

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，能夠為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。所以，教師要以數(shù)形結(jié)合為支撐，推動數(shù)學(xué)教學(xué)活動的順利展開[4]。首先，教師要培養(yǎng)學(xué)生良好踐行數(shù)形結(jié)合思想的習(xí)慣，確保學(xué)生能夠運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題。其次，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生通過實踐操作體會形與數(shù)結(jié)合的優(yōu)越性，讓學(xué)生真正掌握數(shù)形結(jié)合這種解題思想，以此提高學(xué)生的應(yīng)用技能。

例如，初中人教版八年級下冊“勾股定理”一章，旨在引導(dǎo)學(xué)生明白勾股定理的意義，學(xué)會運用勾股定理解決問題。因此，為了更好地引導(dǎo)學(xué)生運用勾股定理，教師在前期教學(xué)中要將三角形與勾股定理有機(jī)結(jié)合，以此讓學(xué)生認(rèn)識到何為斜邊、何為直角邊、何為勾股定理，進(jìn)而為學(xué)生后期運用勾股定理解決問題打好基礎(chǔ)，同時培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

（三）以形化數(shù)，理順數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)結(jié)合思想的應(yīng)用，能夠以直觀、具體的方式呈現(xiàn)抽象的數(shù)量關(guān)系，以簡單、清晰的圖形展示復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系。所以，在教學(xué)過程中，面對復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，教師首先可以引導(dǎo)學(xué)生通過對圖形的仔細(xì)觀察，結(jié)合圖形分析數(shù)量關(guān)系。其次，在分析圖形的基礎(chǔ)上，教師要做好引導(dǎo)工作，引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，根據(jù)圖形呈現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系列出表達(dá)式，以此解決數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

例如，在學(xué)習(xí)“實際問題與一元一次方程”時，初中生通常能夠在較短的時間內(nèi)解出一元一次方程，但是在解決實際問題中不能很好地厘清問題的數(shù)量關(guān)系，從而不能列出正確的表達(dá)式。基于此，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析題意，找出對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。例如，“某車間有工人85 人，平均每天每人可以加工大齒輪8 個，小齒輪10 個，又知一個大齒輪和三個小齒輪配為一套，如何安排勞動力才能使產(chǎn)品剛好成套？”在求解這道題目的過程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生抓住題目的重點信息，弄清楚小齒輪和大齒輪配套的問題，即一個大齒輪和三個小齒輪配套，這意味著要想所有的產(chǎn)品配套就要使大齒輪和小齒輪的數(shù)量比為1∶3。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生會想到用圖形分析的方法，初步建立工人生產(chǎn)和齒輪配套之間的關(guān)系，即要保證生產(chǎn)的大小齒輪總量比為1∶3，而一個工人每天可以加工的大齒輪和小齒輪的數(shù)量比為4∶5。這時，有學(xué)生想到可以搭配工人成對的方法來保證生產(chǎn)部件配套。在學(xué)生的集思廣益下，有學(xué)生通過畫圖的方式得出：如果5 個工人生產(chǎn)大齒輪，就要有12 個工人生產(chǎn)小齒輪。這樣的解題過程能提高學(xué)生的解題效率，提升學(xué)生的綜合素質(zhì)，從而讓學(xué)生真正愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

（四）以形助數(shù)，解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)式是數(shù)學(xué)的另外一種表現(xiàn)形式，也是數(shù)學(xué)關(guān)系的體現(xiàn)。首先，數(shù)學(xué)問題的解題思路通常是以數(shù)式為載體進(jìn)行描述的，而非數(shù)式的描述通常會給學(xué)生增加數(shù)學(xué)感知難度，使學(xué)生對題目的分析產(chǎn)生偏差。因此，教師在教學(xué)時可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形轉(zhuǎn)換題目，將抽象的數(shù)字轉(zhuǎn)化為具象的圖形，以此降低題目的理解難度。其次，教師在引導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，會遇到一些以數(shù)學(xué)符號為基礎(chǔ)的內(nèi)容，這些內(nèi)容具有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生的學(xué)習(xí)難度較高。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生以圖形為基準(zhǔn)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的具體化，以此幫助學(xué)生找到解題的思路。

（五）數(shù)形結(jié)合，深入理解概念

概念的學(xué)習(xí)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可忽視的一部分，是學(xué)生運用知識解決問題的基礎(chǔ)。一直以來，初中數(shù)學(xué)教材中對大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的描述是復(fù)雜、抽象的，學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解也一直停留在較淺顯的層面上。為了更好地提高學(xué)生的解題正確率，教師通常采用重復(fù)的方式讓學(xué)生在實踐中學(xué)會運用這些概念，而不是讓學(xué)生深入理解這些抽象的概念。對此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)改變教學(xué)方式，以數(shù)形結(jié)合思想幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而為學(xué)生學(xué)習(xí)打下堅實的理論基礎(chǔ)。

例如，在教學(xué)初中人教版內(nèi)容“反比例函數(shù)”一課時，教師可以改變教學(xué)流程，將概念講解與圖形和數(shù)字案例結(jié)合，首先呈現(xiàn)反比例函數(shù)的表達(dá)式，以經(jīng)典的表達(dá)式引導(dǎo)學(xué)生通過代值的方法在坐標(biāo)系中描繪出不同的點，繪制成具有聯(lián)系性的函數(shù)圖像。在繪制圖像完畢后，學(xué)生就能通過圖像清晰地觀察到反比例函數(shù)的特點，深入理解反比例函數(shù)的相關(guān)概念，從而獲得更好的學(xué)習(xí)效果。

結(jié) 語

簡而言之，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，應(yīng)被教師和學(xué)生所重視，從而讓學(xué)生更便捷地解決問題，減少教師的教學(xué)阻礙，提高教學(xué)質(zhì)量。不僅如此，在學(xué)生利用數(shù)字和圖形之間的轉(zhuǎn)換思考、解決問題的過程中，學(xué)生的思維也在發(fā)生深刻的改變，其對知識的表面認(rèn)知會過渡到本質(zhì)認(rèn)知，進(jìn)而提高思維水平。