郝雪妍，閆 明

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.天津財(cái)經(jīng)大學(xué) 管理工程與科學(xué)學(xué)院，天津 300222)

養(yǎng)老金計(jì)劃從1889年德國開始執(zhí)行至今，已成為全球普遍接受的社會(huì)保障措施。我國從1997年起實(shí)行社會(huì)統(tǒng)籌和個(gè)人賬戶相結(jié)合的養(yǎng)老保險(xiǎn)制度，目前養(yǎng)老基金規(guī)模日益擴(kuò)大。社會(huì)養(yǎng)老基金管理是影響數(shù)代人的實(shí)際利益與社會(huì)福利的重大策略。為了提高基金的使用效率并兼顧代際公平，需要管理和科研人員尋求更為細(xì)致且可動(dòng)態(tài)調(diào)整的方法管理與分配相關(guān)資產(chǎn)。本文關(guān)注其中一個(gè)重要課題：如何在基金過剩時(shí)平衡當(dāng)前與未來參與者的利益。

根據(jù)支付和繳費(fèi)方式的不同，養(yǎng)老金計(jì)劃可以分為固定繳費(fèi)模式和固定收益模式。固定繳費(fèi)(defined contribution, DC)模式確定繳費(fèi)水平或繳費(fèi)比率，收益水平與賬戶積累額直接關(guān)聯(lián)。固定收益(defined benefit, DB)模式事先明確未來的收益水平,繳費(fèi)水平根據(jù)未來收益通過精算均衡原則進(jìn)行計(jì)算核定。近年來，有關(guān)DB型養(yǎng)老金投資的研究受到了許多研究者的關(guān)注。比如Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero[1]研究了具有隨機(jī)利率的總固定收益養(yǎng)老基金的最優(yōu)資產(chǎn)配置，Hainaut和Deelstra[2]研究了固定收益養(yǎng)老金計(jì)劃的最優(yōu)資金，Josa-Fombellida和Rincon-Zapatero[3]研究了在確定收益隨機(jī)養(yǎng)老基金的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)管理，他們考慮了收益或風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的發(fā)展變化。Merton[4]考慮了在連續(xù)時(shí)間模型中的最優(yōu)消費(fèi)和投資組合。王愫新和榮喜民[5]研究了保險(xiǎn)公司向再保險(xiǎn)公司購買比例的保險(xiǎn)，得到最優(yōu)投資策略和再保險(xiǎn)策略。李仲飛和陳崢[6]研究了在不同時(shí)刻，消費(fèi)者對(duì)消費(fèi)的偏好由一個(gè)時(shí)變的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)刻畫的最優(yōu)投資—消費(fèi)問題。

然而，由于投資的不確定性，根據(jù)精算均衡計(jì)算的DB型基金的實(shí)際資產(chǎn)與未來支出并不是時(shí)刻平衡的。當(dāng)基金運(yùn)營較好時(shí)，實(shí)際資產(chǎn)超過未來支出，出現(xiàn)超額(overfunded)。相反的，當(dāng)經(jīng)濟(jì)下行，實(shí)際資產(chǎn)可能低于未來支出，出現(xiàn)缺額(underfunded)。在傳統(tǒng)的框架下，DB基金的超額部分會(huì)繼續(xù)投入資本市場，可能會(huì)提升基金未來的風(fēng)險(xiǎn)。事實(shí)上，近些年資本市場的波動(dòng)和經(jīng)濟(jì)下行的風(fēng)險(xiǎn)增加，如2008年的次貸危機(jī)與2020年的新冠疫情均造成了全球養(yǎng)老基金的大幅縮水。在這種情況下，基金參與者通過某種機(jī)制提前取出部分超額資金作為未來風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償，似乎是一種合理且受到普遍關(guān)注的需求。因此，合理處理該需求的有助于提高養(yǎng)老金計(jì)劃的參與度，并且可實(shí)現(xiàn)社會(huì)福利更合理的代際分配。

Josa-Fombellida和Rincón-Zapatero 在2018年提出一類隨機(jī)微分博弈模型處理對(duì)養(yǎng)老基金提前支取與投資增值的沖突。筆者認(rèn)為，當(dāng)DB型養(yǎng)老基金出現(xiàn)了超額，代表投資需求的投資公司以實(shí)現(xiàn)未來投資效益的最大化與代表提前支取需求的工會(huì)組織進(jìn)行動(dòng)態(tài)的非合作博弈。作者使用常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)衡量雙方效用，通過建模計(jì)算得到投資與提前支取的均衡策略的解析形式，并分析了風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)對(duì)策略的影響。在經(jīng)濟(jì)分析中，作者討論了在兩種經(jīng)濟(jì)模式下的策略選擇，即牛市與熊市。然而，這些經(jīng)濟(jì)模式并不是一成不變的，而是以一定的概率相互轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換來自于金融市場的不穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)性變化。目前，很多文獻(xiàn)研究了相關(guān)的問題。如Hainaut和Donatien[7]考慮了在模式轉(zhuǎn)化下的養(yǎng)老基金投入的沖動(dòng)控制，Chen和Yam[8]，Jin和Yin 等[9]和Zhu[10]研究了在模式轉(zhuǎn)換情形中保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)控制問題。

綜上，本文在存在模式轉(zhuǎn)換的市場中考慮養(yǎng)老金計(jì)劃中投資與支取的策略選擇問題。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理得到關(guān)于最優(yōu)策略的Hamiton-Jacobi-Bellman方程組，利用數(shù)值方法計(jì)算此方程組得到相關(guān)策略。最后，我們使用韓國市場的數(shù)據(jù)分析了風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度對(duì)策略的影響。

1 博弈模型

1.1 金融市場與資金盈余過程

設(shè)(Ω,Ft,P)為完備概率空間，其中Ft是由Y(t)和W(t)產(chǎn)生自然域流過程，Y(t)是兩值的連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈，其值為模式1和模式2，表示兩種不同的市場狀態(tài)，如牛市與熊市。模式i在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)換為模式j(luò)的強(qiáng)度為λi(j≠i)，即在無限小的時(shí)間段dt中[11-12]：

Probability(Y(t+dt)=j|Y(t)=i)=λidt.

設(shè)投資者有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即債券)B和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即股票)S。假設(shè)B的利率r(t)為

r(t)=r(t,Y(t))

(1)

設(shè)b(t)和σ(t)分別表示風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)S的回報(bào)率和波動(dòng)率。我們令

b(t)=b(t,Y(t)),σ(t)=σ(t,Y(t)).

(2)

在狀態(tài)i時(shí)，設(shè)r(t)=ri,b(t)=bi和σ(t)=σi，滿足bi>ri和σi>0。設(shè)W(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，則資產(chǎn)的動(dòng)態(tài)過程為

dB(t)=r(t)B(t)dt,

(3)

dS(t)=b(t)S(t)dt+σ(t)S(t)dW(t).

(4)

假設(shè)投資公司(企業(yè))是養(yǎng)老基金的投資決策者。X(t)表示在t時(shí)的資金盈余，初始資金X(0)>0?？紤]博弈參與者之一：養(yǎng)老計(jì)劃參與者，并以工會(huì)代表他們的整體。我們認(rèn)為，養(yǎng)老計(jì)劃的參與者是短視的，他們期望能在資金池中提前提取收益。在t時(shí)工會(huì)的博弈策略設(shè)為提取的收益P(t)。參與博弈的另一方為投資公司，它利用金融市場進(jìn)行投資。本文中只考慮兩類資本配置，即認(rèn)為金融市場包括一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，而投資公司決策在這兩類資產(chǎn)的投資份額。設(shè)它投資于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額設(shè)為π(t)，則它投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額設(shè)為X(t)-π(t)。根據(jù)投資公司的交易策略π(t)和工會(huì)的提取策略P(t)，得到基金池中的財(cái)富X(t)滿足。

(5)

將(3)和(4)代入(5)得

dX(t)=(r(t)X(t)+π(t)(b(t)-r(t))-P(t))dt+σ(t)π(t)dW(t),

(6)

與初始條件X(0)=x>0共同構(gòu)成資產(chǎn)盈余的動(dòng)態(tài)過程。

設(shè)博弈雙方的策略都是馬爾可夫的，即在t時(shí)刻策略依賴于狀態(tài)變量X(t)和狀態(tài)變量Y(t)，也就是π(t)=π(X(t),Y(t))，P(t)=P(X(t),Y(t))，其中：

{π(X(t),Y(t)):t≥0}和{P(X(t),Y(t)):t≥0}是Ft-可測的。另外，我們設(shè)(P,π)滿足可積性條件

給定X(0)=x和Y(0)=i，隨機(jī)微分方程(6)存在唯一的解。將滿足上述條件的策略集合記為AU和AF，分別表示工會(huì)和企業(yè)的可行策略集。為了表達(dá)簡便，在不引起誤解的情況下，下文中記(π(X(t),i),P(X(t),i))為(πi(t),Pi(t))，i∈{1,2}。

1.2 博弈參與者的收益函數(shù)

(7)

(8)

其中v是投資公司的效用函數(shù)，β>0是時(shí)間偏好。這里，使用常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用函數(shù):

可以證明，這些效用函數(shù)是嚴(yán)格凹的。

1.3 Nash均衡策略

在動(dòng)態(tài)非合作環(huán)境中，相關(guān)的解是馬爾可夫完全納什均衡(MPNE)。養(yǎng)老金游戲的MPNE指的是一對(duì)可接受的策略(P*,π*)∈AU×AF，對(duì)于任何(P,π)∈AU×AF，

在文章中，對(duì)照組患者進(jìn)行常規(guī)的護(hù)理，而觀察組患者則實(shí)施優(yōu)質(zhì)護(hù)理，常規(guī)護(hù)理組的患者在病情及生活質(zhì)量方面均有一定程度的改善，但相較于觀察組的優(yōu)質(zhì)護(hù)理來說，差距較大，效果尚不理想[11-12]。飲食護(hù)理能夠促使患者補(bǔ)充更多高蛋白食物，用藥護(hù)理能夠促進(jìn)患者的病情改善，生活護(hù)理能夠?yàn)榛颊咛峁┦孢m的治療環(huán)境，改善患者的心境，進(jìn)而促進(jìn)病情改善[13-14]。在本文數(shù)據(jù)當(dāng)中，觀察組在依從性上和生活質(zhì)量評(píng)分上，均較對(duì)照組有優(yōu)勢（P＜0.05）。

對(duì)于任何x>0和i∈{1,2}有

JU(x,i;P*,π*)≥JU(x,i;P,π*),

JF(x,i;P*,π*)≥JF(x,i;P*,π).

設(shè)VU,i(x)和VF,i(x)分別是i狀態(tài)下工會(huì)和公司的價(jià)值函數(shù)，即

VU,i(x)=JU(x,i;P*,π*)，VF,i(x)=JF(x,i;P*,π*).

定義1：當(dāng)i∈{1,2}時(shí), 我們定義

函數(shù)hi(x)為hi(x)=λjx+(αs,iγ+λi)x1/γ-(αs,jγ+λj)-λix1/γ-1,

(9)

i,j∈{1,2},i≠j.

假設(shè)1：在本文中, 假設(shè)αs,i>0,βs,i>0,i=1,2.

引理1：在假設(shè)1條件下，任何i≠j∈{1,2}, 如果αs,i≥αs,j, 則方程hi(x)=0在(0,1]有唯一解ci，然而hj(x)=0在[1,∞)有唯一解cj. 否則，方程hi(x)=0在(1,∞)有唯一解ci，而方程hj(x)=0在(0,1)有唯一解cj. 在這兩種情況下，ci=1/cj. 此外, 定義αi和βi為

命題1:在假設(shè)1條件下，工會(huì)和企業(yè)在納什養(yǎng)老金博弈(6)，(7)和(8)中的價(jià)值函數(shù)為

(10)

(11)

均衡資金盈余是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)過程,

dX*(t)=X*(t)[(r(t)+θ2(t)/δ-A-1/γ(t))dt+θ(t)/δdW]，

(13)

這里A(t)=Ai，Y(t)=i. 因此X*>0.

并滿足值函數(shù)

均衡資金盈余是一個(gè)幾何布朗運(yùn)動(dòng)過程，

dX*(t)=X*(t)[(r(t)+θ2(t)-α)dt+θ(t)dW]，

因此X*>0.

2 經(jīng)濟(jì)分析

以Jang和Kim[13]的結(jié)果，采用1997年-2012年韓國綜合股市相關(guān)參數(shù)進(jìn)行研究。設(shè)μ1=μ2=0.684，σ1=0.2328，σ2=0.5003，r1=r2=0.0117，以及轉(zhuǎn)換強(qiáng)度λ1=0.1063和λ2=0.7682. 對(duì)兩個(gè)參與者取相同的折現(xiàn)因子等于0.98，這意味著α=β=0.02.此外，設(shè)δ=γ∈[1,10]，此時(shí)，

(14)

在該例中均為正。

圖1表示在有和沒有模式轉(zhuǎn)換的兩種制度下，工會(huì)在風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ∈[1,10]下抽取的比例。如果不進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在牛市中所得到的收益要比在熊市中高得多。因此，均衡策略要求工會(huì)在經(jīng)濟(jì)衰退時(shí)謹(jǐn)慎行事。在存在模式轉(zhuǎn)化的情況下，在兩個(gè)模式下提前抽取的收益占基金盈余的份額相似，且貼近牛市的策略。這是因?yàn)榧僭O(shè)熊市以相對(duì)大的概率轉(zhuǎn)化為牛市，而牛市則以較小概率進(jìn)入熊市。這表示博弈參與者對(duì)市場現(xiàn)狀存在較為樂觀的預(yù)期，所以工會(huì)主張抽取更多收益，所抽取的基金盈余份額略低于市場一直保持牛市的情況。

圖1 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下工會(huì)提前支取比率 圖2 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)下公司值函數(shù)參數(shù)

圖2表示在有和沒有模式轉(zhuǎn)換的兩種情況下，投資公司在風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ∈[1,10]下的值函數(shù)系數(shù)Bi的變化。如果不存在模式轉(zhuǎn)換，那么熊市中的價(jià)格要比牛市中的價(jià)格高得多?？梢越忉屵@種行為，在蓬勃發(fā)展的經(jīng)濟(jì)中，工會(huì)要求比熊市獲得更大的利益。因?yàn)棣?1，所以更小的Bi表示投資公司在相同的資金流時(shí)獲得更大效用。在牛市中，投資公司由于對(duì)未來的樂觀預(yù)期，所以其期望效用高于熊市的情況。在存在模式轉(zhuǎn)換的情況下，投資公司的期望效用趨同且略低于沒有模式轉(zhuǎn)換牛市的情況。

圖3顯示在不同的模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度下的工會(huì)的博弈策略。當(dāng)研究牛市轉(zhuǎn)換為熊市的轉(zhuǎn)換強(qiáng)度λ1∈[0.1,1]的影響時(shí)，設(shè)置熊市轉(zhuǎn)換牛市的轉(zhuǎn)換強(qiáng)度為默認(rèn)值λ2=0.7682。與此類似，研究熊市轉(zhuǎn)換為牛市的轉(zhuǎn)換強(qiáng)度λ2∈[0.1,1]的影響時(shí)，我們設(shè)置牛市轉(zhuǎn)換熊市的轉(zhuǎn)換強(qiáng)度為默認(rèn)值λ1=0.1063。同時(shí)，我們設(shè)δ=γ=2?？梢钥闯?，隨著λ1增大時(shí)，對(duì)市場的預(yù)期更加悲觀，因此工會(huì)在兩種模式下抽取更少的收益。相反的，隨著λ2增加，對(duì)市場的預(yù)期更加樂觀，工會(huì)在兩種模式下抽取更多的收益。同時(shí)，我們看出在λi,i=1,2增加的情況下，兩種模式下策略會(huì)有所靠近。

圖3 不同模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度下工會(huì)提前支取比率 圖4 不同模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度下公司值函數(shù)參數(shù)

圖4顯示不同的模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度下的博弈中投資公司的效益?？梢钥闯?，隨著λ1增大時(shí)，投資公司效益降低。而當(dāng)λ2增大時(shí)，投資公司效益增加。

3 結(jié)論

在傳統(tǒng)的養(yǎng)老金管理問題中，以往的文獻(xiàn)一般關(guān)注的是投資策略選擇問題。把養(yǎng)老計(jì)劃的參與者設(shè)置為被動(dòng)的，即他們沒有退出養(yǎng)老計(jì)劃的意愿或者以前支取養(yǎng)老金的權(quán)利。本文采用了一種較為新的模型，即Josa等[14]所提出的工會(huì)——投資公司養(yǎng)老金博弈模型。作為博弈的參與者之一，投資公司是傳統(tǒng)的框架下的基金管理者，它決定了投資的風(fēng)險(xiǎn)敞口。另一個(gè)博弈的參與者是工會(huì)，它是基金的所有者且可能會(huì)不信任基金管理者。假設(shè)工會(huì)有權(quán)利抽取基金的盈利部分，也就是提前支取養(yǎng)老金，在考慮金融市場出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性變化的情況下工會(huì)與投資公司的博弈策略選擇問題。我們給出一個(gè)非對(duì)稱的博弈模型，得到了Nash均衡解。根據(jù)理論分析，在沒有模式轉(zhuǎn)換的情況下得到了Nash均衡解的完全解析形式，同時(shí)得到模式轉(zhuǎn)換下的解與無模式轉(zhuǎn)換的解的關(guān)系。通過分析風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度對(duì)均衡策略的影響，得到如下的結(jié)論：

(1) 采用CRRA模型時(shí)，得到工會(huì)抽取基金盈余的比率是一個(gè)常數(shù)，與風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)、市場情況和模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度有關(guān)。投資公司的投資策略與莫頓模型一致，且不受模式轉(zhuǎn)換的影響。

(2) 在牛市中，工會(huì)抽取基金盈余的比率較大，而在熊市中，工會(huì)抽取比率較小。這是因?yàn)楣?huì)想要分享市場繁榮帶來的利益。這種趨勢隨著模式轉(zhuǎn)換強(qiáng)度的增加而減弱。