趙 洋,石屹然,石要武

(吉林大學 通信工程學院，吉林 長春 130022)

1 引 言

波達方向(Direction of Arrival, DOA)定位和跟蹤是自適應天線以及陣列信號處理的重要研究方向，其在網(wǎng)絡通信、導航、射電天文、地震勘探、醫(yī)療診斷等領域都有深入的應用。DOA估計的基本問題是通過設計算法對同時出在空間某區(qū)域內(nèi)的多個目標信號的空間位置進行估計。近些年發(fā)展起來的稀疏表示理論的基本出發(fā)點是假設基函數(shù)在某變換域中是稀疏的，這點恰恰與DOA空域信號在整個空間區(qū)域內(nèi)稀疏分布相契合，所以稀疏恢復算法正在被廣泛用于陣列信號處理領域。

稀疏恢復算法為陣列信號處理提供了新的解決思路的同時也帶來了網(wǎng)格量化誤差問題。目前幾乎所有稀疏表示測向算法[1-5]中均假設DOA信號恰好落在預設網(wǎng)格上，基于此假設陣列信號模型可以通過對整個角度空間的網(wǎng)格化轉(zhuǎn)化為在各個網(wǎng)格點上(on-grid)的線性稀疏重構模型。然而，真實的來波信號在角度空間內(nèi)連續(xù)分布，依賴上述假設建立的稀疏重構模型與真實測向模型之間存在模型擬合誤差。隨著在整個空間域內(nèi)劃分的網(wǎng)格數(shù)的增加這個模型擬合誤差在一定程度上會減少，然而由于離散網(wǎng)格數(shù)畢竟是有限的，所以此誤差無法完全消除。并且增加網(wǎng)格數(shù)會帶來大計算量的同時也會導致字典相鄰原子間的相關性顯著增加，這又與稀疏表示理論要求原子間滿足有限等距條件(Restricted Isometry Property: RIP)相矛盾，進而對算法運算結果帶來影響。

為了克服網(wǎng)格量化誤差對測向的影響，研究學者對離格(off-grid)信號場景進行了研究，通過陣列導向的一階泰勒展開式將網(wǎng)格偏移量引入DOA估計的off-grid模型。文獻[6]利用交替迭代優(yōu)化思想解決壓縮感知算法中的重構矩陣存在誤差的問題，提出了稀疏全局最小二乘法。然而該算法性能受限于兩個正則化參數(shù)的選擇。文獻[7]提出了一種類似基追蹤去噪(Basis Pursuit DeNoising, BPDN)的算法對信號和網(wǎng)格量化誤差進行聯(lián)合求解。文獻[8]研究了上述off-grid模型進行DOA估計中網(wǎng)格量化誤差的理論下限。文獻[9]針對DOA估計的off-grid模型提出了一種混合范數(shù)優(yōu)化算法。上述文獻均采用基于lp,0≤p≤1 范數(shù)約束的凸優(yōu)化算法進行求解，而對信號DOA和網(wǎng)格量化誤差進行聯(lián)合估計是非凸問題，通常需要交替迭代多次求解凸優(yōu)化問題，計算量較大且設置正則化參數(shù)缺乏統(tǒng)一的理論支撐。

以OMP算法為代表的貪婪算法因其具有計算量小、邏輯清晰、所需先驗知識少等優(yōu)點，被廣泛用于稀疏恢復的各個領域。然而以往的文獻中利用貪婪算法解決基于off-grid模型的DOA估計問題卻鮮有報道。主要原因是這類方法在冗余字典原子間相關性較強時性能顯著惡化[10-11]，如此會導致的低分辨率使得考慮網(wǎng)格量化誤差變得沒有意義。事實上由導向矢量展開生成的冗余字典局部范圍內(nèi)原子間具有的強互相關性會導致大多數(shù)稀疏恢復算法在處理空間距離相近的一對信號時性能惡化。而貪婪算法通常恰以殘差與原子的相關度大小作為判定該原子是否選入支撐集的判定標準，導致此類算法受到冗余字典原子互相關性的影響更為顯著。文獻[12]說明了貪婪算法無法分辨在同一波束內(nèi)的多個方向信號。為了提高此類算法的分辨能力，文獻[13-14]提出了多級樹狀匹配追蹤模型，文獻[15]采用適用與多塊拍的場合的DOA估計匹配追蹤算法(Multiple Measurement Vector, MMVOMP)，文獻[12,16-17]分別針對均勻線陣、均勻面陣和非均勻線陣提出基于字典原子擴維的聚焦OMP(Focused OMP，F(xiàn)OMP)算法。但是以上算法以及其他OMP的衍生算法如ROMP[18]CSMP[19]都沒從根本上降低此類算法對冗余字典原子間互相關性的依賴性，從而無法真正改善在其用于DOA估計時超分辨能力不足的問題。此時只能依靠增大陣列孔徑來提高分辨率，而實際應用中很多特殊場合對陣列孔徑的大小有嚴格限制，如機載雷達。本文從支撐集判定規(guī)則角度對此類算法進行修正，設計改進算法以滿足分辨率要求，同時考慮了網(wǎng)格量化所帶來的誤差影響。

2 數(shù)學模型

考慮M個陣元構成的均勻線形陣列如圖1所示，陣元間距d等于半波長，接收K個互不相關的遠場窄帶信號的陣列輸出為：

圖1 10個陣元構成的均勻線形陣列Fig.1 Uniform linear array composed of ten elements

X(t)=A(θ)s(t)+e(t),

(1)

其中:e(t)為高斯白噪聲。根據(jù)陣列信號模型，當陣列接收到足夠快拍數(shù)時，有陣列輸出數(shù)據(jù)可以得到協(xié)方差矩陣為：

R=E[XXH]=A(θ)RSAH(θ)+σIM,

(2)

其中:E[·]表示求期望，上標H表示求共軛轉(zhuǎn)置，RS表示信號S的協(xié)方差矩陣。當入射信號互不相關時RS為對角矩陣，對角線元素分別為{p1,...,pK}，pk為第k個入射信號的功率。此時對(1)進行向量化操作得到：

r=(A*(θ)⊙A(θ))p=Φ(θ)p,

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Δ稱為模型的量化誤差矩陣，當Δ=0時，模型(6)和模型(4)等價，此時所有入射信號恰好落在預設網(wǎng)格上。顯然模型(6)考慮到了離格情況的發(fā)生，對比模型(4)，模型(6)與真實信號模型吻合度更高。

信號協(xié)方差矩陣R理論上需要無窮快拍才能精確計算，現(xiàn)實系統(tǒng)中只能通過有限的L次采樣計算R的估計值：

(7)

υHΦ(θk)=0.

(8)

依照式(8)對OMP算法支撐集提取規(guī)則進行修正，打破對原子間的互相關度的單一依賴。

3 算法實現(xiàn)

(9)

第二步保持p不變，更新Δ：

(10)

其中Δ=diag(φ1,...,φK)。將上述思想嵌入OMP算法框架，同時利用(8)對其進行修正得到噪聲子空間矢量離格OMP(NSVOGOMP)算法過程如下：

(11)

(12)

令?L(Δk)/?Δk=0可以得到Δk的對角線上的第nk個元素更新為：

(13)

(14)

具體算法流程如下：

該算法的優(yōu)點是無需已知信號源個數(shù)。

第k次迭代：

Step1利用式(11)確定支撐集序號nk和對應的原子Φ(γnk)；

Step3:計算|υHΦ(γnk)|和|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|；

Step4：如果|υHΦ(γnk)|≥|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|則：

Step5：如果|υHΦ(γnk)|<|υH(Φ(γnk)+Γ(γnk)Δk)|則：

4 仿真實驗

本節(jié)主要評估文中NSVOGOMP算法的DOA估計性能，仿真實驗基于10陣元以相鄰陣元間距半波長排列構成的均勻線形陣列為基礎圍繞驗證算法估計的精度與方向分辨能力展開。在實際應用中本文所提算法適用于任意幾何結構陣列。實驗中要求信號的DOA在角度域以內(nèi)但是允許落在預設網(wǎng)格以外的任意情況發(fā)生。

4.1 實驗一:驗證支撐集判定規(guī)則

4.2 實驗二：NSVOGOMP算法的DOA估計性能

實驗二驗證了NSVOGOMP算法的DOA估計性能。對于10陣元的ULA陣列，波束寬度BW≈15°,信噪比SNR1，2，3，4=10 dB，設角度域內(nèi)存在2對K=4個互不相關的遠場窄帶鄰近信號：θ11=20°,θ12=25° 和θ21=-35°,θ22=-40°。實驗結果與實驗一中算法在相同參數(shù)設置條件下進行比較。網(wǎng)格設置在-90°～90°，網(wǎng)格設置步長l為1°。圖2顯示了三種算法在快拍數(shù)為L=100次時的歸一化空間譜。

圖2 初始殘差在字典原子方向上的投影Fig.2 Projection of initial residuals in dictionary atomic direction

圖3 三種OMP類算法的歸一化空間譜Fig.3 Normalized spatial spectrum of three OMP algorithms

為了方便進行比較，需要將三種OMP算法的停止條件進行統(tǒng)一，由于不同算法的殘差衰減速度不同這里統(tǒng)一設置每種OMP算法迭代次數(shù)等于信號源個數(shù)。且由于另外兩種算法都是直接定義在陣列輸出X(t)上的，且FOMP算法的字典中原子維數(shù)又與其他兩種算法不同，導致空間譜幅值差異較大，為了方便觀察本實驗對所有空間譜幅度均進行歸一化處理。圖1中可以看到本文所提出算法對處理互相臨近的DOA信號對時比其他兩種算法存在優(yōu)勢，在快拍數(shù)滿足一定數(shù)量的時候可以很好的估計出波束寬度以內(nèi)的一對信號源位置。

4.3 實驗三：分離角度偏差實驗

實驗三為了研究算法進行DOA估計的空間角度分辨能力，本文重復文獻[1]中的分離角實驗。將實驗二中的三種算法與Root-MUSIC算法在相同參數(shù)設置條件下進行比較。設有一對等功率信號：θ11=-50°,θ12=-50°+δ°，其中δ以1°間隔從1°增加到50°，每變化一次生成一對信號，每對信號進行100次蒙特卡洛實驗，設置信噪比SNR1,2=0 dB，快拍數(shù)L=500考察算法對每一對角度估計的偏差：

(15)

從圖4可以看到本文所提算法的分辨能力僅次于Root-MUSIC而優(yōu)于其他兩種OMP算法。MMVOMP算法很好的利用了多塊拍信息，但是無法分辨一個波束寬度(BW=15°)內(nèi)的兩個信號。利用噪聲子空間矢量修正支撐集提取標準為本文算法帶來了分辨率上優(yōu)越性。優(yōu)于Root-MUSIC使用了全部噪聲子空間矢量所以分辨率更高，但是該算法必須依賴于噪聲子空間的正確劃分，也就是必須假定已知信源個數(shù)。

圖4 分離角偏差實驗Fig.4 Separation angle deviation experiment

4.4 實驗四：均方根誤差實驗

估值值與真實值之間的均方根誤差(Root Mean Square Error：RMSE)是用來評價算法性能的重要指標。實驗四設定在小快拍L=50場景存在一組空間分布距離較近的遠場窄帶目標源θ11=20°,θ12=25°，θ13=30°，在不同信噪比下使用文獻[7]的FOMP算法、文獻[12]算法、Root-MUSIC算法以及本文算法進行DOA估計，所產(chǎn)生的RMSE定義為：

(16)

從圖5中可以看到，快拍數(shù)的不足會會嚴重影響子空間算法，如Root-MUSIC算法的性能，然而卻不會對本文所提算法產(chǎn)生明顯的影響，這主要得益于OMP算法的框架。FOMP算法雖然通過擴大字典維數(shù)改善了分辨率性能，但是沒有從根本上降低冗余字典列間的互相關性，所以在實驗條件下得不到無偏估計。本文所以算法在低信噪比時表現(xiàn)略差于其他算法，但是由于本文中基于OMP算法框架的NSVOGOMP算法不需要進行l(wèi)p,0≤p≤1范數(shù)約束的優(yōu)化求解，存在明顯的計算量和實時性優(yōu)勢。

圖5 幾種算法的RMSEFig.5 RMSE of several algorithms

5 結 論

本文從陣列輸出協(xié)方差矩陣出發(fā)，考慮到DOA角度偏離預設網(wǎng)格時產(chǎn)生的量化誤差。在OMP算法框架下設計內(nèi)部迭代過程對稀疏信號和其相應的量化誤差進行聯(lián)合估計。通過協(xié)方差矩陣的最小特征值對應的特征向量構造噪聲子空間向量，利用它一方面修正了OMP算法選擇支撐集的判定標準，另一方面也對離格誤差的估計結果進行判別。與子空間類算法相比，本文所提算法所需快拍數(shù)較少且無需預知信源個數(shù)；與一般貪婪類算法相比，本文所提算法大幅提高了對空間信號源方向的分辨能力；與lp,0≤p≤1范數(shù)優(yōu)化類算法相比，本文所提算法無需設置正則化參數(shù)且計算量較小。