劉 航,仇國(guó)慶,劉 平,楊金鳳,周 慧

(1.重慶郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院 工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)與網(wǎng)絡(luò)化控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,重慶400065;2.重慶建筑工程職業(yè)學(xué)院 軌道與機(jī)電工程系,重慶400072;3.重慶機(jī)床(集團(tuán))有限責(zé)任公司,重慶401336)

1 前 言

帶時(shí)間延遲最優(yōu)控制問題(time-delay optimal control problem，TDOCP)的求解是實(shí)現(xiàn)時(shí)滯工業(yè)過程對(duì)象最優(yōu)控制的一個(gè)核心[1-2]。在當(dāng)前最優(yōu)控制問題數(shù)值求解算法中，控制變量參數(shù)化(control variable parameterization，CVP)方法因具有求解精度高、離散化后非線性規(guī)劃(nonlinear programming，NLP)問題規(guī)模較小等優(yōu)點(diǎn)，在工業(yè)過程控制領(lǐng)域得到了眾多學(xué)者的青睞[3-5]。近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了諸多改進(jìn)方法用于TDOCP 問題的求解。比如，Gui等[6]基于CVP 方法推導(dǎo)了帶時(shí)間延遲系統(tǒng)的協(xié)態(tài)方法，并在鋅冶煉過程TDOCP 問題中進(jìn)行仿真試驗(yàn)，結(jié)果顯示優(yōu)化計(jì)算后鋅粉原料可以有效減少；Yu 等[7]研究了混合時(shí)間尺度變換(hybrid time-scaling，HTS)HTS-CVP 方法進(jìn)行時(shí)間延遲尺度轉(zhuǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)了TDOCP問題的有效求解；Lin 等[8]提出了2 種用于計(jì)算TDOCP 問題目標(biāo)函數(shù)梯度信息的方法，實(shí)現(xiàn)了時(shí)滯非線性系統(tǒng)的參數(shù)預(yù)估。此外，Jajarmi 等[9]基于龐特里亞金極大值原理將TDOCP 問題轉(zhuǎn)換為耦合兩點(diǎn)邊值問題，并推導(dǎo)了有限差分求解方法；文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]分別提出了單時(shí)間轉(zhuǎn)化和終值時(shí)間轉(zhuǎn)換算法用于終值時(shí)間不固定TDOCP 問題的求解。

對(duì)于傳統(tǒng)CVP 方法，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)間延遲的存在讓狀態(tài)變量和梯度信息的求解變得困難，進(jìn)而影響到TDOCP 問題的高效求解，因此狀態(tài)變量轉(zhuǎn)化與梯度信息計(jì)算一直是研究的熱點(diǎn)。然而，以傳統(tǒng)CVP 方法為基礎(chǔ)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件梯度求取方法[6-8]在算法復(fù)雜性和效率方面存在一定的不足，比如，協(xié)態(tài)方法通過構(gòu)造Hamilton 函數(shù)得到協(xié)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行梯度求取，但遲滯系統(tǒng)和協(xié)態(tài)系統(tǒng)因?yàn)槌跏贾挡煌⒉荒芡瑫r(shí)求解，需要引入插值方法進(jìn)行近似；時(shí)間尺度轉(zhuǎn)化方法引入時(shí)間尺度變換可以實(shí)現(xiàn)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的精確控制，但也增加了系統(tǒng)梯度信息求解的復(fù)雜度。因此，本文提出了一種求解TDOCP 問題的擴(kuò)展控制向量參數(shù)化方法。首先，采用控制變量參數(shù)化技術(shù)和光滑化罰函數(shù)法將TDOCP 問題近似轉(zhuǎn)化為不含路徑約束的有限維NLP 問題；進(jìn)一步，引入擴(kuò)展變分系統(tǒng)通過輔助狀態(tài)變量分析時(shí)間延遲狀態(tài)變量擴(kuò)展變分系統(tǒng)求解方法，以此實(shí)現(xiàn)遲滯系統(tǒng)與變分系統(tǒng)在統(tǒng)一初始時(shí)刻下求解；同時(shí)，針對(duì)擴(kuò)展變分系統(tǒng)直接推導(dǎo)出目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)于控制參數(shù)的梯度信息求解公式，為基于梯度信息的NLP 求解器提供高效梯度信息求取方法；最后，在兩個(gè)典型工業(yè)過程TDOCP 問題上進(jìn)行測(cè)試以驗(yàn)證所提方法的正確性和有效性。

2 問題描述

3 算法描述

3.1 控制變量參數(shù)化

3.2 時(shí)間延遲狀態(tài)變量擴(kuò)展變分系統(tǒng)

分析可知，由于時(shí)間延遲微分方程組的存在，問題(P2)中目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)于控制參數(shù)σ的梯度

將式(10)入式(15)，即可得到定理4 式(14)，證畢。

3.3 算法步驟

結(jié)合3.1節(jié)和3.2節(jié)算法推導(dǎo)，給出時(shí)間延遲最優(yōu)控制問題擴(kuò)展控制變量參數(shù)化算法(extended control variable parameterization,Extended-CVP)實(shí)現(xiàn)過程，其算法流程如圖1所示，主要步驟為：

步驟1.輸入帶時(shí)間延遲最優(yōu)控制問題(P1)，設(shè)置控制時(shí)域分段數(shù)N，給定初始控制參數(shù)0σ；

步驟2.在分段數(shù)N下，采用PCF 函數(shù)對(duì)控制變量進(jìn)行離散化，得到參數(shù)化后非線性優(yōu)化問題(P2)；

步驟3.求解時(shí)間延遲狀態(tài)變量擴(kuò)展變分系統(tǒng)，得到輔助狀態(tài)變量 ( )tΓ的值；

步驟4.采用式(14)得到g～l(σ) ,l∈ {0}∪E函數(shù)關(guān)于控制參數(shù)σ的擴(kuò)展梯度信息；

步驟5.選擇NLP 求解器求解問題(P2)，得到優(yōu)化后最優(yōu)控制參數(shù)σ*和目標(biāo)函數(shù)g0(σ*)，輸出優(yōu)化結(jié)果。

圖1 擴(kuò)展控制變量參數(shù)化算法流程圖Fig.1 Flow chart of extended control variable parameterization approach

4 仿真測(cè)試

圖2 Soliman 和Ray 連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器生產(chǎn)過程Fig.2 Continuous stirred tank reactor of Soliman and Ray process

4.1 閉環(huán)連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器最優(yōu)控制

表1 連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器最優(yōu)控制問題結(jié)果對(duì)比Table 1 Result comparison of continuous stirred tank reactor optimal control problem

圖3 連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器最優(yōu)控制曲線Fig.3 Optimal control curvesof continuous stirred tank reactor

圖4 連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器最優(yōu)狀態(tài)曲線Fig.4 Optimal state curves of continuous stirred tank reactor

4.2 狀態(tài)延遲LQR 最優(yōu)控制

本例以Jajarmi 等[20]研究的帶狀態(tài)延遲線性二次型調(diào)節(jié)器(linear quadratic regulator，LQR)為對(duì)象進(jìn)行測(cè)試，其TDOCP 問題模型如下所示，模型中所采用的參數(shù)數(shù)值見表2。表中a、c為狀態(tài)變量x(t)輸入矩陣的取值參數(shù)，b為延遲狀態(tài)變量x(t-h)輸入矩陣的取值參數(shù)，h為時(shí)間延遲量，tf為最優(yōu)控制終值時(shí)間，S為終值狀態(tài)加權(quán)矩陣，Q為狀態(tài)變量加權(quán)矩陣，R為控制變量加權(quán)矩陣。

測(cè)試中，控制時(shí)域采用等間隔方式劃分，分段數(shù)設(shè)置為21、40和150，初始控制參數(shù)取σ0=1，NLP 求解器優(yōu)化精度設(shè)置為10-4。對(duì)于上述LQR 最優(yōu)控制問題，文獻(xiàn)[20]以CVP 方法為基礎(chǔ)推導(dǎo)了循環(huán)單射(recursive shooting，RS)RS-CVP 方法，通過8次循環(huán)迭代得到了18.110 3的當(dāng)前文獻(xiàn)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值；文獻(xiàn)[9]提出了改進(jìn)的有限差分(finite difference，F(xiàn)D)方法，在21個(gè)優(yōu)化參數(shù)下得到了18.450 2 的優(yōu)化結(jié)果；文獻(xiàn)[21]推導(dǎo)了迭代對(duì)偶譜方法(iterative symplectic pseudospectral method，ISPM)，在雙重配點(diǎn)下計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值為18.347 6。表3列出了文獻(xiàn)方法和本文方法的求解結(jié)果，比較可知，在21個(gè)優(yōu)化參數(shù)下，本文方法求得的優(yōu)化結(jié)果為18.446 4，優(yōu)于FD方法在相同優(yōu)化參數(shù)下的結(jié)果，雖然本文方法的優(yōu)化結(jié)果相比于RS-CVP 方法存在0.336 1的差距，但是本文方法只需要一次參數(shù)化迭代；同時(shí)，與文獻(xiàn)[21]所求得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，本文方法與ISPM方法的目標(biāo)函數(shù)、系統(tǒng)狀態(tài)曲線一致，顯示出本文方法的實(shí)用性和正確性。圖5、6分別給出了40分段數(shù)下Extended-CVP 方法求得的LQR 問題最優(yōu)控制曲線和狀態(tài)曲線，與文獻(xiàn)結(jié)果一致，同時(shí)也很好地滿足了控制要求，進(jìn)一步表明了本文方法的效果。

表2 狀態(tài)延遲LQR 問題參數(shù)值Table 2 Parametersof state time-delay LQR optimal control problem

表3 狀態(tài)延遲LQR 問題結(jié)果對(duì)比Table 3 Result comparison of state time-delay LQR optimal control problem

圖5 狀態(tài)延遲LQR 問題最優(yōu)控制曲線Fig.5 Optimal control curve of state time-delay LQR optimal control problem

圖6 狀態(tài)延遲LQR 問題最優(yōu)狀態(tài)曲線Fig.6 Optimal state curvesof state time-delay LQR optimal control problem

5 結(jié) 論

本文提出了一種用于求解工業(yè)過程TDOCP 問題的擴(kuò)展控制變量參數(shù)化算法。該方法通過引入輔助狀態(tài)變量推導(dǎo)了時(shí)間延遲狀態(tài)變量擴(kuò)展變分系統(tǒng)，拓展了傳統(tǒng)CVP 方法對(duì)于帶時(shí)間延遲最優(yōu)控制問題的求解能力；同時(shí)，給出了目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對(duì)控制參數(shù)梯度信息的求解方法，為基于梯度信息的NLP求解器高效求解提供了支撐，保證了優(yōu)化求解的精度和效率。所提出的方法針對(duì)連續(xù)攪拌釜反應(yīng)器和LQR控制器兩個(gè)典型TDOCP 問題進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果顯示提出方法能在較少優(yōu)化參數(shù)下取得與文獻(xiàn)結(jié)果相近甚至更優(yōu)的結(jié)果，表明了本文方法的有效性和正確性。考慮非均勻時(shí)間間隔控制變量參數(shù)化和不確定參數(shù)進(jìn)一步提升本文方法對(duì)TDOCP 問題的適用性是下一步工作計(jì)劃開展的課題。