杜紅春，張 祺

(1.江蘇食品藥品職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 淮安 223002；2.攀枝花學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 攀枝花 617000)

0 引 言

鈦合金材料在加工過程中，由于加工參數(shù)選擇不合理，會導(dǎo)致材料存在變形問題。有必要對鈦合金切削加工參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，提出精度更高的數(shù)學(xué)模型；并在建立的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論加工參數(shù)對切削力的影響。

實際工程優(yōu)化問題通常需要建立一個或者是多個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，在特定的條件和約束下實現(xiàn)工程優(yōu)化[1]。代理模型是解決實際工程優(yōu)化問題關(guān)鍵技術(shù)之一，能夠以少量樣本數(shù)量建立滿足工程實際使用的數(shù)學(xué)模型[2]，同時減少了物理試驗次數(shù)，提高了優(yōu)化效率[3]。代理模型是一種主要包含試驗設(shè)計和近似方法的建模方法，試驗設(shè)計為代理模型的建立提供了數(shù)據(jù)樣本。根據(jù)樣本抽取方式不同，試驗設(shè)計方法主要有全因子試驗、BOX-BEHNKEN、中心組合設(shè)計、正交試驗、拉丁超立方試驗、優(yōu)化拉丁超立方試驗、均勻設(shè)計等[4-5]。近似方法則主要包括了包括多項式響應(yīng)面(PRSM)[6]、徑向基函數(shù)(RBF)[7]、Kriging模型[8]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)[9]、支持向量回歸(SVR)[10]、基因表達(dá)編程[11]等多種代理模型方法。Kriging模型是一種常用的近似方法，由Krige提出[12]。為提高其精度，學(xué)者們先后對其進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化，特別是利用智能算法對其變異函數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。如朱恒軍等人[13]采用改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法,優(yōu)化了Kriging模型的變異函數(shù)參數(shù)；李晨霖等人[14]采用PSO算法優(yōu)化了Kriging模型變異函數(shù)參數(shù)；薛小鋒[15]利用GA算法對模型的變異函數(shù)進(jìn)行了尋優(yōu)；劉輝元等人[16]用模擬退火算法，提高了其理論變異函數(shù)擬合精度；劉夏等[17]用模擬退火和人工蜂群，對Kriging模型變異函數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

為研究不同樣本數(shù)據(jù)建立Kriging模型的精度問題，筆者探討不同試驗方法產(chǎn)生的數(shù)據(jù)樣本對Kriging模型精度的影響；同時在最佳的試驗設(shè)計方案基礎(chǔ)上，采用量子粒子群算法對傳統(tǒng)的Kriging算法進(jìn)行改進(jìn),優(yōu)化變異函數(shù)參數(shù),以提高Kriging算法的擬合精度。

1 克里金代理模型

Kriging(克里金)模型在解決非線性程度較高的問題時，可較容易獲得理想的擬合結(jié)果，其插值結(jié)果定義為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)，即：

(1)

式中：fj(x)—函數(shù)，一般為多項式；βj—相對應(yīng)的系數(shù)；Z(x)—靜態(tài)隨機(jī)過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

且對于設(shè)計空間內(nèi)不同兩點(diǎn)處，所對應(yīng)的隨機(jī)變量之間的協(xié)方差為：

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(2)

(3)

式中：R(xi,xj)—相關(guān)性函數(shù)，它表示不同位置處隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，常用的相關(guān)性函數(shù)為高斯型函數(shù)。

式(3)中的θ為Kriging模型的變差函數(shù)的參數(shù)，其大小通過極大似然估計法求解優(yōu)化問題的方式來確定：

(4)

為保證Kriging預(yù)測值與真實函數(shù)值之間的均方根誤差(RMSE)最小，可得到Kriging模型的近似表達(dá)式為：

(5)

2 試驗設(shè)計

2.1 切削仿真試驗因素水平

參考文獻(xiàn)[18]，筆者討論建立切削速度、進(jìn)給量以及刀具前角3個參數(shù)與切削力的之間的數(shù)學(xué)模型。切削速度、進(jìn)給量以及刀具前角3個參數(shù)各取3個水平，則切削仿真試驗因素水平表如表1所示。

表1 切削仿真試驗因素水平表

2.2 試驗設(shè)計及其響應(yīng)

筆者研究不同試驗方法產(chǎn)生的數(shù)據(jù)樣本對KRIGING模型精度的影響，分別對文獻(xiàn)中的3個因素3個水平進(jìn)行BOX-BEHNKEN試驗[19]、正交試驗[20]、優(yōu)化拉丁超立方試驗[21]、全因子試驗[22]，然后分析得到的試驗及其主切削力響應(yīng)情況。

全因子試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)如表2所示。

表2 全因子試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)

BOX-BEHNKEN試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)如表3所示。

表3 BOX-BEHNKEN試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)

正交試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)如表4所示。

表4 正交試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)

優(yōu)化拉丁超立方試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)如表5所示。

表5 優(yōu)化拉丁超立方試驗設(shè)計及其切削力響應(yīng)

3 基于不同試驗設(shè)計的主切削預(yù)測模型精度研究

3.1 模型指標(biāo)情況

根據(jù)參考文獻(xiàn),對于代理模型的模型精度檢驗指標(biāo)，目前主要使用確定性系數(shù)(R2)、均方根誤差(RMSE)和相對最大絕對值誤差(RMAE)。其中，前2個指標(biāo)主要表征了模型的全局近似精度，相對最大絕對值誤差(RMAE)則用于反映模型的局部精度[23]。根據(jù)參考文獻(xiàn)[24]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(6)

(7)

(8)

R2越接近于1，表明代理模型全局逼近的效果越好；RMSE越小，則代理模型的精度越高；RMAE值越小，表明代理模型的精度越高。

根據(jù)第4節(jié)中的試驗設(shè)計及其響應(yīng)值，基于不同試驗設(shè)計的主切削預(yù)測模型指標(biāo)情況如表6所示。

表6 基于不同試驗設(shè)計的主切削預(yù)測模型指標(biāo)情況

根據(jù)表6中的BOX-BEHNKEN試驗、正交試驗、優(yōu)化拉丁超立方試驗、全因子試驗4種試驗設(shè)計方法下建立的kriging代理模型，R2指標(biāo)都大于0.9，屬于可用的范圍。其中，全因子試驗為最好，其次是全因子試驗；RMSE指標(biāo)中，全因子試驗接近于0，正交試驗為6.944 3，小于BOX-BEHNKEN試驗和優(yōu)化拉丁超立方試驗；RMAE指標(biāo)中，全因子試驗接近于0，正交試驗為0.243 8，小于優(yōu)化拉丁超立方試驗，但大于小BOX-BEHNKEN試驗。

根據(jù)確定性系數(shù)(R2)、均方根誤差(RMSE)和相對最大絕對值誤差(RMAE)的情況可知，全因子試驗最優(yōu)，其次是正交實驗。但是全因子試驗需要對所在可能的試驗進(jìn)行全面試驗，加大了試驗成本，效率不高；綜合判斷正交試驗的效果相對而言更好。

3.2 主切削力預(yù)測結(jié)果殘差分析

筆者采用BOX-BEHNKEN試驗、正交試驗、優(yōu)化拉丁超立方試驗、全因子試驗方法建立的Kriging近似模型，對全因子試驗及其主切削力響應(yīng)表中的主切削力進(jìn)行預(yù)測。

BOX-BEHNKEN試驗殘差圖如圖1所示。

圖1 BOX-BEHNKEN試驗殘差圖

從圖1可以看出全因子實驗中27個主切削力響應(yīng)的預(yù)測情況；14點(diǎn)與實際值偏差，偏差最大值接近20 MPa；BOX-BEHNKEN試驗擬合誤差在(-20,-10)區(qū)間上3個點(diǎn)，在(-10,0)區(qū)間上3個點(diǎn)，(0,10)區(qū)間上6個點(diǎn)，(10,20)區(qū)間上2個點(diǎn)。

正交試驗殘差圖如圖2所示。

圖2 正交試驗殘差圖

從圖2可以看出全因子實驗中27個主切削力響應(yīng)的預(yù)測情況；17點(diǎn)與實際值偏差，偏差最大值接近20 MPa；正交試驗擬合誤差在(-20,-10)區(qū)間上4個點(diǎn)，(-10,0)區(qū)間上5個點(diǎn)，(0,10)區(qū)間上9個點(diǎn)。

優(yōu)化拉丁超立方試驗殘差圖如圖3所示。

圖3 優(yōu)化拉丁超立方試驗殘差圖

從圖3可以看出全因子實驗中27個主切削力響應(yīng)的預(yù)測情況；19與實際值偏差,偏差最大值接近40 MPa；優(yōu)化拉丁超立方試驗擬合誤差在(-40,-20)區(qū)間上1個點(diǎn)，(-20,-10)區(qū)間上6個點(diǎn)，(-10,0)區(qū)間上4個點(diǎn)，(0,10)區(qū)間上5個點(diǎn)，(10,20)區(qū)間上1個點(diǎn)，(20,30)區(qū)間上2個點(diǎn)。

全因子試驗殘差圖如圖4所示。

圖4 全因子試驗殘差圖

從圖4可以看出全因子實驗中27個主切削力響應(yīng)的預(yù)測情況；9點(diǎn)與實際值偏差，偏差值均小于1。

綜合來看，從殘差的正態(tài)分布全因子試驗最好，次之是正交試驗，其次BOX-BEHNKEN；從3.1中的基于不同試驗設(shè)計的主切削預(yù)測模型R2、RSME指標(biāo)情況來看，正交試驗方法的效果最好；綜合殘差圖的偏差、殘差的正態(tài)分布、R2和RSME指標(biāo)情況來看全因子試驗最好，次之是正交試驗，其次是BOX-BEHNKEN，效果最差的是優(yōu)化拉丁超立方試驗。但是全因子試驗需要對所在可能的試驗進(jìn)行全面試驗，加大了試驗成本，效率不高；綜合判斷正交試驗的效果相對而言更好。

4 基于QPSO算法的預(yù)測模型改進(jìn)及仿真

4.1 預(yù)測模型改進(jìn)

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法粒子的速度和位置更新公式為：

Vi,j(t+1)=w(t)Vi,j(t)+c1r1[Pi,j(t)-Xi,j(t)]+
c2r2[Pg,j(t)-Xi,j(t)]

(9)

Xi,j(t+1)=Xi,j(t)+Vi,j(t+1)

(10)

式中：*i,j(t)—第t次迭代粒子i第j維*分量,*=V,P,X；Vi,j一般在限制在[Xmin,Xmax]；c1,c2—加速度常數(shù)，用于調(diào)整學(xué)習(xí)步長；r1,r2—[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

pi,j(t)=φi,j(t)Pi,j(t)+(1-φi,j(t))Pg,j(t)

(11)

在迭代過程中，粒子不斷地靠近并最終到達(dá)點(diǎn)pi。因此，此時如果存在著一種勢能(吸引勢)在引導(dǎo)粒子向著pi點(diǎn)靠近，就能保證了整個粒子群體的聚集性，而不會趨向無窮大。

具有量子行為的粒子群算法的位置更新方程表達(dá)式為：

(12)

筆者采用Li,j(t)=2α|Cj(t)-Xi,j(t)|，則QPSO方程可轉(zhuǎn)換為：

Xi,j(t+1)=pi,j(t)±a|Cj(t)-Xi,j(t)|
ln(1/ui,j(t)),ui,j(t)～U(0,1)

(13)

pi,j(t)=Pg,j(t)+φi,j(t)[Pi,j(t)-Pg,j(t)]

(14)

Cj(t)=

(15)

式中：a—擴(kuò)張—收縮因子。

筆者采用QPSO算法對其變異函數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,以提高其擬合精度。

基于QPSO算法的kriging預(yù)測模型改進(jìn)流程如圖5所示。

圖5 基于QPSO算法的Kriging預(yù)測模型改進(jìn)流程

4.2 仿真與分析

利用4.1中的QPSO-Kriging模型算法，采用正交試驗結(jié)果，基于MATLAB仿真平臺建立優(yōu)化后的QPSO3KRIGING模型，可得到其優(yōu)化前后的R2、RMSE、RMAE的結(jié)果。

優(yōu)化前后主切削力Kriging預(yù)測模型指標(biāo)情況如表7所示。

根據(jù)表7中的優(yōu)化前后主切削預(yù)測模型指標(biāo)情況可以看出，采用QPSO算法對Kriging算法進(jìn)行優(yōu)化后，確定性系數(shù)(R2)、均方根誤差(RMSE)和相對最大絕對值誤差(RMAE)都得到了一定的改善。其中，確定性系數(shù)(R2)提升0.231 6%，均方根誤差(RMSE)降低17.449%，相對最大絕對值誤差(RMAE)降低27.400%，優(yōu)化后的Kriging模型的全局?jǐn)M合精度和擬合精度都得到了提高。

表7 優(yōu)化前后主切削力Kriging預(yù)測模型指標(biāo)情況

基于MATLAB仿真平臺建立優(yōu)化后的QPSO-Kriging模型，QPSO-Kriging模型建模殘差圖如圖6所示。

圖6 QPSO-Kriging模型建模殘差圖

圖6中，與圖3相比較，從殘差的正態(tài)分布和殘差大小來看，優(yōu)化前的Kriging算法誤差分布在(-20,-10)區(qū)間上4個點(diǎn)，(-10,0)區(qū)間上5個點(diǎn)，(0,10)區(qū)間上9個點(diǎn)；優(yōu)化后的Kriging算法誤差分布在(-15,-10)區(qū)間上3個點(diǎn)，(-10,0)區(qū)間上7個點(diǎn)，(0,10)區(qū)間上8個點(diǎn)；優(yōu)化前的誤差范圍在(-20，10)，優(yōu)化后的誤差范圍在(-15，10)。由此可見，誤差范圍得到了進(jìn)一步的縮小，提高了其精度。

5 工藝參數(shù)分析

根據(jù)建立的數(shù)學(xué)模型，筆者分析鈦合金切削加工過程中切削速度、進(jìn)給量以及刀具前角3個參數(shù)對切削力的影響。

加工工藝參數(shù)對切削力的影響如圖7所示。

圖7 加工工藝參數(shù)對切削力的影響

由圖7可以看出：切削速度的增大，鈦合金切削力的由大變小，呈下降趨勢；隨著刀具前角、進(jìn)給量的增大則鈦合金切削力的由小變大。

加工工藝參數(shù)交叉變化對切削力影響的等高線圖如圖8所示。

圖8 加工工藝參數(shù)交叉變化對切削力影響的等高線圖

從圖8可以看出：切削速度、進(jìn)給量以及刀具前角3個參數(shù)兩兩交叉變化時，沒有引起響應(yīng)面的急劇變化和突變，進(jìn)給量-切削速度、進(jìn)給量-刀具前角引起主切削力變化范圍增大。

6 結(jié)束語

針對鈦合金材料在加工過程中加工參數(shù)選擇不合理導(dǎo)致的變形問題，筆者研究了不同樣本數(shù)據(jù)建立Kriging模型的精度問題；同時采用量子粒子群算法，對傳統(tǒng)的Kriging的變異函數(shù)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。

研究結(jié)果表明：

(1)利用同一工況下取得的不同切削參數(shù)的分析結(jié)果，采用BOX-BEHNKEN試驗、正交試驗、優(yōu)化拉丁超立方試驗、全因子試驗4種試驗設(shè)計方法下建立的kriging代理模型，R2、RMAE、RMSE 3個評價指標(biāo)，全因子試驗最優(yōu)，其次是正交實驗。但是全因子試驗需要對所在可能的試驗進(jìn)行全面試驗，加大了試驗成本，效率不高；綜合判斷正交試驗的效果相對而言更好；

(2)采用QPSO算法對Kriging算法進(jìn)行優(yōu)化后，確定性系數(shù)(R2)提升了0.231 6%，均方根誤差(RMSE)降低了17.449%，相對最大絕對值誤差(RMAE)降低了27.400%；

(3)優(yōu)化前的誤差范圍在(-20，10)，優(yōu)化后的誤差范圍在(-15，10)，誤差范圍得到了進(jìn)一步的縮小，提高了其精度，為鈦合金切削加工參數(shù)優(yōu)化問題提精度更高的數(shù)學(xué)模型；

(4)隨著切削速度的增大，鈦合金切削力由大變小，呈下降趨勢；隨著刀具前角、進(jìn)給量的增大則鈦合金切削力的由小變大。切削速度、進(jìn)給量以及刀具前角3個參數(shù)兩兩交叉變化時，沒有引起響應(yīng)面的急劇變化和突變，進(jìn)給量-切削速度、進(jìn)給量-刀具前角引起主切削力變化范圍增大。