張美艷，鄒懷武，王和慶，唐國安

（1.復旦大學 航空航天系，上海 200433；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

機械臂因其靈活可變的運行形態(tài)，對于不同任務具有較強的適應能力，在空間技術(shù)方面有著廣泛的用途，如內(nèi)置載荷釋放、目標星捕獲、空間垃圾回收、資源補給、艙外設備安裝和維修、空間站交會對接、支持航天員出艙活動等［1-4］。

由于空間應用領(lǐng)域?qū)Σ考O備的自重指標都有較大的限制，面向在軌應用的機械臂強度和剛度設計裕度相對較低。然而，空間機械臂經(jīng)常需要轉(zhuǎn)運質(zhì)量、慣量較大的對象，小至航天器的有效載荷，大至衛(wèi)星整體或艙體整器。機械臂的剛度低，而轉(zhuǎn)運對象的質(zhì)量大，兩者結(jié)合后組合體的轉(zhuǎn)運應視為動力學過程，強度校核也應計入動態(tài)載荷。

動態(tài)載荷一部分是由變速運動加速度引起的，通過優(yōu)化機械臂的行程（軌跡）可以克服或削弱，是機器人或機械臂動力學與控制研究的主要內(nèi)容之一。

這方面的研究是從機械臂角度入手，較少考慮轉(zhuǎn)運對象的彈性特征，因此，不同的對象有可能規(guī)劃出相同的行程。動態(tài)載荷的另一部分是因為彈性振動引起的，與被轉(zhuǎn)運結(jié)構(gòu)的慣性和彈性特性有關(guān)，相同行程的轉(zhuǎn)運過程也會產(chǎn)生不同的振動響應。這部分振動可考慮用輸入整形方法進行抑制。輸入整形方法是一種根據(jù)結(jié)構(gòu)振動特性（包括固有頻率和模態(tài)阻尼）對外力函數(shù)進行整形，使得經(jīng)過整形的外力函數(shù)激勵結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的動態(tài)響應比原外力函數(shù)激勵下的響應更?。?-7］。

從Laplace 變換的角度觀察輸入形方法，其基本原理就是整形后外力函數(shù)所包含的零點恰好就是結(jié)構(gòu)的激勵-響應傳遞函數(shù)的極點，理論上結(jié)構(gòu)在這樣的外力函數(shù)作用下不會激起自由振動響應的。因此，當外力激勵停止后結(jié)構(gòu)就不再有殘余振動。輸入整形方法在機械臂以及航天應用方面都有不少研究［8-12］。

由3 個連桿（其中第1 個連桿可視為航天器本體）、2 個關(guān)節(jié)的2 自由度機械臂是最簡單的機械臂構(gòu)型。這種機械臂運動關(guān)系相對簡單，逆運動學可以采用解析方法求得封閉解。本文以此類型機械臂為例，用實驗方法驗證輸入整形方法對彈性體轉(zhuǎn)運過程的振動抑制效果，探討其在空間機械臂操控中的應用潛力和實施方案，并就相關(guān)數(shù)學和力學問題進行了梳理，例如闡述了整形器歸一化條件能使得整形后的速度函數(shù)具有總行程不變的特性。

1 機械臂(逆)運動學和輸入整形方法

1.1 2 自由度機械臂的運動學和逆運動學

驗證試驗使用的2 自由度機械臂，基本構(gòu)型及參數(shù)如圖1 所示。機械臂原點位于o1點，雙臂長度分別為L1和L2。模擬衛(wèi)星的重物通過彈性緩沖器安裝在末端o2點。2 自由度機械臂的末端只能限制在平面內(nèi)運動，描述整個系統(tǒng)運動的自由度為2，后臂與水平軸的夾角θ1以及前臂相對于后臂的夾角θ2作為廣義坐標。

圖1 2 自由度機械臂示意圖Fig.1 Schematic diagram of the mechanical arm with two degrees of freedom

根據(jù)廣義坐標θ1、θ2（肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角度）計算末端笛卡爾坐標(x，y)，稱為機械臂運動學。對于2 自由度機械臂，寫出如下笛卡爾坐標與廣義坐標的運動學關(guān)系：

根據(jù)笛卡爾坐標(x，y)計算關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度θ1，θ2，稱為逆運動學。一般情況下，逆運動學并不是唯一的。

如圖2 所示，機械臂末端位于o2=(x，y)點。記o0與o2之間的距離為d，線段o0o2的極角為θ，后臂、前臂與線段o0o2的夾角分別為α、β。利用余弦定理可求得方程（1）的兩組解：

式中：

式（1）的逆運動學求解也可以采用數(shù)值求解方法，比如Newton 迭代法［13］。給定笛卡爾坐標(x*，y*)，估計一組廣義坐標的初值，Newton的迭代法格式為

圖2 2 自由度機械臂逆運動學的多解性Fig.2 Multiple solutions for the inverse kinematics of the mechanical arm with two degrees of freedom

式中：Jacobi 矩陣

在迭代收斂的情況下有

行程設計要求在T時刻內(nèi)，將機械臂末端從笛卡爾坐標為p0=(x0，y0)的起點移動到笛卡爾坐標為pn=(xn，yn)的終點上。常用的行程設計有笛卡爾坐標設計方法和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角設計方法。

笛卡爾坐標行程設計法選擇直線運動實現(xiàn)機械臂末端從p0到pn的運動，期間經(jīng)歷勻加速、勻速和勻減速3 段變速直線運動。在ti時刻（i=0，1，…，n），根據(jù)直線運動關(guān)系容易算出機械臂末端的位置pi，其中，ti=iT/n。然后再根據(jù)逆運動學，依次計算2 個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角θ1i和θ2i。

關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角行程設計方法相對簡單，2 個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角行程可以獨立設計。對于關(guān)節(jié)1，根據(jù)逆運動學計算得到起點和終點處的轉(zhuǎn)角θ10和θ1n，再對起始、停止時刻的速度和加速度予以適當?shù)募s束，例如令，于是就能確定一段以5 次多項式表示的關(guān)節(jié)1 的轉(zhuǎn)角函數(shù)θ1(t)。關(guān)節(jié)2轉(zhuǎn)角行程的設計方法完全相同。采用關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角設計的行程只有在起點和終點處的笛卡爾坐標是可控的，行程中的笛卡爾坐標只能由運動學式（1）計算，通用性不如采用笛卡爾坐標的行程設計方法。本文將要介紹的輸入整形驗證試驗將采用笛卡爾坐標設計的行程。

1.2 機械臂末端行程的輸入整形

作者將輸入整形方法應用于航天器在調(diào)姿、變軌過程中的柔性附件振動抑制［14-15］。所謂輸入整形器，就是由彈性結(jié)構(gòu)m對固有頻率和模態(tài)阻尼所確定的2m個常數(shù)a1，a2，…，a2m以及一個延時量ΔT。施加在結(jié)構(gòu)上的外力函數(shù)f(t)經(jīng)過整形后新的形式為

步驟1根據(jù)機械臂末端的起點p0和終點pn，將速度函數(shù)v(t)選擇為典型的勻加速、勻速和勻減速梯形變速過程。

步驟2對函數(shù)v(t)進行整形，得到整形后的速度函數(shù)。

步驟3用數(shù)值求積法，由速度得到經(jīng)過整形后的機械臂末端的笛卡爾坐標

步驟4用逆運動學方法，由笛卡爾坐標求得兩個關(guān) 節(jié)的轉(zhuǎn)角 函數(shù)。

由于被整形的速度函數(shù)滿足條件

即函數(shù)v(t)在區(qū)間[0，T]以外都等于零，而且整形器常數(shù)還滿足關(guān)系式（8），那么由整形過程式（7）可得

說明對整形后的速度函數(shù)進行積分，得到的運行距離與未經(jīng)整形的結(jié)果相同，經(jīng)過整形后的行程能保證機械臂末端到達相同的終點。

2 機械臂行程及整形設計

2.1 整形器的設計

試驗使用的2 自由度機械臂由2 個臂長度分別為0.30 m 和0.25 m 的直桿構(gòu)成，如圖3 所示。后臂通過減速比為18∶1 的轉(zhuǎn)臺（肩關(guān)節(jié)）連接到支座上，前臂通過相同減速比的轉(zhuǎn)臺（腕關(guān)節(jié)）與后臂連接。模擬衛(wèi)星的重物通過彈性緩沖器安裝在前臂的末端，并在重物上安裝了低頻加速度傳感器。

圖3 輸入整形驗證試驗的2 自由度機械臂Fig.3 Mechanical arm with two degrees of freedom for input shaping validation test

輕微擾動重物，由加速度傳感器測得的自由振動響應信號如圖4所示。數(shù)據(jù)的采集頻率為1 000 Hz，采樣時間4 s，信號經(jīng)過上限為6 Hz 的2 階Butterworth 低通濾波。由于實驗的目的在于對比輸入整形對機械臂運行振動的抑制效果，因此，在實驗中僅測量加速度輸出的電壓信號v(t)（V），而沒有標定加速度的絕對量（g或者m/s2）。

圖4 重物受擾動后的自由振動響應Fig.4 Free vibration response of a heavy object after perturbation

對圖4 的加速度信號v(t)作快速Fourier 變換（FFT），結(jié)果V(ω)如圖5 所示（散點×）。

圖5 加速度響應的FFT 變換結(jié)果Fig.5 FFT results of the acceleration responses

由于A(ω)僅用于分析結(jié)構(gòu)的固有頻率和阻尼比，因此，圖5 中沒有標出縱軸的單位。采用有理多項式逼近方法［16-17］，對函數(shù)V(ω)在頻率區(qū)間[0.5，3.0]Hz 進行擬合，得到

絕對值|V(ω)|的擬合效果如圖5 中的粗實線。

由式（12）可見，模擬衛(wèi)星的重物安裝在機械臂后，構(gòu)成的組合體的固有頻率和阻尼比分別是

搜索最小延遲量ΔT的時間增量取為Δt=0.025 s，根據(jù)式（14）中的頻率和阻尼參數(shù)，得到設計結(jié)果為

2.2 行程設計和整形

機械臂運行的起點設置在笛卡爾坐標為p0=(384.8，-366.5)mm 的位置上，對應的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角廣義坐標是(-30°，-30°)。終點位于pn=(384.8，366.5)mm 的位置上，對應的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角廣義坐標是(57.209°，-30°)。起點與終點之間的距離為733.01 mm，軌跡如圖6（點劃線）所示。笛卡爾坐標與極坐標的關(guān)系不是一一對應的，終點pn的極坐標也可以表示為(30°，30°)，但是在這個極坐標表示下機械臂（粗實線）末端無法從(-30°，-30°)連續(xù)運行到(30°，30°)。

圖6 機械臂的運動軌跡Fig.6 Operation route of the mechanical arm

給定起點和終點的坐標后，笛卡爾的行程設計由Matlab 工具箱Robotics Toolbox 完成，結(jié)果如圖7所示。在圖7 的上方，實線表示機械臂末端與起點距離隨時間變化的函數(shù)，虛線表示機械臂末端運行速度隨時間變化的函數(shù)。在圖7 的下方，實線、虛線分別表示機械臂肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角函數(shù)。

圖7 行程的笛卡爾坐標設計結(jié)果Fig.7 Route design results in Cartesian coordinate

選用整形器式（15）對圖7（上方）虛線所示的梯形速度函數(shù)進行整形，得到新的速度函數(shù)如圖8（上方）的虛線所示。再對整形后的速度函數(shù)積分，得到的路程函數(shù)如圖8（上方）的實線所示。通過逆運動學求解，可從笛卡爾坐標下的行程得到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角隨時間變化的函數(shù)，如圖8（下方）。這部分工作借助Matlab 工具箱Robotics Toolbox 實現(xiàn)。

圖8 整形后的行程和關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角函數(shù)Fig.8 Functions of routes and rotation angles of joints after input shaping

3 機械臂行程輸入整形的振動抑制效果

按照整形前后關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的時間函數(shù)圖7（下方）和圖8（下方）驅(qū)動2 自由度機械臂，整個運行過程中加速度傳感器記錄下的響應信號如圖9 所示。機械臂行程經(jīng)過整形后，組合體上加速度傳感器所測得的最大響應幅值是0.005 093 V。未加整形行程時的最大響應幅值測量結(jié)果是0.013 080 V。輸入整形方法將最大響應的幅值抑制到原來的39%。

圖9 輸入整形方法對笛卡爾坐標表示下行程的振動抑制效果Fig.9 Effects of vibration suppression to the routes by the input shaping method in Cartesian coordinates

4 結(jié)束語

輸入整形技術(shù)本質(zhì)上是對設定的運動歷程進行濾波，通過對搬運過程中機械臂的位移-時間歷程進行整形，使搬運對象在機械臂的控制下沿整形后的運動歷程搬運，將有望達到振動抑制的目的。該技術(shù)最大的益處是能完全利用既有的設備，無需增加額外結(jié)構(gòu)或機構(gòu)的質(zhì)量。論文以三連桿二關(guān)節(jié)的2 自由度機械臂為例，進行了行程和輸入整形設計，將整形后的動態(tài)響應與逆運動學的解析結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)輸入整形方法可以大幅降低機械臂的最大響應幅值，達到了振動抑制的目的，證明了方法的有效性。該方法不僅可以拓展到7 自由度機械臂，而且對空間站大型機械臂末端振動抑制也有直接參考意義，具備空間大型柔性結(jié)構(gòu)基座機器人在軌精細控制的應用前景。