李海芬，韓子軒，于 臻，李 攀

(1. 華北科技學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201；2. 中國石油化工股份有限公司石油工程技術(shù)研究院，北京 100101；3. 華北科技學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，北京 東燕郊 065201)

0 引言

隨著納米技術(shù)和微定位系統(tǒng)的迅速發(fā)展，微納米材料的研究得到了很多學(xué)者的關(guān)注。壓電陶瓷作為一種新型材料也具有一些優(yōu)點(diǎn)，如定位精度高，體積小、敏感性強(qiáng)等[1,2]，被廣泛應(yīng)用于精密加工機(jī)床、機(jī)械振動手臂、3D打印技術(shù)以及生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。壓電陶瓷的工作原理是在外加電場的作用下，其自身的材料會發(fā)生微小形變，以達(dá)到微小位移的精確控制，這種微小位移通過柔性鉸鏈裝置進(jìn)一步放大，得到需要的位移輸出，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。但壓電陶瓷也具有其缺點(diǎn)，如遲滯特性、蠕變特性，這些特性嚴(yán)重影響整個系統(tǒng)的控制精度和靈敏度，使得誤差變大，性能降低[3-5]。當(dāng)遲滯的后端還連有一個動態(tài)的線性環(huán)節(jié)時，就構(gòu)成了含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)。壓電陶瓷超精密定位平臺是近些年發(fā)展起來的一種新型精密平臺，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以看成是由壓電執(zhí)行器和柔性鉸鏈組成，為了對系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確的控制，后端的柔性鉸鏈不能忽略。

圖1 壓電陶瓷執(zhí)行器工作示意圖

由于存在于壓電陶瓷中的遲滯特性具有非光滑非線性特性對于精密定位平臺的控制精度和靈敏度影響很大，在對這類復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行精確控制之前，首先要得到系統(tǒng)準(zhǔn)確的模型。目前，描述遲滯特性有如下幾種模型，Preisach模型[6,7]、Duhem模型[8-10]、Backlash-Like模型，文獻(xiàn)[11]用廣義的Preisach模型描述非光滑非線性的遲滯特性，文獻(xiàn)[12]用PI模型來描述系統(tǒng)中的遲滯特性，并用非光滑觀測器對含有遲滯的三明治系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。

本文主要研究含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的建模問題，遲滯部分采用PI模型來描述Hammerstein系統(tǒng)中的遲滯特性，并用遞推最小二乘法來辨識整個系統(tǒng)模型的參數(shù)，通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較參數(shù)模型的輸出和系統(tǒng)實(shí)際的輸出的誤差值，表明該辨識方法能較準(zhǔn)確的描述壓電陶瓷的遲滯特性模型，該方法比較簡單且適用性廣泛，易于工業(yè)實(shí)現(xiàn)。

1 含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的模型

所謂靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)就是由一個非線性環(huán)節(jié)和線性環(huán)節(jié)組成，含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)是前端的非線性環(huán)節(jié)具有遲滯特性且遲滯特性與輸入信號的速率無關(guān)，結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。在圖2中，第一個框表示遲滯環(huán)節(jié)，第二個框L2(·)表示動態(tài)線性環(huán)節(jié)，u(k)和y(k) 表示整個Hammerstein系統(tǒng)的輸入信號和輸出信號，v(k)表示中間遲滯環(huán)節(jié)的輸出，在整個系統(tǒng)中，只有u(k)和y(k)可以直接測量，中間變量v(k)不能直接測量。

圖2 帶靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

1.1 Hammerstein系統(tǒng)遲滯部分的模型

如圖3所示，遲滯環(huán)節(jié)可以描述為多個間隙環(huán)節(jié)疊加而成，間隙環(huán)節(jié)的個數(shù)越多，遲滯環(huán)就越光滑，圖4是只有一個間隙環(huán)節(jié)的示意圖，圖5是由15個間隙環(huán)節(jié)疊加而成的遲滯環(huán)。本文中遲滯特性用PI模型描述，由于PI模型結(jié)構(gòu)比較簡單，程序易于實(shí)現(xiàn)，在實(shí)際的工業(yè)中運(yùn)用的比較多。PI遲滯模型可以表示為

(1)

式中，zi(k)表示第i個間隙環(huán)節(jié)的輸出；w=[w1,w2…,wn]T為間隙環(huán)節(jié)的權(quán)重向量；Bi(·)為單個間隙(Backlash)遲滯算子；n為間隙(Backlash)算子個數(shù)。

圖3 遲滯的建模

圖4 一個間隙環(huán)節(jié)

圖5 十五個隙環(huán)節(jié)疊加

式中，zi(k)表示第i個間隙環(huán)節(jié)的輸出；w=[w1,w2…,wn]T為間隙環(huán)節(jié)的權(quán)重向量；Bi(·)為單個間隙(Backlash)遲滯算子；n為間隙(Backlash)算子個數(shù)。間隙(Backlash)算子定義如下：

zi(k)=Sd[x,zi](k)=max[u(k)-ci,

min[u(k)+ci,zi(k-1)]]

(2)

式中，u(k)是整個系統(tǒng)的輸入也是遲滯環(huán)節(jié)的輸入信號；ci為第i個間隙的寬度，0

設(shè)算子的初始值為：

z0(k)=Sd[u,z0](k)=max[u(k0)-c,

min[u(k0)+c,z0]]

(3)

由此可得，遲滯模型的輸出可以表示為：

(4)

1.2 Hammerstein系統(tǒng)線性部分的模型

設(shè)線性子系統(tǒng)的差分方程為

(5)

式中，na和nb為線性系統(tǒng)L2的階次；ai和bj為線性系統(tǒng)的系數(shù)；q為純延時；v(k)是遲滯環(huán)節(jié)的輸出；y(k)是整個系統(tǒng)的輸出。

2 靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)參數(shù)的辨識

到目前為止，存在很多遞推算法，本節(jié)用遞推最小二乘法對含有遲滯的Hammerstein系統(tǒng)進(jìn)行辨識。將式(4)代入式(5)可得：

(6)

為了使系統(tǒng)有唯一的模型，根據(jù)文獻(xiàn)的方法單位化系數(shù)b1，于是式(6)可以寫成

(7)

式(7)就是帶遲滯Hammmerstein系統(tǒng)的一個具有參數(shù)線性化的結(jié)構(gòu)表達(dá)式。采用遞推最小二乘法估計(jì)模型的各個參數(shù)。相應(yīng)的帶靜態(tài)遲滯的Hammerstein系統(tǒng)模型可以寫為

y(k)=φTθ

(8)

其中：

θ=[a1,a2,…ana,w1,w2…wn,b2,b3…bnb]T

(9)

(10)

因此，通過最小辨識誤差e(k)，可以對參數(shù)向量進(jìn)行在線辨識，即：

(11)

(12)

(13)

P(k)=(1-K(k)φT(k))P(k-1)

(14)

(15)

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)平臺采用德國PI公司生產(chǎn)的PZT-753.21C壓電陶瓷執(zhí)行器來驗(yàn)證遞推最小二乘法對本平臺的建模效果。實(shí)驗(yàn)平臺采用如圖6所搭建，通過分析末端的柔性鉸鏈(線性動態(tài)環(huán)節(jié))采用二階系統(tǒng)來描述實(shí)驗(yàn)效果最好，在實(shí)際參數(shù)辨識的過程中，PI算子的個數(shù)選為300個，輸入信號為

u(k)=4(e-k/6000)(sin(2π×200(e-k/6000))+1)

(16)

采樣頻率為1 kHz， 遞推最小二乘法的初始值設(shè)為

P(0)=106×I(302)

(17)

θ(0)=0.05×J(1,302)

(18)

式中，I為單位方陣，J為單位行向量。圖7是整個系統(tǒng)輸入電壓信號(實(shí)線)，圖8是系統(tǒng)測量的輸出信號(虛線)。圖9是用遞推最小二乘法對系統(tǒng)建模的驗(yàn)證，實(shí)線(藍(lán)色)是系統(tǒng)的真實(shí)輸出，虛線(紅色)是辨識模型的輸出。圖10是用遞推最小二乘法辨識得到的模型輸出和系統(tǒng)真實(shí)輸出的誤差值，圖11藍(lán)色(實(shí)線)是整個系統(tǒng)的輸入輸出圖，紅線(虛線)是辨識后模型的輸入輸出圖，從圖可以看出得到的模型能較準(zhǔn)確的估計(jì)壓電陶瓷的運(yùn)動特性，可以看出此方法對含有靜態(tài)遲滯的Hammerstein模型的參數(shù)辨識是有效的。

圖6 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

圖7 系統(tǒng)輸入電壓信號

圖8 系統(tǒng)測量的輸出信號

圖9 靜態(tài)遲滯Hammerstein系統(tǒng)的模型驗(yàn)證

圖10 Hammerstein系統(tǒng)的模型輸出和系統(tǒng)真實(shí)輸出的誤差值

4 結(jié)論

(1) 本文用PI模型來描述壓電陶瓷中的靜態(tài)遲滯現(xiàn)象，PI模型簡單易于實(shí)現(xiàn)。采用遞推最小二乘法來辨識PI模型權(quán)重的值以及模型的參數(shù)值，得到能描述壓電陶瓷精密定位平臺特性的方程。

(2) 將輸入信號帶入該模型的方程中得到輸出信號，將該信號與實(shí)際平臺輸出的信號進(jìn)行比較，結(jié)果表明用遞推最小二乘法辨識得到的模型能很好的描述壓電陶瓷精密平臺遲滯的特性，驗(yàn)證了遲滯模型的準(zhǔn)確性。

(3) 此模型描述Hammerstein系統(tǒng)的遲滯特性結(jié)構(gòu)簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，具有實(shí)用性，為下一步研究依賴于速率的動態(tài)遲滯和系統(tǒng)的精確控制奠定了基礎(chǔ)。

(4) 得到靜態(tài)遲滯的準(zhǔn)確模型，在壓電陶瓷工作的過程中，不可避免的會受到外界系統(tǒng)的干擾(這種干擾可以看作是白噪聲)，可以進(jìn)一步來研究系統(tǒng)含有噪聲時的濾波問題。