楊 瑩，王大維，趙為光，孫 健，于天洋

(黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022)

0 引 言

電池與電池組已經(jīng)廣泛應(yīng)用在電動汽車與儲能系統(tǒng)中。鋰離子電池因具有自放電系數(shù)較低，使用壽命較長、充放電倍率大、工作溫度范圍大、能量密度大等特點受到研究人員重視[1]。

鋰離子電池的SOC是反映鋰離子電池剩余容量的指標(biāo)。實現(xiàn)對SOC的精確估計不僅可以實時監(jiān)視電池的電量狀態(tài)，同時也可以避免電池過充過放，延長電池使用壽命[2-3]。由于傳統(tǒng)的電流積分法與開路電壓法已不能滿足SOC估計精度與魯棒性的要求，目前，廣泛應(yīng)用SOC的估計方法可以分為基于等效模型的方法與數(shù)值驅(qū)動的人工智能算法的方法[4]。數(shù)值驅(qū)動的方法將電池視作黑箱模型，利用大量數(shù)據(jù)進行訓(xùn)練得出SOC結(jié)果，其具有代表性的方法有支持向量機法(SVM)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法及其改進形式等[5-7]?；诘刃Ｐ偷墓烙嫹椒ㄊ褂靡幌盗袛?shù)學(xué)表達式反映電池的充放電與其他的化學(xué)特性，應(yīng)用較多就是利用濾波算法結(jié)合等效模型的方法[8-9]。如非線性卡爾曼濾波法、粒子濾波法等。為了提升估計性能，有學(xué)者加入平方根算法、自適應(yīng)算法，其改進后的非線性卡爾曼濾波顯著提升了SOC的估計性能[10-11]。

針對SOC的精確估計問題，利用嵌入式容積準(zhǔn)則改進傳統(tǒng)容積卡爾曼濾波(CKF)，通過加入強跟蹤濾波以提升算法的噪聲自適應(yīng)能力，在進一步增加估計精度的同時提升算法的魯棒性，引入奇異值分解解決由于環(huán)境噪聲協(xié)方差矩陣初值非嚴格正定導(dǎo)致的算法無法正常運行的問題，通過電池在特定工況下的對比仿真驗證其有效性。

1 鋰電池模型建立與參數(shù)辨識

1.1 鋰電池模型

鋰電池內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)不便于直接用于工程中，二階等效模型考慮了電池內(nèi)部工作過程，以兩對電阻電容網(wǎng)絡(luò)分別反映電池的電化學(xué)極化與濃度極化。該模型不僅滿足反映電池主要特性的要求，計算復(fù)雜程度也相對較低[12]。鋰電池的二階等效模型電路如圖1所示。其中，Uoc是一個理想電壓源，代表電池的開路電壓；It代表電池的終端電流；R0表現(xiàn)電池的阻性；R1、C1與R2、C2反映電池的極化特性，其電壓分別為U1、U2；Ut代表模型的端電壓。

圖1 二階等效模型Fig. 1 2-order equivalent model

根據(jù)基爾霍夫電路定律，二階等效模型電路方程

(1)

SOC定義為現(xiàn)有容量與額定容量的比值，工程上應(yīng)用的計算方式為

(2)

式中：ηSOC0——ηSOC的初值，額定容量時為1；

η——庫倫效率；

Qc——電池的額定容量，Ah；

i——電池電流，A。

依據(jù)式(1)、(2)可知，二階等效模型的電池狀態(tài)方程為

(3)

式中：τ1、τ2——時間常數(shù)，為電阻電容乘積；

wk——系統(tǒng)噪聲協(xié)方差；

It k——某一時刻輸出電流；

vk——測量噪聲協(xié)方差。

1.2 辨識參數(shù)方程的求解

模型建立完畢后，需要利用在線參數(shù)辨識識別等效模型的各項參數(shù)。在線參數(shù)辨識基于最小二乘法或其改進形式來對電池模型中的參數(shù)進行遞推計算。其可以避免離線參數(shù)辨識的計算誤差和因電池處于不同工況導(dǎo)致的辨識結(jié)果不同的情況出現(xiàn)[13-14]。由式(3)可得，最小二乘標(biāo)準(zhǔn)形式為

Ut k-Uoc k=a1(Uoc k-1-Ut k-1)+a2(Uoc k-2-

Ut k-2)+a3Ik+a4Ik-1+a5Ik-2,

(4)

式中：a1～a5——包含τ1、τ2、R0、R1、R2的系數(shù)；

Ik——電流離散形式。

式(4)即可用于最小二乘法進行辨識。

1.3 最小二乘法辨識

遞推最小二乘法是一種通過最小化誤差平方和原則來估計系統(tǒng)中的未知參數(shù)。對照式(4)，設(shè)Ut k-Uoc k為Hk，得出系統(tǒng)的最小二乘方程為

Hk=Φkθk+ψk,

(5)

式中：H——輸出狀態(tài);

θ——辨識參數(shù)矩陣，θ=[-a1,a2,a3,a4,a5]T;

Φ——輸出矩陣，Φ=[Hk-1,Hk-2,Ik,Ik-1,Ik-2];

ψ——系統(tǒng)噪聲。

對照式(4)、(5)，對應(yīng)的最小二乘法的迭代方程為

式中：P——誤差協(xié)方差矩陣；

G——最小二乘增益；

λ——遺忘因子，一般取0.995；

I——單位矩陣。

為了驗證模型的具體精度，采用平均絕對誤差e與均方根誤差σ衡量，定義為

(6)

式中：ε——估計值與真實值的差值；

N——差值個數(shù)。

2 改進容積卡爾曼濾波

CKF因其濾波效果好，可擴展性強，相比其他非線性卡爾曼濾波算法用時較少等優(yōu)點而受到廣泛應(yīng)用[15]。但隨著對電池SOC估計精度與魯棒性需求日益提高，傳統(tǒng)CKF逐漸不能滿足這一要求。

2.1 嵌入式容積準(zhǔn)則

傳統(tǒng)CKF采用三階球面-鏡像容積準(zhǔn)則，在該準(zhǔn)則下，CKF在非線性方程的近似積分中選取的一系列容積點的權(quán)值為常數(shù)，這可能導(dǎo)致如選取系統(tǒng)中容積點超過積分區(qū)域?qū)е聼o法定義或引起計算困難等情況出現(xiàn)[16-17]。

有學(xué)者依據(jù)傳統(tǒng)CKF的缺陷，以Genz等[18]推導(dǎo)出的基于在固定積分區(qū)間上對稱的積分方程(嵌入式積分法則)為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出經(jīng)嵌入式容積準(zhǔn)則改進的嵌入式容積卡爾曼濾波(ECKF)。

基于嵌入式容積準(zhǔn)則，針對一個n維在整個實數(shù)域的無窮區(qū)間積分函數(shù)為

式中，w——積分自變量的權(quán)值。

為了實現(xiàn)對G(f)進行逼近，就需要構(gòu)建一個對稱的集合L，轉(zhuǎn)化積分為

式中：A——降序排列的集合；

a——A的元素;

w0、w——積分軌跡上相對應(yīng)i與δ的權(quán)值。

ECKF的優(yōu)勢在于利用嵌入式積分法則將n階系統(tǒng)容積點個數(shù)從2n個變成2n+1個，同時，改變了容積點相應(yīng)的權(quán)值，使其不再是常數(shù)。相比于五階或更高階的CKF，ECKF運行時間更短，多數(shù)情況可以達到近似五階CKF精度[19]。由式(3)可知，系統(tǒng)為3階，則容積點為9個，嵌入式容積準(zhǔn)則下ECKF的容積點與對應(yīng)權(quán)值的求取規(guī)則為

式中：δ——3×9階矩陣，第一列為0，其余列為±1；

μ——嵌入式族參數(shù)，一般取1。

為了保證迭代過程中算法的數(shù)值穩(wěn)定性，加入平方根算法得出SRECKF。平方根算法可以使其協(xié)方差在迭代過程中以平方根的形式傳遞，避免CKF中Cholesky分解錯誤導(dǎo)致算法出錯，增加算法運行可靠性[20]。SRECKF迭代過程如下。

將式(3)視作一個狀態(tài)變量為x，輸出變量為z非線性系統(tǒng)，其方程為

式中：f、h——非線性函數(shù)；

u——輸入變量。

利用前一時刻狀態(tài)量xk-1與給定的誤差協(xié)方差求解其平方根S1、容積點xi與狀態(tài)先驗估計值j為

(7)

式中：P——狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣；

wi——容積點對應(yīng)權(quán)值。

計算狀態(tài)過程變量χ1與矩陣[χ1 k-1,SQ k-1]的平方根S2為

式中：SQ——系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q平方根；

qr——對當(dāng)前矩陣進行正交三角分解。

計算新容積點Xi為

Xi k-1=S2 k-1ζi+jk-1，i=1,2,…,9。

將容積點Xi代入觀測方程得出觀測先驗估計值zi，并求解觀測預(yù)測值l與觀測過程變量為

利用矩陣[Zk-1,SR k-1]可求出觀測自協(xié)方差平方根矩陣Szz為

Szz k-1=qr([Zk-1,SR k-1])，

(8)

式中，SR——觀測噪聲協(xié)方差矩陣R的平方根；

新過程變量χ2與互協(xié)方差矩陣Pxz為

(9)

計算SRECKF的卡爾曼濾波增益Wk為

計算狀態(tài)變量的后驗估計值與平方根的后驗估計值，并在之后不需要再對P矩陣進行平方根求解，直接更新平方根值為

至此，完成了一次算法迭代。

2.2 強跟蹤濾波

強跟蹤濾波一種優(yōu)化濾波過程的一種算法，其利用漸消因子對歷史數(shù)據(jù)權(quán)重進行弱化，調(diào)節(jié)濾波的增益，使其在每個時刻的觀測值殘差保持正交，進而濾波精度與增強濾波算法魯棒性[21]。

計算觀測估計量的殘差為

εk=zk-lk。

(10)

計算描述觀測變量殘差序列為

(11)

式中：ρ——遺忘因子，一般取0.9；

ε——觀測真實值與l的殘差。

求解強跟蹤漸消因子λ的求解過程為

(12)

式中：N、M——過程變量矩陣；

β——弱化因子，一般取0.98；

λ——自適應(yīng)漸消因子；

tr——求當(dāng)前矩陣的跡。

自協(xié)方差平方根矩陣、觀測誤差協(xié)方差矩陣與互協(xié)方差矩陣為

(13)

將式(8)、(9)替換為式(10)～(13)即可將強跟蹤濾波與SRECKF結(jié)合。

2.3 奇異值分解

噪聲的協(xié)方差矩陣恒為正定或半正定，但Cholesky分解必須保證待分解矩陣保持嚴格正定。平方根算法可以保證在迭代過程中噪聲協(xié)方差矩陣保證嚴格正定，但如式(7)所示，噪聲協(xié)方差矩陣初值的Cholesky分解不在平方根算法的優(yōu)化范圍內(nèi)，因此仍有因初值矩陣半正定導(dǎo)致算法無法運行的可能[22]。

將所有Cholesky分解替換成奇異值分解可以解決矩陣半正定問題。以m×n階矩陣P為例，替換奇異值分解的過程為

式中：U、V——m階與n階的酉矩陣；

S——P的奇異值組成的對角矩陣。

3 仿真與結(jié)果分析

仿真選用單體2.2 Ah的磷酸鐵鋰電池在35 ℃環(huán)境下的工況測試數(shù)據(jù)。針對模型參數(shù)辨識，使用動態(tài)應(yīng)力工況(DST)下的測試數(shù)據(jù)。將辨識參數(shù)代入模型中與輸出電壓的對比如圖2～4所示。

圖2 電壓對比結(jié)果Fig. 2 Comparison results of voltage

圖3 電壓對比結(jié)果局部放大Fig. 3 Local amplification of comparison results voltage

圖4 電壓絕對誤差Fig. 4 Absolute error of voltage

從結(jié)果看出等效模型輸出值與實驗值契合度較高。模型輸出電壓值的平均絕對誤差0.030，均方根誤差0.037，均在3%左右，總體滿足對SOC估計提供精確電池模型的需求。

SOC估計選用電池的直流脈沖工況，比較SRCKF、SRECKF與ISRECKF三種方法在輸出電壓加入隨機噪聲的環(huán)境下比較估計性能。隨機噪聲下輸出電壓如圖5所示。

根據(jù)圖6～8，三種算法均可以比較準(zhǔn)確的在不定噪聲環(huán)境下估計SOC，經(jīng)過嵌入式容積準(zhǔn)則優(yōu)化的SRECKF估計效果要優(yōu)于SRCKF，這是因為容積點的增多與權(quán)值分布的優(yōu)化使算法的精度提高。而經(jīng)過強跟蹤濾波優(yōu)化的ISRECKF要進一步優(yōu)于SRECKF，這表明了強跟蹤濾波通過利用漸消因子修正歷史數(shù)據(jù)，顯示出其自適應(yīng)性，與卡爾曼濾波體系有著較好的結(jié)合效果。

圖5 在隨機噪聲下的端電壓值Fig. 5 Terminal voltage under random noise

圖6 SOC估計結(jié)果Fig. 6 SOC estimation results

圖7 SOC估計結(jié)果局部放大Fig. 7 Local amplification of SOC estimation results

圖8 SOC估計絕對誤差Fig. 8 SOC estimate absolute error

根據(jù)式(9)可得，計算三種方法的平均絕對誤差與均方根誤差，結(jié)果如表1所示。

表1 SOC估計結(jié)果

算法的魯棒性也是重要考查因素之一，魯棒性決定了當(dāng)系統(tǒng)設(shè)定SOC初值出現(xiàn)偏差后算法是否可以快速收斂并繼續(xù)進行正常估計。為了驗證算法的魯棒性，設(shè)定SOC初值為0.8(20%初值偏差)，其估計結(jié)果如圖9～11所示。

從圖9～11可以看出，初值0.8情況下三種算法均未出現(xiàn)不收斂的情況，ISRECKF的估計效果依舊在三種算法中表現(xiàn)最好。從圖11可以看出，ISRECKF的收斂時間最短，這是因為強跟蹤濾波不僅可以提升算法對噪聲的自適應(yīng)性，同時也可以提升算法整體的魯棒性。

圖9 初值0.8的SOC估計結(jié)果Fig. 9 SOC estimation results with the initial value 0.8

圖10 初值0.8的SOC估計絕對誤差Fig. 10 SOC estimate absolute error with initial value 0.8

圖11 SOC初值0.8局部放大Fig. 11 Local magnification of initial value 0.8 of SOC

SOC初值0.8時三種方法的平均絕對誤差、均方根誤差與收斂時間結(jié)果如表2所示。

表2 SOC初值0.8估計結(jié)果

綜合SOC初值為1與SOC初值為0.8兩種情況的仿真結(jié)果，經(jīng)過強跟蹤濾波優(yōu)化的ISRECKF綜合性能最好，體現(xiàn)了所提出方法的優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

(1)依照嵌入式容積準(zhǔn)則改進了傳統(tǒng)CKF，增加了CKF容積點，改進了權(quán)值分布，提升了算法的估計精度。又加入了強跟蹤濾波，得出ISRECKF，在算法的精度進一步提升的同時增強了魯棒性。

(2)通過電池的直流脈沖工況數(shù)據(jù)，在Matlab上進行仿真分析。結(jié)果表明對比SRCKF與SRECKF，ISRECKF具有最高的精度，最好的魯棒性。初值沒有偏差的情況下平均絕對誤差為0.006，均方根誤差為0.008；而在初值偏差20%的情況下平均絕對誤差達到0.007、均方根誤差達到0.011，收斂時間為169 s，實現(xiàn)了對鋰離子電池SOC的精確估計。在后續(xù)工作中，將繼續(xù)針對鋰離子電池模型、CKF的基礎(chǔ)理論進行改進，在進一步提升估計效果的同時盡量減少算法的執(zhí)行時間，使其具有更好的實時性。