錢 坪，徐飛鴻，張 樟，劉林修

（長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙410114）

0 引言

傳統(tǒng)的接觸式測量方法應(yīng)用比較廣泛，有很多優(yōu)點。但也有一些缺點，例如面對微小試件或高溫環(huán)境，此方法顯然難以勝任，需要一種非接觸的乃至全場的結(jié)構(gòu)變形測量技術(shù)。自1980年Yamaguchi［1］和Peters［2］提出數(shù)字圖像相關(guān)方法（Digital Image Correction，簡稱DIC）至今，DIC理論研究與工程應(yīng)用都取得了令人欣慰的成果。1985年，Chu等人［3］建立被測物體表面位移與應(yīng)變的關(guān)系式，完善了數(shù)字圖像相關(guān)方法。1989 年，Bruck 等人［4］采用Newton-Raphson 法實現(xiàn)了基于亞像素的相關(guān)搜索，使DIC方法更趨成熟。國內(nèi)方面，1985年，高建新［5］利用電鏡對鑄件大變形的測量應(yīng)用研究，將DIC測量技術(shù)推廣到了微觀測量領(lǐng)域；2000年，王琛影等人［6］提出曲面擬合法求解亞像素位移方法，進一步推動了DIC方法的深入研究；2007年，潘兵等人［7］提出一種基于位移場局部最小二乘法求解應(yīng)變的方法，能更好的提取應(yīng)變信息。2013年，徐飛鴻等人［8］基于結(jié)構(gòu)離面位移和其散斑應(yīng)變場的線性對應(yīng)關(guān)系，進行了亞像素級DIC離面位移測量；2017年，嚴盛龍等人［9］運用經(jīng)典的計算機圖像邊緣識別技術(shù)結(jié)合DIC亞像素精度的Gauss?ian曲線擬合，成功地提取了混凝土表面裂縫的邊緣特征，改進了裂縫寬度測量方法。2020年，吳榮等人［10］在傳統(tǒng)DIC應(yīng)變計算方法基礎(chǔ)上引入變形前后的旋轉(zhuǎn)矩陣，提出一種考慮旋轉(zhuǎn)的局部位移場最小二乘應(yīng)變計算方法。隨著數(shù)字圖像相關(guān)方法理論研究的成熟發(fā)展，該方法在力學(xué)、土木等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［11，12］。

結(jié)構(gòu)的應(yīng)變是工程結(jié)構(gòu)受載響應(yīng)的主要指標之一，是結(jié)構(gòu)分析或結(jié)構(gòu)測試不可回避的重要參數(shù)。根據(jù)彈性力學(xué)，直觀上可對DIC 獲得的位移場進行差分計算便可求解應(yīng)變［13］，但是由于位移場的噪聲以及差分計算引起噪聲，必然導(dǎo)致由此測得的應(yīng)變信息缺乏可信度［14］。對位移場采用全場最小二乘擬合再計算應(yīng)變顯然有其合理性，但工程結(jié)構(gòu)的變形狀態(tài)未知、變形的復(fù)雜性，決定了該方法中構(gòu)造合適的擬合函數(shù)［15］仍是個難題；目前普遍認為對位移場可采用局部最小二乘再計算應(yīng)變［7，16］，它可在擬合的過程抑制噪聲從而提高應(yīng)變測量精度。這一方法理論簡單、編程方便、運行高效，還可避免全場最小二乘擬合時選擇擬合函數(shù)選擇的困窘。本文基于DIC 應(yīng)變測量局部二乘擬合的應(yīng)變測量算法，分析位移場算法的誤差，采用局部加權(quán)回歸散點平滑技術(shù)結(jié)合，研究應(yīng)變測量的“局部化”算法、提高DIC應(yīng)變測量精度。

1 DIC應(yīng)變測量原理

1.1 數(shù)字圖像相關(guān)方法

被激光照明的物體，其表面呈現(xiàn)顆粒狀結(jié)構(gòu)，即散斑。物體的位移或變形必然引起散斑場的變化，數(shù)字圖像相關(guān)方法就是利用采集設(shè)備采集試件變形前后的散斑圖像，然后通過計算分析實現(xiàn)位移測量。

DIC 的基本原理如圖1 所示，對變形前圖像中一定的區(qū)域進行網(wǎng)格劃分，選取以某待求點（x0，y0）為中心的計算子區(qū)；然后按預(yù)先定義的相關(guān)函數(shù)，通過搜索方法來進行相關(guān)計算，找到變形后圖像中與該子區(qū)關(guān)聯(lián)最大的區(qū)域，其中心為（x0′，y0′），這就是該子區(qū)域在變形后的位置；由此計算出圖像子區(qū)中心點的x和y方向的位移分量u、v。

圖1 變形前后圖像子區(qū)示意圖Fig.1 Image Sub Region before and after Deformation

1.2 非均勻變形模式下的Green應(yīng)變

根據(jù)DIC 基本理論，非均勻變形模式下，位移形函數(shù)即位移擬合函數(shù)可用二維二次多項式描述：22

值得注意的是影響應(yīng)變計算精度中最主要的一個因素是亞像素位移測量精度。比較各種DIC 亞像素位移測量算法（曲面擬合法［6，18］、梯度法［19，20］、New?ton-Rapson 法［6，17］），不難發(fā)現(xiàn)Newton-Rapson 法的計算精確度更高、結(jié)果更為準確，本文也將采用這一廣為應(yīng)用的算法來研究平滑去噪方法。

2 基于局部化平滑去噪的應(yīng)變測量

2.1 位移測量誤差與平滑去噪技術(shù)

用計算機生成2 幅未添加噪聲的散斑圖，如圖2所示，其中一幅在x方向上施加200 με 均勻應(yīng)變模擬變形后的散斑圖像。由Newton-Rapson 法計算散斑圖變形后的位移場，采用局部最小二乘擬合法求解應(yīng)變值。計算所得的位移場和應(yīng)變場如圖3a、圖3b 所示，其結(jié)果不甚理想。

圖2 均勻應(yīng)變模擬散斑圖Fig.2 Simulated Speckle Pattern of Uniform Strain

圖3 Newton法計算的位移及對應(yīng)應(yīng)變Fig.3 Displacement and Corresponding Response Calculated by Newton Method

模擬散斑圖2a 所施加的變形僅是x方向的，y方向在理論上沒有變形。隨機抽取同一x處的一列數(shù)據(jù)點，如圖4 所示，y方向位移數(shù)據(jù)在理論值附近波動，其中部分計算點數(shù)據(jù)偏差過大，有必要進行簡易濾波處理，去除部分偏差較大計算數(shù)據(jù)并用均值代替（5個偏大值點，5個偏小值點），來達到平滑去噪的目的。

圖4 某x處沿y方向位移計算值和理論值Fig.4 Calculated and Theoretical Displacement Values along x Direction at y

對平滑去噪處理后的位移場，重新按局部最小二乘法求解應(yīng)變。處理后重新所測得的位移場和應(yīng)變場如圖5所示。

不難發(fā)現(xiàn)，由平滑去噪處理后的位移場所測得的應(yīng)變場波動幅度更小、更為接近應(yīng)變真值、應(yīng)變測量精度有所提升，表明此處平滑去噪有效降低了位移場求解計算引入的噪聲。所以，探索更為有效的平滑去噪手段、對位移場進行恰當處理、消除計算過程包括散斑圖獲取過程引入的噪聲，對于提高應(yīng)變測量精度非常重要。

圖5 濾波后的位移及對應(yīng)應(yīng)變Fig.5 Displacement and Corresponding Strain after Filtering

2.2 基于局部加權(quán)回歸平滑去噪技術(shù)

2.1 節(jié)表明平滑去噪處理有助于提高應(yīng)變測量精度；文獻［22］對位移場進行x，y兩個方向的三次樣條函數(shù)平滑處理，獲得了較好的應(yīng)變計算結(jié)果。本文基于局部加權(quán)回歸平滑法，利用其線性回歸簡單性和非線性模型靈活性的特點，研究其平滑去噪提高應(yīng)變測量精度的可行性。

首先，注意到實際結(jié)構(gòu)位移場的復(fù)雜性，考慮與應(yīng)變計算的局部最小二乘擬合法相適應(yīng)，也采用局部化的策略先進行平滑去噪處理，即：選定合適的計算窗口、在位移場全場中選取窗口中局部數(shù)據(jù)進行擬合；對窗口內(nèi)和它相鄰近的數(shù)據(jù)進行加權(quán)回歸，得到每一計算窗口中的中心點的數(shù)值：權(quán)重與要求解的中心點距離成反比；不斷移動窗口，依次根據(jù)下一計算窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)計算其中心，直至計算完全部區(qū)域；面向?qū)嶋H結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)變場，計算過程中位移形函數(shù)選取二次多項式，局部化平滑濾波處理的策略充分考慮位移場的復(fù)雜性來獲取更真實的位移場數(shù)據(jù)，即必要時允許在相鄰的局部區(qū)域選取不同的回歸方程?？梢姡嬎愦翱诖笮〉倪x取會影響到擬合的光滑程度，窗口越大位移場越平滑，但窗口過大可能使部分數(shù)據(jù)失真。因此，怎樣選擇擬合窗口非常重要。

對圖3a 進行局部加權(quán)回歸平滑去噪后處理的位移場如圖6a所示，局部化平滑濾波處理后的位移場光滑平整，十分接近于理論位移場，與圖6b 采用三次樣條擬合去噪處理的位移場結(jié)果相比較，其邊緣角點處的位移更為真實。

圖6 局部化平滑去噪效果Fig.6 Effect of Local Smoothing and Denoising

2.3 應(yīng)變測量的局部化算法

考慮到結(jié)構(gòu)變形的復(fù)雜性，位移形函數(shù)采用二階多項式，經(jīng)過局部化的平滑去噪處理后，可以很好地控制位移場的噪聲，同時使用局部最小二乘擬合法來計算應(yīng)變，形成基于局部加權(quán)散點平滑去噪（LOW?ESS）的應(yīng)變測量算法。

結(jié)合文獻［21］的LOWESS 算法，基于LOWESS 函數(shù)的應(yīng)變測量算法具體步驟如下：①對計算區(qū)域進行合適的局部化劃分，分割出若干計算子區(qū)；②在計算子區(qū)中，對指定的計算窗口內(nèi)各個數(shù)據(jù)點的初始權(quán)重賦值，權(quán)重函數(shù)可選用數(shù)值之間歐氏距離比值的立方函數(shù)；③利用初始權(quán)重進行回歸估計，利用估計式的殘差定義穩(wěn)健的權(quán)函數(shù)并計算新的權(quán)重；④利用新的權(quán)重重復(fù)步驟②，繼續(xù)修正權(quán)函數(shù)，直至收斂；⑤根據(jù)擬合多項式和權(quán)重得到任意點的光滑值；⑥根據(jù)步驟①計算區(qū)域的局部化，采用最小二乘擬合法計算應(yīng)變值。

圖7 給出了文獻［22］三次樣條函數(shù)平滑處理的最小二乘擬合結(jié)果，三次樣條函數(shù)平滑處理位移場后能降到22 με，局部化平滑濾波處理后下降到12 με。顯然本文方法效果更優(yōu)。

圖7 平滑去噪處理后應(yīng)變場效果Fig.7 Strain Field Effect after Smooth Denoising

3 非均勻應(yīng)變場測量

受荷載作用或環(huán)境狀態(tài)改變的工程結(jié)構(gòu)，其位移場或應(yīng)變場因往往呈現(xiàn)出極為復(fù)雜的狀態(tài)。為了有效模擬實際應(yīng)變測量，考慮非均勻場的應(yīng)變測量。

采用2.1 節(jié)同樣的方法制作模擬散斑圖，生成兩幅未添加噪聲的線性變化的非均勻應(yīng)變變形散斑圖，在變形后散斑圖像x方向上施加ux=0.25x微應(yīng)變量的非均勻變形。

對變形前后的兩幅數(shù)字散斑圖，采用Newton-Rapson 方法準確計算亞像素位移，并用局部最小二乘擬合求解應(yīng)變，得到的位移場和應(yīng)變場如圖8 所示。三次樣條擬合和局部平滑去噪的應(yīng)變場如圖9所示。

表1比較了3種方法輸出的最大值、最小值、絕對誤差和標準差。結(jié)果顯示，局部平滑去噪后計算結(jié)果整體上最為接近真實的理論應(yīng)變值，誤差分布更為合理，說明該方法可以用于非均勻應(yīng)變變形計算。

圖8 Newton法計算的位移及直接計算的應(yīng)變Fig.8 Displacement Calculated by Newton Method and Strain Calculated Directly

圖9 平滑去噪效果Fig.9 Smooth Denoising Effect

表1 應(yīng)變測量值比較Tab.1 Comparison of Strain Measurements

4 結(jié)語

本文研究局部平滑去噪與最小二乘擬合的應(yīng)變測量算法，提高數(shù)字圖像相關(guān)應(yīng)變測量精度。

⑴DIC位移測量的數(shù)值計算過程的誤差，是最小二乘擬合應(yīng)變計算的主要誤差來源之一。為了避免應(yīng)變測值失真，應(yīng)將精細計算的位移場再進行平滑去噪、抑制誤差；

⑵選擇非均勻變形二階形函數(shù)，應(yīng)用Newton-Rapson 法求解位移場，通過局部加權(quán)回歸對位移場施行平滑去噪，結(jié)合局部最小二乘擬合求解應(yīng)變場。本文局部平滑去噪與最小二乘擬合的應(yīng)變測量算法具有線性回歸簡單、非線性模型靈活的特點，去噪效果明顯、編程簡便，可用于復(fù)雜應(yīng)變場的測量；

⑶本文算例模擬噪聲污染的復(fù)雜應(yīng)變場測量，結(jié)果展示了本文方法的有效性。但此類方法計算“小應(yīng)變”時抗噪能力不強，有待改進。