王敏，劉齊建，劉歡，王劍波

基于Graf加法定律的豎向受荷雙樁動力響應解析研究

王敏1, 2，劉齊建1, 2，劉歡1, 2，王劍波1, 2

(1. 湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082；2. 湖南大學 建筑安全與節(jié)能教育部重點實驗室，湖南 長沙 410082)

基于樁土耦合作用，建立豎向受荷嵌巖雙樁動力響應的解析計算模型。通過分離變量法，求解樁周土的動力響應，將樁基礎的動位移用不同的局部坐標系表示?？紤]樁土相互作用，利用Graf加法定理實現不同樁體局部坐標系的轉換，得到雙樁位移場的解析解，并將其推廣至群樁的豎向振動分析。在驗證本文方法正確性基礎上進行參數分析。研究結果表明：雙樁間距增加，樁間相互作用系數減小。樁的長細比越大，雙樁樁間相互作用系數越大。樁周土剛度越大，雙樁樁間相互作用系數越大。群樁基礎中，隨著樁間距增大，樁間相互作用系數逐漸減??；角樁相互作用系數最小，中間樁最大。

雙樁；Graf加法定理；樁土相互作用；動力響應

樁基礎作為一種重要基礎形式，憑借其承載力高、穩(wěn)定性好、沉降量小等優(yōu)點，在海上平臺、動力基礎、鐵路等工程中得到了廣泛應用。由于其復雜的受力和邊界條件，如何考慮群樁間樁?土?樁動力相互作用一直是研究的難點，這吸引了國內外學者廣泛研究。目前，群樁動力響應的理論主要分為彈性理論法[1?3]、積分方程法[4]、有限元法[5?8]、Winkler地基模型[9?11]、平面應變模型[12?13]?；趶椥岳碚摲ǎ琄aynia等[1]提出了動力相互作用因子計算群樁動力基礎。基于積分方程法，CHEN等[4]求解了半空間上雙樁相互作用系數。Dowling等[5]基于有限元法研究了動載荷下群樁的動力特性。Gazetas等[9]提出了一種動力Winkler地基梁模型，進一步簡化了群樁動力相互作用因子的計算。Anoyatis等[12]基于平面應變假定，將土層視為一系列薄層單元，提出了平面應變模型。在已有解析理論中樁土體系位移多用徑向和豎向變量和表示，而忽略切向變量的影響。但是，不同于振動荷載下單樁軸對稱性，群樁體系動力響應屬于典型的三維問題。為了考慮樁土系統(tǒng)切向方向的影響，本文擬基于Graf加法定律建立一種雙樁動力計算模型，并將之推廣至群樁。首先對土體進行受力分析，將樁周土位移場用不同局部坐標系表示。然后運用Graf加法定理，實現不同樁體局部坐標系的轉換，將不同坐標系下的位移統(tǒng)一得到雙樁位移場解析解，并將該解答拓延至群樁基礎的動力響應分析。

1 計算模型

1) 只考慮樁土系統(tǒng)豎向位移，忽略徑向位移。

2) 樁周土與樁身緊密接觸無滑移。

圖1 計算模型

2 求解方法

2.1 土的動力分析

取圖1所示的土單元進行受力分析，其中應力，和τ可分別表示為：

土的豎向動力平衡方程為：

土的邊界條件為：

采用分離變量法并結合式(6)~(9)邊界條件，可得式(5)解為：

2.2 樁身動力分析

式中：11為1對樁1的作用位移；12為2對樁1的作用位移；21為1對樁2的作用位移；22為2對樁2的作用位移。

式中：A和B為待定系數。

可以看出，式(13)與式(14)均包含了2個坐標體系，因此需將其統(tǒng)一到同一個坐標體系中。為此，采用Graf加法定律將Fourier-Bessel波函數由一個坐標系轉換到另一個坐標系，如附錄所示。聯立式(15)～(16)和附錄式(A1)，將21和12分別表示如下：

于是式(13)和(14)可分別采用同一坐標系表示：

假定樁和土交界面處無滑移，則由樁土位移連續(xù)條件得：

樁的豎向動力振動平衡方程為：

聯合式(19)，(20)，(22)，(24)，(25)和(26)可得：

將式(2)，(19)，(20)，(21)和(27)代入式(23)可得：

聯立求解式(28)~(30)組成的2個線性方程組，由此可確定未知系數A和B。計算時，需將級數和進行截斷。

2.3 群樁分析

式中：j為待定系數。

由樁身動力平衡方程可得：

按照“2.2”同樣的處理，可得到(=1,2,…)

式中：

可見式(34)和(35)組成′個線性方程組，聯立求解可確定未知系數j和l。

3 方法驗證

圖2 雙樁振幅值和相位滯后角隨頻率響應的變化

為進一步驗證本文方法正確性，將其與文獻[16]雙樁豎向振動試驗結果進行對比驗證。取文獻[16]參數如下：樁長27.5 m，直徑0.6 m，間距2.5 m，樁身彈性模量p=25.5 GPa。土的彈性模量33.79 MPa，泊松比0.49，密度1 570 kg/m3，阻尼比0.05。激振力=8.022，為激勵頻率。

圖3給出了激勵頻率為0~15 Hz時基礎?激振器豎向位移試驗曲線與本文結果的對比。由圖3可知，當頻率較小時，計算值與試驗值吻合良好。當頻率增大時，計算值略大于試驗值。這是因為當激勵頻率增大時，土的非線性特征逐漸明顯，而本文僅考慮彈性地基，故有此誤差。

圖3 豎向頻率響應曲線與實測曲線的比較

4 樁間相互作用系數

定義樁間相互作用系數為：雙樁中某樁相對于另一根樁的附加沉降與單樁在相同荷載下引起沉降之比值：

圖4給出了在不同頻率和長徑比下樁間相互作用系數隨樁距的變化。由圖4可知，當激勵頻率較低時，隨著樁距增大，樁間相互作用系數逐漸減小并趨向于0。這是因為此時樁基礎振動產生的剪切波衰減快，其對樁周土影響范圍不大，距離樁身越遠，其對鄰樁影響小，樁間相互作用系數越小。樁長徑比越小，荷載越易傳遞至基巖，其對樁周土影響越小，此時樁間相互作用系數幾乎為0。

當激勵頻率較大時，長徑比較小樁的樁間相互作用系數較小，而且衰減越快。與此不同的是，當長徑比達到50以后，繼續(xù)增加樁長，其對樁間相互作用系數的影響不大。其原因是樁頂荷載對樁周土的影響主要集中在上部土體，當樁身長度達到一定值后，其振動對鄰樁的影響不大。

圖5給出了在不同頻率和不同波速比s/p下，樁間相互作用系數隨樁距的變化。由圖5可知，樁間相互作用系數隨波速比增大而增大。這是因為隨著s/p增大，樁周土的剛度增大，其傳播剪切波的能力提高，因此在樁基礎振動時其對鄰樁的影響就越大。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

圖5 雙樁相互作用系數與波速比的關系

5 樁頂動剛度

式中：d和st分別為樁頂動剛度和靜剛度。

圖6 樁頂剛度與樁距比的關系

圖7給出了不同樁長徑比對樁頂動剛度影響。由圖7可知，當頻率較低時，不同長徑比下樁頂動剛度開始變化不大；隨著激勵頻率增加，長徑比越大樁頂動剛度實部越大。在頻率小于截止頻率時，樁頂動剛度的虛部幾乎為0，超過該截止頻率后虛部急劇增加，此時輻射阻尼越來越大。當長徑比較大時，樁身振動能帶動更多土體振動，其輻射阻尼更大，導致其樁頂剛度的虛部越大。

圖7 樁頂剛度與長徑比的關系

6 群樁分析

6.1 2×2群樁

圖8給出了在不同頻率和不同樁長徑比下,2×2群樁的樁間相互作用系數隨樁距比的變化曲線。由圖8可知，當樁間距越大時，其相互作用系數越小，其規(guī)律與圖4所示的雙樁相互作用情況類似。樁越長，其振動對樁間土的影響越大，導致相互作用系數越大。此外，激勵頻率越大，相互作用系數衰減越慢。

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

(a) ω=0.1ωp；(b) ω=0.5ωp

6.2 3×3群樁

圖9分別給出了在不同頻率下3×3群樁的樁間相互作用系數隨樁距比的變化，其中樁1為角樁，樁2為邊樁，樁3為中間樁。由圖9可知，低頻情況下隨著樁間距離增大，樁間相互作用系數逐漸減小。同時可以發(fā)現，同樣的低頻激勵下角樁的相互作用系數最小，除角樁外的邊樁次之，而中間樁的最大。這是因為中間樁的四周都是樁基礎，其所受其他樁的影響最大。

當頻率較大時，雖然相互作用系數變化較激烈，但是其規(guī)律與低頻時基本一致，即相互作用系數在角樁處最小，中間樁最大。

7 結論

1) 雙樁樁間距增加，樁間相互作用系數減小。

2) 樁長徑比越大，雙樁樁間相互作用系數 越大。

3) 樁周土剛度越大，雙樁樁間相互作用系數越大。

4) 在第1個截止頻率之前，隨著頻率的增加，雙樁樁頂動剛度實部減小，其虛部增加有限。當超過截止頻率后，實部增加，而虛部急劇增長。

5) 群樁基礎中，隨著樁間距離增大，樁間相互作用系數逐漸減小。同時，同樣激勵頻率下角樁相互作用系數最小，除角樁外的邊樁次之，而中間樁的最大。這是因為中間樁的四周都是樁基礎，所受其他樁的影響最大。

附錄

Graf加法公式常用于將波函數的Fourier- Bessel函數由一個坐標系轉換到另一個坐標系。通過運用Graf加法定理，將樁處坐標系土的位移轉換到樁坐標系中，從而求得樁對樁的作用位移。如圖10所示，其公式具體表達如下：

圖10 Graf加法定理

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Dynamic response of two vertically loaded piles based on the Graf's addition theorem

WANG Min1, 2, LIU Qijian1, 2, LIU Huan1, 2, WANG Jianbo1, 2

(1. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Key Laboratory of Building Safety and Energy Efficiency of the Ministry of Education, Hunan University, Changsha 410082, China)

Based on the soil-pile interaction, an analytical method is proposed for dynamic response of vertically loaded end-bearing double piles. In terms of the separate variable method, the vibration of the surrounding soils was determined. Then, dynamic displacements of the respective piles were expressed in the light of different local coordinate systems. In order to obtain the expressions of the pile displacements in the same unified coordinate system, Graf addition theorem was adopted to transfer one kind of local coordinate system to the other. By considering the continuity along the soil-pile interface, the displacements of two piles were determined. The present solution was extended to the dynamic response of pile groups under the vertically loaded vibrations. The proposed method was verified by comparison of the present solution results with those by the available methods. Parametric study shows that with the increasing of the pile space distance, the interaction coefficient decreases. With the increasing of the pile slenderness ration and the stiffness of the surrounding soil, the interaction coefficient increases. For pile groups, the pile interaction coefficient decreases gradually with the increasing of the spacing ration of piles. The interaction coefficient of the pile on the corner is the minimum, while that of the pile at the center is the maximum.

two piles; Graf’s addition theorem; pile-soil interaction; dynamic response

TU473

A

1672 ? 7029(2020)10 ? 2532 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20191136

2019?12?16

國家自然科學基金資助項目(51878265)；湖南省自然科學基金資助項目(2018JJ2049)

劉齊建(1973?)，男，湖南華容人，教授，博士，從事樁基、地下結構的抗震研究；E?mail: Q.Liu@hnu.edu.cn

(編輯 涂鵬)