楊輝，童英赫，付雅婷，李中奇

基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制

楊輝1, 2，童英赫1, 2，付雅婷1, 2，李中奇1, 2

(1. 華東交通大學(xué) 電氣與自動化工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2. 江西省先進(jìn)控制與優(yōu)化重點實驗室，江西 南昌 330013)

高速列車運(yùn)行系統(tǒng)本質(zhì)上是高度非線性和不確定性的系統(tǒng)，為了彌補(bǔ)建模過程中被忽略或者簡化的非線性和不確定性，提高高速列車運(yùn)行過程的控制精度，提出一種基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制方法。在建模和控制上，分別采用子空間辨識法和狀態(tài)反饋預(yù)測控制法，在此基礎(chǔ)上建立BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器，利用高速列車運(yùn)行過程的狀態(tài)變量和實際速度作為補(bǔ)償器的輸入，參考軌跡與實際速度之間的差值構(gòu)成性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行在線訓(xùn)練，輸出補(bǔ)償控制力作用于控制系統(tǒng)完成在線補(bǔ)償，實現(xiàn)高速列車目標(biāo)速度曲線高精度跟蹤控制。仿真實驗結(jié)果表明，該方法能夠提高控制系統(tǒng)的控制精度。

高速列車；子空間辨識法；預(yù)測控制；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；在線補(bǔ)償

中國高速鐵路規(guī)模雖已排名世界第一[1]，但是其面對如何在不斷變化的需求下保證高速列車安全、正點，穩(wěn)定運(yùn)行的問題是不可忽視的，這對高速鐵路技術(shù)提出了更高的要求[2?3]。隨著高速列車運(yùn)行速度越來越快，車輪與軌道、受電弓與接觸網(wǎng)等相關(guān)設(shè)備之間的耦合關(guān)系逐漸加強(qiáng)，空氣阻力所占的比重越來越大，高速列車行駛過程中高度非線性和不確定性的問題愈加凸顯，其模型很難用傳統(tǒng)的動力學(xué)方程描述[4?6]。目前，高速列車的模型研究，大多數(shù)都忽略或者簡化了非線性和不確定性。上官偉等[7]通過牛頓力學(xué)建立高速列車動力學(xué)模型，然而高速列車快速行駛中的高度非線性和不確定性很難用傳統(tǒng)的動力學(xué)方程描述。YANG等[8]建立了高速列車T-S模糊雙線性模型，將非線性高速列車模型近似線性化。朱愛紅等[9]采用速度、時間、距離和兩車間安全距離作為約束條件，建立數(shù)學(xué)模型，本質(zhì)上是機(jī)理模型，不符合高速列車的實際運(yùn)行情況。李輝等[10]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行高速列車車外氣動噪聲預(yù)測研究，建立車外氣動噪聲的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型。為了高精度控制高速列車，HAI等[11]將模糊控制用來設(shè)計控制器，提出了一種包含蘊(yùn)涵邏輯的模糊控制器。李中奇等[12]在廣義預(yù)測控制的基礎(chǔ)上，加入了控制器匹配機(jī)制設(shè)計控制器，對高速列車運(yùn)行過程進(jìn)行控制。高堅[13]提出了基于粒子群算法的PID控制，但是粒子群算法容易陷入局部最優(yōu)。對于上述研究存在的建模不準(zhǔn)確和控制精度需提高的問題，本文提出一種基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制方法。通過高速列車的運(yùn)行數(shù)據(jù)，采用子空間辨識法辨識高速列車運(yùn)行過程的狀態(tài)空間模型，建立狀態(tài)反饋預(yù)測控制器完成對高速列車的速度跟蹤控制，為了降低近似線性化建模以及控制方法導(dǎo)致的速度跟蹤誤差，加入了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力，在線補(bǔ)償高速列車運(yùn)行過程中的控制力，相較于離線神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在線神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練效率高，自適應(yīng)能力強(qiáng)，能夠有效的提高速度跟蹤精度，實現(xiàn)高速列車高精度速度跟蹤控制。

1 高速列車狀態(tài)空間模型

1.1 高速列車狀態(tài)空間模型描述

高速列車在行駛過程中，列車的運(yùn)行速度決定列車的安全，影響列車是否正點到達(dá)。為了保證高速列車運(yùn)行的安全，使得列車高精度按照給定的目標(biāo)速度曲線運(yùn)行，準(zhǔn)時到達(dá)目的地，需要建立高精度的高速列車系統(tǒng)速度與控制力的動力學(xué)模型。

狀態(tài)空間模型是一種由狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)建立的一種數(shù)學(xué)模型，鑒于狀態(tài)空間模型里的狀態(tài)變量可以很好的描述系統(tǒng)內(nèi)外部動態(tài)特 性[14]。所以，本文運(yùn)用非線性狀態(tài)空間模型來描述高速列車的動力學(xué)行為：

其中：為運(yùn)行時間；()為狀態(tài)向量(與列車、接觸網(wǎng)和鐵軌的樣式，材料和結(jié)構(gòu)等相關(guān)參數(shù)有關(guān))，()為列車的合力，()為列車運(yùn)行速度，(?)和(?)為非線性向量函數(shù)，()和()為隨機(jī)的不可測噪聲向量。

式(1)能夠精確地描述高速列車的動態(tài)行為特性，但是非線性向量函數(shù)計算復(fù)雜，求解困難。因此，借助局部建模思想，將式(1)在其平衡工作點近似的看為線性系統(tǒng)，轉(zhuǎn)化成式(2)描述的狀態(tài)空間模型：

其中：，，，為狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)參數(shù)矩陣，()和()分別為過程噪聲和輸出噪聲。辨識狀態(tài)空間模型以及設(shè)計高速列車運(yùn)行過程控制器，需要假設(shè)一些條件：

1) (,)能控，(,)能觀，矩陣的特征值在單位圓內(nèi)；

2)()是確定性的擬平穩(wěn)序列，與過程噪聲()、輸出噪聲()不相關(guān)；

3) 過程噪聲()和輸出噪聲()都為平穩(wěn)的零均值白噪聲序列，并且噪聲協(xié)方差矩陣為：

其中：條件1) 是為了保證高速列車運(yùn)行過程的安全和穩(wěn)定；條件2) 與高速列車運(yùn)行過程的控制力相關(guān)；條件3) 說明了高速列車運(yùn)行過程噪聲干擾方面的統(tǒng)計特性。

1.2 子空間辨識法

基于模型(2)，運(yùn)用子空間辨識法辨識高速列車運(yùn)行過程狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣。

根據(jù)高速列車運(yùn)行過程的輸入數(shù)據(jù)，建立Hankel矩陣：

其中：為矩陣的行數(shù)；為矩陣的列數(shù)，下標(biāo)為過去，下標(biāo)為未來。同理可以建立輸出數(shù)據(jù)的Hankel矩陣Y和Y。

將式(2)迭代后得到輸入輸出矩陣方程：

同理可以建立噪聲的Hankel矩陣和。

通過投影法和輔助變量消去式(4)的U，M和N3項[15]，得：

求得廣義能觀性矩陣：

那么，狀態(tài)矩陣的估計值為：

構(gòu)建線性方程組，計算系統(tǒng)參數(shù)矩陣：

其中：與為相應(yīng)的殘差矩陣。

將式(12)轉(zhuǎn)化為一個最小二乘求解的問題，即：

通過式(13)計算系統(tǒng)參數(shù)矩陣估計值，并且可以通過上述最小二乘問題的殘差求解協(xié)方差矩陣：

2 模型補(bǔ)償?shù)臓顟B(tài)反饋預(yù)測控制

根據(jù)子空間辨識法，可以離線辨識得到高速列車狀態(tài)空間模型，但借助了局部建模思想，將非線性狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化成了線性狀態(tài)空間模型，導(dǎo)致實際建立的模型并不完全精確，以致增加控制過程中的誤差。所以，為了彌補(bǔ)建模中所忽略的非線性和不確定性，減小控制的誤差，在狀態(tài)反饋預(yù)測控制方法的基礎(chǔ)上，建立了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器，補(bǔ)償控制過程的控制力，提高高速列車速度跟蹤精度。

如圖1所示，為基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制系統(tǒng)原理框圖。

圖1 基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制系統(tǒng)原理框圖

2.1 狀態(tài)反饋預(yù)測控制器

假設(shè)為預(yù)測時域，那么()在下一個時刻的預(yù)測速度為：

根據(jù)單值預(yù)測控制算法，設(shè)定：

為求得最優(yōu)控制律，控制偏差最小，其性能指標(biāo)函數(shù)為：

求得最優(yōu)控制律為：

利用補(bǔ)償后的總控制力u代替輸入到子空間模型中，通過模型(2)更新每個時刻的狀態(tài)變量，其中()為：

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器

2.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器工作原理

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器k時刻訓(xùn)練示意圖

Fig. 2 BP neural network online compensator k-time training diagram

2.2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器設(shè)計

在線補(bǔ)償器算法分為2個過程[16]：正向傳播和誤差的反向傳播。

1)正向傳播：

2)反向傳播：

在線補(bǔ)償器在時刻的性能指標(biāo)函數(shù)J為：

利用性能指標(biāo)函數(shù)對權(quán)值和閾值求偏導(dǎo)，計算出時刻第次迭代的權(quán)值和閾值的改變值，從而得到第+1次的權(quán)值和閾值。

那么，權(quán)值與閾值的更新策略為：

各個權(quán)值的更新算法采用梯度下降法，運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t求得[17]，各個權(quán)值和閾值的改變量為：

3 仿真與分析

3.1 高速列車建模仿真

采集高速列車實際運(yùn)行輸入輸出數(shù)據(jù)1 200組。其中，將800組數(shù)據(jù)作為子空間辨識法的建模數(shù)據(jù)，剩下的400組數(shù)據(jù)用來檢驗其模型誤差。運(yùn)用子空間辨識法辨識得到高速列車運(yùn)行過程的2階狀態(tài)空間模型，其參數(shù)矩陣以及初始狀態(tài)向量為：

如圖3所示，為子空間辨識法辨識高速列車狀態(tài)空間模型的模型誤差曲線。

從圖3中可以看出，子空間辨識法離線辨識得到的高速列車運(yùn)行過程狀態(tài)空間模型具有良好的建模精度，模型誤差較小，能夠很好的辨識出高速列車運(yùn)行過程的狀態(tài)空間模型。

圖3 模型誤差曲線

3.2 高速列車運(yùn)行過程控制仿真

基于子空間辨識法得到的高速列車運(yùn)行過程狀態(tài)空間模型，運(yùn)用PID控制(經(jīng)典的列車運(yùn)行控制方法)、文獻(xiàn)[12]中的廣義預(yù)測控制、本文的狀態(tài)反饋預(yù)測控制3種方法進(jìn)行仿真對比實驗，驗證其算法有效性。設(shè)定預(yù)測時域=5，控制時域=1，參考軌跡是高速列車實際運(yùn)行曲線數(shù)據(jù)。

如圖4所示，為PID控制、廣義預(yù)測控制和狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)的速度跟蹤仿真曲線。從圖4可以看出，狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)相比于PID控制和廣義預(yù)測控制更加貼合參考軌跡，能夠更好的實現(xiàn)高速列車目標(biāo)速度曲線跟蹤控制。

如圖5所示，為圖4的速度誤差曲線。可以看出，在3種控制方法中，狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)的速度跟蹤誤差更小，整個控制過程中誤差波動平穩(wěn)，相較于PID控制和廣義預(yù)測控制具有更好的速度跟蹤性能。

圖4 速度跟蹤仿真曲線

圖5 速度誤差曲線

為了更加直觀地對比圖4的仿真效果，將圖5的速度誤差曲線數(shù)值化，制成表格，進(jìn)行統(tǒng)計分析。如表1所示，PID表示PID控制，GPC表示廣義預(yù)測控制，無補(bǔ)償表示狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)。

表1 3種控制方法性能比較

由表1可得，無補(bǔ)償?shù)恼?fù)最大誤差范圍為[?1.031,1.666]比PID和GPC的[?3.020,5.379]和[?1.541,3.726]2種方法的范圍更小。無補(bǔ)償?shù)钠骄^對誤差為0.270小于PID和GPC的0.574和0.372，說明整體平均誤差較小，并且無補(bǔ)償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)差為0.449同樣低于PID和GPC的0.907和0.637，說明無補(bǔ)償在整個控制區(qū)間內(nèi)，控制平穩(wěn)，誤差波動幅度更小。

3.3 高速列車運(yùn)行過程補(bǔ)償仿真

在基于子空間辨識法的高速列車狀態(tài)反饋預(yù)測控制的基礎(chǔ)上，加入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器進(jìn)行仿真對比實驗，驗證其算法有效性。設(shè)定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱藏層節(jié)點個數(shù)=10，權(quán)值和閾值初始化取較小的隨機(jī)值，學(xué)習(xí)系數(shù)=0.1，迭代次數(shù)為20次。

如圖6所示，為狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)、狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF補(bǔ)償)和狀態(tài)反饋預(yù)測控制(BP補(bǔ)償)的速度跟蹤仿真曲線。從圖6可以看出，加入RBF和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器后，2種補(bǔ)償方法下的狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF/BP補(bǔ)償)相比于狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)的速度跟蹤曲線更加貼合參考軌跡，跟蹤誤差更小，說明補(bǔ)償方法能夠使?fàn)顟B(tài)反饋預(yù)測控制更好的跟蹤參考軌跡。其中，狀態(tài)反饋預(yù)測控制(BP補(bǔ)償)比狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF補(bǔ)償)的控制精度高，能夠更好的實現(xiàn)高速列車目標(biāo)速度曲線高精度跟蹤控制。

如圖7所示，為圖6的速度誤差曲線。從圖7可以看出，加入補(bǔ)償器后，狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF/BP補(bǔ)償)的速度跟蹤誤差明顯減小，整個控制過程中誤差波動變得更加平穩(wěn)，在啟動和制動的時候比狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)的跟蹤效果更好。其中，狀態(tài)反饋預(yù)測控制(BP補(bǔ)償)比狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF補(bǔ)償)的見效時間更短，能在較短時間內(nèi)將跟蹤誤差減小到一個理想的區(qū)間內(nèi)，并且在整個控制過程中，誤差波動更加平穩(wěn)，誤差的值更小。

圖6 速度跟蹤仿真曲線

圖7 速度誤差曲線

如表2所示，為加入補(bǔ)償器前后控制性能比較表。其中，無補(bǔ)償表示狀態(tài)反饋預(yù)測控制(無補(bǔ)償)，RBF補(bǔ)償表示狀態(tài)反饋預(yù)測控制(RBF補(bǔ)償)，BP補(bǔ)償表示狀態(tài)反饋預(yù)測控制(BP補(bǔ)償)。

由表2可得， BP補(bǔ)償?shù)恼?fù)最大誤差范圍為 [?0.124,0.513]比無補(bǔ)償和RBF補(bǔ)償?shù)腫?1.031,1.666]與[?1.261,1.203]明顯減小。BP補(bǔ)償?shù)钠骄^對誤差為0.017小于無補(bǔ)償和RBF補(bǔ)償?shù)?.270和0.039，說明整體平均誤差較小，并且BP補(bǔ)償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)差為0.028同樣低于無補(bǔ)償和RBF補(bǔ)償?shù)?.449和0.087，說明有補(bǔ)償在整個控制區(qū)間內(nèi)，控制平穩(wěn)，誤差波動幅度更小。所以可以得出，加入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器之后，能夠更好地減小高速列車狀態(tài)反饋預(yù)測控制系統(tǒng)的速度跟蹤誤差，更加適合高速列車運(yùn)行過程的在線補(bǔ)償，提高控制精度，使控制過程更加穩(wěn)定，更好的實現(xiàn)高速列車高精度速度跟蹤控制。

表2 加入補(bǔ)償器前后控制性能比較

4 結(jié)論

1) 針對高速列車運(yùn)行過程建模中簡化或者忽略的非線性和不確定性以及控制過程中產(chǎn)生跟蹤誤差的問題，提出一種基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制方法。

2) 在基于子空間辨識法的高速列車狀態(tài)反饋預(yù)測控制方法的基礎(chǔ)上，設(shè)計BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線補(bǔ)償器，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性映射能力，輸出補(bǔ)償控制力作用于狀態(tài)反饋預(yù)測控制系統(tǒng)。

3) 仿真結(jié)果表明，狀態(tài)反饋預(yù)測控制相較于PID控制和廣義預(yù)測控制擁有更佳的控制性能，并且加入在線補(bǔ)償器后，整個控制系統(tǒng)的控制精度明顯提升。其中，通過對比RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)2種學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)用于在線補(bǔ)償時的性能效果，得出BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更適用于高速列車運(yùn)行過程的在線補(bǔ)償。

4) 基于模型補(bǔ)償?shù)母咚倭熊嚑顟B(tài)反饋預(yù)測控制方法提升了整個控制系統(tǒng)的控制性能，說明該方法能夠使高速列車高精度跟蹤目標(biāo)速度曲線。

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State feedback predictive control of high-speed train based on model compensation

YANG Hui1, 2, TONG Yinghe1, 2, FU Yating1, 2, LI Zhongqi1, 2

(1. School of Electrical and Electronic Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;2. Key Laboratory of Advanced Control and Optimization of Jiangxi Province, Nanchang 330013, China)

The high-speed train operation system is essentially a highly nonlinear and uncertain system. In order to compensate for the non-linearity and uncertainty that are ignored or simplified during the modeling process, and to improve the control accuracy of the high-speed train operation process, method on model compensation of high-speed train state feedback predictive control is proposed. In modeling and control, the subspace identification method and the state feedback predictive control method are used respectively. On this basis, an BP neural network online compensator is established, and the state variables and actual speed of the high-speed train operation process are used as the input of the compensator. The difference between the trajectory and the actual speed constitutes a performance index function for on-line training, and the output compensation control force acts on the control system to complete the on-line compensation to achieve high-precision tracking control of the target speed curve of the high-speed train. Simulation experiment results show that this method can improve the control accuracy of the control system.

high-speed train; subspace identification; predictive control; neural networks; online compensation

TP273；TP183

A

1672 ? 7029(2020)10 ? 2460 ? 09

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200083

2020?02?10

國家自然科學(xué)基金資助項目(61673172，61733005，61803155)；江西省青年科學(xué)基金重點資助項目(20192ACBL21005)

楊輝(1965?)，男，江西高安人，教授，博士，從事軌道交通自動化與運(yùn)行優(yōu)化，復(fù)雜工業(yè)過程建模、控制與運(yùn)行優(yōu)化研究；E?mail：yhshuo@263.net

(編輯 陽麗霞)