沙建波，戈新生

(北京信息科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

近年來，隨著載人航天工程、嫦娥探月工程和空間站計劃的穩(wěn)步推進，我國航天技術(shù)取得了長足的進步。航天技術(shù)的飛速發(fā)展對動力學(xué)與控制基礎(chǔ)理論研究提出了新的挑戰(zhàn)和進一步超前發(fā)展的需求。

傳統(tǒng)航天器往往具有中心剛體平臺，根據(jù)任務(wù)需要加裝天線和太陽帆板等，這種航天器撓性附件的轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量占整星的比重較小，一般使用約束模態(tài)對撓性航天器進行建模[1]。由于這類航天器具有相互耦合的剛體運動和撓性體彈性振動，是典型的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)。撓性航天器動力學(xué)建模方法研究是撓性多體系統(tǒng)動力學(xué)的重要分支，20世紀70年代起，航天器的撓性結(jié)構(gòu)振動問題日益引起人們的重視[2]。

Likins[3]利用集中參數(shù)模型表示撓性體，使用彈簧和阻尼器來模擬撓性效應(yīng)，采用多剛體動力學(xué)的理論和方法建立了相應(yīng)的撓性航天器動力學(xué)模型。同時期，Modi[4]也進行了相關(guān)研究。國內(nèi)關(guān)于撓性多體系統(tǒng)動力學(xué)的研究起步于20世紀 80 年代，陸佑方[5]、洪嘉振等[6]通過專著的形式，對撓性多體系統(tǒng)動力學(xué)的基礎(chǔ)理論和方法及其在航天器和機械臂等工程領(lǐng)域中的應(yīng)用做了比較系統(tǒng)的介紹。劉瑩瑩等[7]建立了攜帶多個撓性附件衛(wèi)星的動力學(xué)方程并分析了撓性附件對衛(wèi)星姿態(tài)的影響。白圣建[8]等利用混合坐標法建立了帶有大型撓性附件的衛(wèi)星的一次近似動力學(xué)模型，分析了撓性附件橫向和縱向變形的二次耦合項對大范圍姿態(tài)機動的撓性衛(wèi)星的剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)特性的影響。胡慶雷[9]將撓性航天器簡化為中心剛體—柔性梁系統(tǒng)，使用懸臂梁模態(tài)離散航天器柔性附件變形，采用混合坐標方法描述系統(tǒng)運動，建立了柔性航天器的動力學(xué)模型。章仁為[10]采用約束模態(tài)法建立了撓性航天器動力學(xué)模型，同時考慮了姿態(tài)耦合特性和位置耦合特性。隨著航天科技的發(fā)展，撓性結(jié)構(gòu)尺寸和重量逐漸增加，因此撓性化成為現(xiàn)代航天器的一大特點。Hablani[11]指出非約束模態(tài)建模和約束模態(tài)建模的剛?cè)釕T量比較小時，約束模態(tài)法建立的動力學(xué)模型有比較大的誤差。而非約束模態(tài)方法描述的是中心剛體不固定、撓性附件無阻尼的自由振動過程，體現(xiàn)的是整個航天器的動力學(xué)系統(tǒng)頻率特性，更接近航天器在軌實際飛行狀況，但地面無法提供非約束模態(tài)試驗環(huán)境[12]。為此，本文基于非約束模態(tài)建立撓性航天器的動力學(xué)方程，通過特征值分析計算系統(tǒng)非約束模態(tài)固有頻率，并與有限元分析對比，考察中心剛體和太陽帆板的質(zhì)量比對系統(tǒng)的固有頻率的影響。本文的研究結(jié)果可為大型撓性航天器動力學(xué)特征值問題提供一種理論依據(jù)。

1 撓性航天器動力學(xué)建模

圖1所示為中心剛體帶撓性附件的撓性航天器，B0表示航天器中心剛體，B1表示與中心剛體連接的撓性附件，其中點P為撓性附件B1與中心剛體B0的連接點。O-XYZ為軌道坐標系，Ob-XbYbZb為星體坐標系，P-XAYAZA為中心剛體與撓性附件聯(lián)結(jié)的附件坐標系。

設(shè)點d為撓性附件上任意一點變形位移后所在位置。則附件上點d在坐標系O-XYZ下的矢徑

r1=r0+rb+ra+δ

(1)

式中：r0為軌道坐標系原點到航天器質(zhì)心Ob的矢徑；ra為附件上一點到連接點P的矢徑；rb為點P到航天器質(zhì)心Ob的矢徑；δ為附件上某一點的彈性變形。

對式(1)在軌道坐標系求導(dǎo)可得撓性附件上d點在慣性系的速度表達式

(2)

式中ω為星體系相對于軌道坐標系的旋轉(zhuǎn)角速度。

通常情況下，各個量是在不同坐標系下度量的，因此需要將各個量轉(zhuǎn)換到同一坐標系下度量?？梢缘玫綋闲愿郊蟙點的速度在附件坐標系P-XAYAZA下的表達式

(3)

中心剛體上任意一點c到O的矢徑

rc=r0+rd

(4)

將其轉(zhuǎn)換到軌道坐標系上度量，則中心剛體上一點c的速度表達式為

(5)

撓性航天器的動能T分為兩部分：中心剛體的動能Tb和附件的動能Tp，則撓性航天器的動能為

(6)

式中：Mb為中心剛體質(zhì)量；Jb為中心剛體相對于軌道坐標系的轉(zhuǎn)動慣量。

撓性航天器的勢能主要來源于附件的彈性變形，則附件的變形勢能

(7)

式中K為附件的剛度矩陣。若用模態(tài)坐標來描述附件的彈性變形δ，則δ可表示為

δ=Φη

(8)

式中：Φ為附件的模態(tài)函數(shù)；η為附件的模態(tài)坐標。

將式(8)代入式(6)和(7)中，可得到動能與勢能的模態(tài)坐標表達式分別為

(9)

(10)

Λ=diag[ω12，ω22，…，ωN2]

(11)

根據(jù)拉格朗日方程

(12)

式中L=T-U。將式(9)和(10)代入式(12)中，進行簡化整理可得

(13a)

(13b)

(13c)

(14a)

(14b)

(14c)

方程(14)可以寫成矩陣形式

(15)

式中

求解式(15)可得其特征方程為

(ΛM-K)Φ=0

(16)

通過求解方程(16)可得航天器非約束模態(tài)固有頻率。

2 模態(tài)頻率計算分析

2.1 撓性梁質(zhì)量對固有頻率的影響

將撓性航天器模型簡化為中心剛體單側(cè)撓性梁模型，分析計算撓性梁質(zhì)量對固有頻率的影響。所采用的中心剛體單側(cè)撓性梁系統(tǒng)參數(shù)為：中心剛體邊長R=0.5 m，轉(zhuǎn)動慣量[14]Jr=100 kg/m2；撓性梁長度分別為l=4 m、8 m、12 m、16 m和20 m，撓性梁橫截面積Af= 1.459 7×10-4m2，撓性梁截面慣性矩If=8.218 9×10-9M4；撓性梁材料密度ρ=2.766 7×103kg/m3，撓性梁楊氏彈性模量[7]Ef=6.895 2×1010Pa。因為撓性梁為等截面且材料密度為常量，因此撓性梁質(zhì)量與撓性梁長度成正比。分別采用方程(16)所給出的非約束模態(tài)頻率方程與有限元模型計算進行對比，數(shù)值計算結(jié)果如表1至表5所示。

表1 l=4 m時中心剛體-撓性梁前4階系統(tǒng)頻率 rad/s

表2 l=8 m時中心剛體-撓性梁前4階系統(tǒng)頻率 rad/s

表3 l=12 m時中心剛體-撓性梁前4階系統(tǒng)頻率 rad/s

表4 l=16 m時中心剛體-撓性梁前4階系統(tǒng)頻率 rad/s

表5 l=20 m時中心剛體-撓性梁前4階系統(tǒng)頻率 rad/s

由表1至表5可以看出，當(dāng)撓性梁長度分別為4 m、8 m、12 m時，約束模態(tài)方法和非約束模態(tài)方法計算結(jié)果與有限元仿真計算結(jié)果相近。撓性梁長度增加(對應(yīng)質(zhì)量增加)至16 m、20 m時，約束模態(tài)法計算結(jié)果相較于有限元仿真計算結(jié)果誤差明顯增大，尤其是在第1階模態(tài)出現(xiàn)較大誤差，約束模態(tài)所求第1階固有頻率的最大相對誤差為28.6%。非約束模態(tài)法計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本一致，最大相對誤差為9.1%。當(dāng)撓性梁尺寸遠大于中心剛體尺寸時，中心剛體質(zhì)量在整個航天器系統(tǒng)中占比較小，使用約束模態(tài)法計算整個系統(tǒng)的固有頻率時誤差大，計算精度低，已無法反應(yīng)系統(tǒng)整體的固有頻率。而使用非約束模態(tài)法所求固有頻率計算結(jié)果誤差較小，計算精度高，與有限元仿真計算結(jié)果近似。

2.2 系統(tǒng)質(zhì)量比對固有頻率的影響

以中心剛體和單側(cè)梁組成的系統(tǒng)模型為研究對象，仍采用2.1節(jié)中所選系統(tǒng)參數(shù)，選取l=20 m，改變中心尺寸大小，即改變其質(zhì)量，分析中心剛體和撓性梁的質(zhì)量比對系統(tǒng)固有特性的影響。取中心剛體質(zhì)量mt與撓性梁質(zhì)量mf比值分別為15，5，2.5，1，0.5，0.1。利用系統(tǒng)特征方程求解系統(tǒng)的固有頻率，以ANSYS有限元仿真分析軟件所求計算結(jié)果為參考依據(jù)，對比分析非約束模態(tài)法和約束模態(tài)法的適用范圍和差異性，如表6至表11所示。

表6 質(zhì)量比值mt/mf≈15系統(tǒng)頻率 rad/s

表7 質(zhì)量比值mt/mf≈5系統(tǒng)頻率 rad/s

表8 質(zhì)量比值mt/mf≈2.5系統(tǒng)頻率 rad/s

表9 質(zhì)量比值mt/mf≈1系統(tǒng)頻率 rad/s

表10 質(zhì)量比值mt/mf≈0.5系統(tǒng)頻率 rad/s

表11 質(zhì)量比值mt/mf≈0.1系統(tǒng)頻率 rad/s

從表6至表11可以看出，當(dāng)中心剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量比值mt/mf大于或等于2.5時，約束模態(tài)所求固有頻率的最大相對誤差為7.5%，非約束模態(tài)所求固有頻率誤差較小，最大誤差為2.59%。使用約束模態(tài)方法及非約束模態(tài)方法計算的固有頻率均比較精確。若繼續(xù)改變系統(tǒng)質(zhì)量比，使中心剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量比值mt/mf≈1，即剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量相等，此時利用非約束模態(tài)方法計算的固有頻率相對誤差較小，最大相對誤差3.85%，而約束模態(tài)所求固有頻率，最大相對誤差為17.31%。隨著撓性附件質(zhì)量的增加，當(dāng)中心剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量比值mt/mf≈0.5時，約束模態(tài)方法所求系統(tǒng)頻率相對誤差較大，最大誤差為19.12%，而非約束模態(tài)法計算結(jié)果與有限元結(jié)果基本一致，最大誤差為4.41%。當(dāng)中心剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量比值mt/mf≈0.1時，此時，中心剛體質(zhì)量遠小于撓性附件質(zhì)量，約束模態(tài)方法計算的固有頻率的最大相對誤差為20.98%，非約束模態(tài)方法計算結(jié)果最大誤差為6.17%。由此可知，當(dāng)中心剛體質(zhì)量遠小于撓性附件質(zhì)量時，使用非約束模態(tài)法所求系統(tǒng)固有頻率與有限元方法計算結(jié)果基本一致，而約束模態(tài)方法計算出的固有頻率與有限元方法計算結(jié)果誤差較大。

考慮一種特殊情況，即當(dāng)中心剛體質(zhì)量與撓性梁質(zhì)量比值mt/mf趨于零時，中心剛體質(zhì)量mt趨向于無窮小，此時，系統(tǒng)模型可以近似簡化為撓性梁，易于構(gòu)建模型。如表12所示，非約束模態(tài)法所得固有頻率最大誤差出現(xiàn)在第1階固有頻率，最大誤差為8.9%，誤差較小，非約束模態(tài)動力學(xué)方程計算結(jié)果與有限元方法計算結(jié)果基本吻合。所以在這種情況下仍可采用非約束模態(tài)方法，簡化模型，建立撓性航天器動力學(xué)方程求得其固有頻率。

表12 系統(tǒng)簡化為撓性梁模型前4階系統(tǒng)頻率比較 rad/s

3 結(jié)束語

本文利用拉格朗日法建立了撓性航天器系統(tǒng)的動力學(xué)方程，分別從約束模態(tài)和非約束模態(tài)建立航天器動力學(xué)模型。通過改變模型參數(shù)，利用非約束模態(tài)法所求固有頻率與有限元仿真結(jié)果比較，驗證了該方法的可行性。從撓性梁長度以及中心剛體撓性梁質(zhì)量比兩個方面出發(fā)，推導(dǎo)出約束模態(tài)和非約束模態(tài)的差異性和適用條件，并考慮了一種特殊情況，證明了非約束模態(tài)法是可行的。