方淑君, 王 濤，聶念從，張凌瑞

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

混凝土被廣泛應用于建筑行業(yè)，在施工中混凝土水化熱、養(yǎng)護不當、配筋過多等諸多因素都有可能導致裂縫或者空洞的產(chǎn)生，而結構運營期間鋼筋銹蝕、疲勞載荷等不利載荷作用下也會產(chǎn)生裂縫.在實際工程中混凝土結構產(chǎn)生裂縫的因素多、裂縫構型多樣、裂縫處應力情況復雜[1].傳統(tǒng)有限元方法研究斷裂問題時有著很多固有缺陷[2],例如，裂縫處網(wǎng)格需要加密，計算量太大；裂縫的動態(tài)擴展需要不斷地網(wǎng)格重構等.Belytschko等[3-5]提出了擴展有限元法(XFEM),其原理是在單位分解思想下，添加了加強函數(shù)對不連續(xù)邊界進行描述.這種方法在常規(guī)有限元基礎上，獨立于網(wǎng)格計算裂縫這類強不連續(xù)問題.方修君等[6]將XFEM應用于混凝土梁復合型開裂過程的數(shù)值模擬，證實XFEM是一種模擬準脆性材料復合開裂的有效方法.胡少偉等[7]利用XFEM較好地模擬了不同參數(shù)混凝土三點彎曲梁裂縫起裂、穩(wěn)定擴展與失穩(wěn)破壞的全過程.楊剛等[8]基于XFEM下的混凝土彈塑性本構關系，模擬了鋼筋混凝土柱的荷載-位移曲線和開裂過程.已有的研究論證了將混凝土作為準脆性材料采用XFEM進行斷裂分析結果良好.

標準擴展有限元方法利用了單位分解思想[9-10]，而單位分解插值會造成線性相關性，富集節(jié)點位移函數(shù)分解插值計算會使得總體剛度矩陣高度病態(tài)[11-14].目前，ABAQUS采用的是標準拓展有限元法，在對實際工程進行裂縫模擬時，裂縫發(fā)展可能會發(fā)展至網(wǎng)格邊角處，剛度矩陣病態(tài)造成模擬結果失真.本文的裂縫研究基于線彈性斷裂力學，研究XFEM的Ⅰ型開裂對網(wǎng)格的敏感性.模型選取三點彎曲梁試驗進行模擬分析,通過模擬結果與試驗數(shù)據(jù)對比，分析網(wǎng)格尺寸與不良裂縫構型兩個因素對ABAQUS標準拓展有限元法的影響.為了對比不同的裂縫發(fā)展路徑，引入離散弗雷歇距離定量地進行比較分析.

1 XFEM基本理論與離散弗雷歇距離

擴展有限元法是在常規(guī)的有限單元法的位移函數(shù)中加入一些加強函數(shù)以反映間斷性.當加強基函數(shù)為多項式時矩陣奇異，而且隨網(wǎng)格加密或基函數(shù)階次提高，病態(tài)趨于嚴重，穩(wěn)定性更差.

1.1 節(jié)點富集函數(shù)

用于增加節(jié)點自由度的加強函數(shù)通常包括裂紋尖端附近漸進函數(shù)和間斷函數(shù).富集節(jié)點的位移向量函數(shù)u表示為

(1)

1.2 空間不連續(xù)場積分

對包含裂縫的單元采取高斯積分法.單元被裂縫分割后，x，y方向的最小長度被稱為特征長度，在單元內(nèi)均勻分布積分點，而且保證在特征長度上至少有兩個積分點.如圖1所示，圖上的積分點個數(shù)是7×8，對于不同的單元，積分點的布置須分別計算[15].

1.3 離散弗雷歇距離

弗雷歇距離考慮了時序空間，它的定義如圖2所示.假設有兩人分別按照各自的路徑規(guī)劃行走，兩人之間有一根長短可以伸縮的繩子.弗雷歇距離就是在兩個人都能夠按照各自軌跡走到終點的過程中計算滿足條件的最長的繩子長度[16].

假設曲線R有r個數(shù)據(jù)點，曲線Q有q個數(shù)據(jù)點.σ(R) 和σ(Q)分別表示兩軌跡點按特定規(guī)律排序的集合，則有σ(R)=(u1,…,ut)和σ(Q)=(ν1,…,νt).可以得出以下點對L： (u1,ν1),(u2,ν2),…,(ut,νt).其中,0

(2)

離散弗雷歇距離表示為

δdF(R,Q)=min‖L‖.

(3)

通過固定位移荷載的值，提取裂縫曲線的離散數(shù)據(jù)點，并計算整個時程內(nèi)裂縫曲線之間的δdF.通過δdF描述不同模擬方法導致的裂縫構型的差異大小.

1.4 不良裂縫的定義

2 試驗設置與數(shù)值模擬

2.1 三點彎曲混凝土梁試驗

本文試驗選用三點彎曲混凝土梁，詳細數(shù)據(jù)與試驗結果采用王青原等[18]與唐宇翔等[19]發(fā)表的試驗數(shù)據(jù).試驗選用材料為硅酸鹽水泥CEM I 52.5，骨料的最大粒徑為10 mm.混凝土配合比(水∶水泥:細骨料∶粗骨料)=0.58∶1∶2.73∶2.73.梁的尺寸(長×高×厚)為710 mm×150 mm×80 mm，梁跨度S為600 mm，預制的裂縫長度為45 mm，寬度為2 mm.試驗梁的混凝土彈性模量為23.8 GPa.加載方式為位移控制加載，其速率為0.01 mm/min.在切縫口放置位移計測量裂縫口張開位移(CMOD).試驗分為三組，分別為A-1,A-2,A-3.三維裂縫通過0,1,2號截面轉(zhuǎn)化為二維平面對裂縫形狀進行描述，試驗布置與截面見圖3.

2.2 數(shù)值模擬

采用ABAQUS的XFEM對三點彎曲混凝土梁數(shù)值模擬，模型尺寸與試驗梁尺寸一致.混凝土材料參數(shù)見表1，模型設置簡支約束.加載采用跨中位移加載，豎直向下位移為0.8 mm.單元類型采用8節(jié)點等參減縮積分單元(C3D8R).開裂準則采用最大主應力準則，采用基于能量的線性軟化本構關系表示斷裂過程的軟化特性.初始裂縫接觸選用硬接觸且無摩擦.在部分收斂困難的模型中采用增加最大迭代次數(shù)、引入黏結阻尼等方法改善模型收斂性，ABAQUS數(shù)值建模見圖4.

表1 混凝土材料參數(shù)

2.3 模型設置

通過改變不良系數(shù)u，分析不良裂縫位置的影響而設置模型組1-1～1-5.為分析網(wǎng)格尺寸的影響設置模型組1-1～5-1.模型網(wǎng)格信息見表2，網(wǎng)格尺寸數(shù)據(jù)見圖5.

表2 模型網(wǎng)格參數(shù)信息

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 網(wǎng)格尺寸影響分析

在裂縫構型較好，即不良系數(shù)u=1時，討論網(wǎng)格尺寸在裂縫計算中的影響.

3.1.1 裂縫發(fā)展路徑對比

試驗裂縫與模型裂縫發(fā)展的路徑見圖6.

試驗中，在拉應力作用下，跨中裂縫為Ⅰ型裂縫，總體趨勢是豎直向上，但遇到硬度較大的骨料會發(fā)生彎折.在不良系數(shù)u=1時，各模型0，1，2號截面裂縫均是豎直向上發(fā)展的，原因是模型假設為勻質(zhì)實體沒有骨料的作用，裂縫不會彎折.以模型1-1的裂縫發(fā)展時程曲線為基準，求解離散弗雷歇距離δdF，見表3.分析數(shù)據(jù)可見，大尺寸網(wǎng)格會使裂縫長度增值較大，數(shù)據(jù)波動較大求得δdF也較大.但是在裂縫發(fā)展趨勢相同情況下，需要控制網(wǎng)格尺寸以對δdF值進行控制.

表3 裂縫路徑δdF數(shù)據(jù)

通過離散弗雷歇距離可以定量地描述裂縫發(fā)展路徑的差異，擺脫了定性描述實際裂縫與模擬裂縫相似程度的模糊性.

3.1.2P-δ曲線與P-CMOD曲線

將不同網(wǎng)格尺寸且u=1的模型數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)進行比較，反力曲線與裂縫加載位移曲線見圖7～圖8.

在反力P-δ曲線圖與P-CMOD曲線圖中，試驗數(shù)據(jù)曲線與模型模擬曲線走勢均相同.但是在接近混凝土梁完全破壞時，模擬曲線下降更快、裂縫發(fā)展更快.原因是，在模擬時將混凝土梁假設為各向同性的勻質(zhì)固體，而實際混凝土中的骨料咬合作用會在一定程度上抑制裂縫發(fā)展，即曲線下降得較為平緩；實際裂縫路徑存在彎折，在裂縫面上存在法向應力和切應力，而在模擬時裂縫路徑豎直向上，裂縫面不存在法向應力與切向應力.

試驗與模擬結果部分數(shù)據(jù)見表4.對選取的參數(shù)最大反力PMax、臨界裂縫張開位移CMODc和臨界加載位移δc，模型1-1擬合最好且相對誤差很小，而模型2-1與3-1擬合較差、相對誤差較大，3.1.3節(jié)對其誤差來源進行分析.

表4 試驗與模擬部分數(shù)據(jù)表

3.1.3 初始裂縫端點與網(wǎng)格邊界關系

模型2-1網(wǎng)格長度a=10 mm裂縫端點落在單元內(nèi)部，而模型4-1和5-1調(diào)整網(wǎng)格長度使裂縫端點落在單元邊界上.相關曲線見圖9～圖10，部分模型數(shù)據(jù)見表5.

模型4-1與模型5-1的最大反力PMax比模型2-1擬合更好，而前兩個模型與模型2-1的區(qū)別僅為網(wǎng)格劃分的差異.相較于模型2-1，模型4-1與5-1的網(wǎng)格尺寸變化較小，對結果的主要影響因素為裂縫端點位置.由于ABAQUS的XFEM方法有一定的簡化，在進行裂縫動態(tài)分析時，裂縫產(chǎn)生即貫穿整個單元.當裂縫端點落在單元內(nèi)時，該單元被認為完全破壞，在原有基礎上削減了梁承載力.

表5 部分模型模擬數(shù)據(jù)

網(wǎng)格尺寸需考慮初始裂縫端點位置，不能使端點落入單元內(nèi).此外，網(wǎng)格尺寸大小也會影響裂縫發(fā)展的時程情況.

3.2 不良裂縫構型的影響分析

3.2.1 裂縫發(fā)展路徑

在不良系數(shù)減小時裂縫發(fā)展路徑會產(chǎn)生顯著變化，且δdF與δ′dF值均增大，在u=0時，達到最大值.在構件、邊界與荷載均關于xoy平面對稱的條件下，δ′dF值過大且裂縫面并不對稱.這種情況驗證了隨不良系數(shù)減小，單元剛度矩陣病態(tài)更嚴重，微小的節(jié)點位移差異導致兩個截面裂縫發(fā)展差異巨大.同樣也說明基于ABAQUS平臺的XFEM網(wǎng)格劃分會影響裂縫發(fā)展的結果，不良系數(shù)u值越接近0，模擬的裂縫發(fā)展路徑失真情況越嚴重.

表6 裂縫路徑δdF數(shù)據(jù)表

3.2.2P-δ曲線與P-CMOD曲線

將相同網(wǎng)格尺寸而不良系數(shù)u不同的模型數(shù)據(jù)與試驗數(shù)據(jù)進行比較，反力曲線與裂縫張開位移曲線見圖13～圖14.部分模型模擬數(shù)據(jù)見表7.

在P-δ曲線圖與P-CMOD曲線圖中，試驗數(shù)據(jù)曲線與模型模擬結果曲線在達到反力最大值段均擬合較好，但在梁接近破壞時表現(xiàn)出明顯差異.當不良系數(shù)減小至0時，出現(xiàn)應力鎖死現(xiàn)象，產(chǎn)生了虛假的承載力.在初始裂縫起裂階段與初始裂縫位置無關，則最大反力值各模型值均誤差較小.因此基于ABAQUS的XFEM在不良裂縫構型時仍可以得出較為準確的承載力數(shù)值.

表7 部分模型模擬數(shù)據(jù)

3.2.3 黏結阻尼的影響

表8 裂縫路徑δdF數(shù)據(jù)表

4 結 論

1) 通過離散弗雷歇距離可以定量地描述裂縫發(fā)展路徑的差異，擺脫了定性描述實際裂縫與模擬裂縫相似程度的模糊性.

2) 應用基于ABAQUS的XFEM分析裂縫擴展時，初始裂縫端點必須設置在單元邊界處，否則會削弱構件的承載力.

3) 網(wǎng)格劃分尺寸和裂縫構型會影響裂縫的發(fā)展.網(wǎng)格尺寸過大會影響裂縫時程發(fā)展.不良系數(shù)u值越接近0，模擬的裂縫發(fā)展路徑失真情況越嚴重, 不良系數(shù)u值要控制在0.25～1內(nèi).

4) 裂縫構型不影響計算裂縫起裂荷載，在不良系數(shù)u較小時仍可以得到較準確的最大反力值.但當不良系數(shù)u接近0時，模型在構件即將完全破壞的階段會存在應力鎖死現(xiàn)象，產(chǎn)生虛假的承載能力.

5) 通過引入黏結阻尼，在提高收斂性的同時有效降低剛度矩陣病態(tài)引起的數(shù)值震蕩，可以一定程度上提高裂縫發(fā)展路徑的準確性.