唐 強

（昭通市鼎安科技有限公司，云南昭通 657000）

1 穩(wěn)態(tài)精餾過程的數(shù)學(xué)模型

整體分析，用于模擬精餾過程的數(shù)學(xué)模型主要包括如下幾種[1]：

1）MESH 平衡級模型：該模型在實施過程中假定塔板上方濃度整體混合，并且脫離平衡級的兩相流體之間建設(shè)了相位平衡關(guān)系，其通過聯(lián)合建設(shè)物料均衡、相位平衡、熱量平衡測算方式等諸多方式，獲得不同塔板的流量、構(gòu)成分布相關(guān)指標。

2）混合池模型與拓展模型：都假設(shè)塔板上濃度存有局部混合現(xiàn)象，基于物質(zhì)、熱量傳送及對流的衡算情況實現(xiàn)求解。

3）基于計算流體力學(xué)與傳質(zhì)學(xué)建設(shè)的模型：通過聯(lián)合建設(shè)得出與流動過程相配套的連續(xù)性方程與動量方程，在此基礎(chǔ)上獲得塔板上汽液相的實際速度與濃度分布狀態(tài)相關(guān)數(shù)據(jù)信息，該模型還能精確計算出板式塔的默弗里板效率。

相比之下，基于MESH 方程組的測算流程較為簡單，故而MESH 平衡級模型的應(yīng)用范圍更廣。針對穩(wěn)態(tài)精餾階段的常規(guī)精餾塔模擬計算，由于各等級物料輸入、輸出狀況大體等同，所以可以隨意選取第j 平衡級（見圖1）去表示整個精餾塔的運作狀況。如果將組分數(shù)設(shè)定為c，那么便可以寫出精餾過程穩(wěn)態(tài)操作下對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型

針對物料建設(shè)的平衡對等關(guān)系，將其叫作M 方程，對圖1內(nèi)任一平衡級J 作為組分i 的物料衡算見式（1）[2]：

而對于相位平衡關(guān)系，可將其簡稱之為E 方程，對于任何一個組分而言，有式（2）：

S 方程表示摩爾分數(shù)加和式，針對任意級別液相或液相的摩爾分數(shù)總和始終為1，則有式（3）：

用H 方程表示熱量平衡方程，針對任意一個理論級，進行熱量衡算后能得到式（4）：

圖1 第j平衡級

2 模擬穩(wěn)態(tài)精餾過程計算方法的發(fā)展歷程

2.1 三對角矩陣法

2N 牛頓-拉夫森法的基本思想可以做出如下概述：先對非線性方程組進行線性化處理，而后利用迭代法求出相應(yīng)的結(jié)果。該方法在應(yīng)用過程中，綜合分析了塔板上的汽相流量、差異化塔板溫度對熔平衡及組分加和方程形成的影響，故而該種方法在寬餾、窄餾分的分離測算領(lǐng)域中均表現(xiàn)出良好的適用性。但該法應(yīng)用階段暴露出最明顯的缺點是測算量極為龐大，故而在非理想型偏強的體系內(nèi)適用性非常差。方法計算量十分龐大，且不適用于非理想性較強的體系。Bennett J M[3]以此為基礎(chǔ)做出針對性的改進后，規(guī)避數(shù)次求解偏導(dǎo)數(shù)與在單位層面上解離三角以及下三角矩陣。該法應(yīng)用階段僅測算單次Jacobian 矩陣，后期涉及的各次迭代對應(yīng)的系數(shù)矩陣都可以采用上次迭代的矩陣捕獲，迭代時間顯著被壓縮，收斂速率明顯提升。

針對傳統(tǒng)的自由度N（2C+1）同時校正法現(xiàn)實應(yīng)用中暴露的不足，1997年王世懷等導(dǎo)入了以自由度N（2C+1）數(shù)學(xué)模型為核心的三對角線方程組聯(lián)立法。該算法減少了模型方程與變量向量的維數(shù)，且對相位平衡常數(shù)與焓值均進行了回歸處理，利用解析法把過往采用的差分法求一階偏導(dǎo)數(shù)取而代之，同步提升了聯(lián)立求解方程的運行效率與安穩(wěn)性。

流量加和法是表示三對角矩陣的另一種特殊形式，其利用物料及相位平衡方程聯(lián)合對汽液相流量進行校正處理，由焓平衡方程負責(zé)校正溫度。該方法在首次迭代環(huán)節(jié)中要給定液相流量與溫度值，而后算出汽相流量與相平衡常數(shù)，最后利用三對角矩陣測求出液相具體構(gòu)成。H、S 方程分別用于校核溫度與流量。如果確定新產(chǎn)生的液相流量、溫度與原始值之間形成的偏差低于收斂準確度，則提示預(yù)期的收斂目標，反之則要返回持續(xù)進行循環(huán)迭代測算，直至抵達收斂為止。該種算法在吸收塔、寬沸程精餾系統(tǒng)內(nèi)表現(xiàn)出良好適用性[4]。

2.2 牛頓法

可以將牛頓法看成是一種同時修正法，應(yīng)用階段一定要給出適宜的預(yù)測值作為原始值，從原始值開始就應(yīng)用導(dǎo)數(shù)函數(shù)對變量向量的預(yù)測值加以分析，以此為基礎(chǔ)生成一個和線性函數(shù)相似度很高且逐漸臨近被解函數(shù)，基于測求近似函數(shù)的過程，循環(huán)迭代變量向量獲得了被解目標函數(shù)的解。但其屬于一種局部收斂法，對原始值提出較高的要求，且測算過程會耗用較長的時間。

張克誠等吸納了三對角矩陣法、2N 牛頓-拉夫森法算法的優(yōu)勢，提出了聯(lián)合算法，即三對角矩陣-2N 牛頓-拉夫森。該聯(lián)合算法的應(yīng)用原理可以做出如下表述：先采用三對角矩陣法測算獲得相對較好的原始值，而后再將其整合到2N 牛頓-拉夫森法進行求解，并采用該算法測算到最后收斂。該種聯(lián)合算法應(yīng)用階段最大的難點是確定最適宜的時間點切換兩種算法，筆者結(jié)合既往經(jīng)驗做出切換算法時應(yīng)遵照的依據(jù)。通過試驗證實，聯(lián)合算法在應(yīng)用階段表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性，收斂過程也較為快速。

Vazquez-Esparragoza 等[5]建設(shè)了牛頓-拉夫森函數(shù)轉(zhuǎn)換聯(lián)合法，其在測求高度非線性方程組方面表現(xiàn)出良好效能，尤其是針對稀疏或者非稀疏體系時，該算法體現(xiàn)出簡易性、高效性等特征。Estman，Kel-ly R 等提出了牛頓近似法，整合牛頓法與Schubea 更新，和局部牛頓法與Schubea 法相比較，其在應(yīng)對精餾問題方面更具有效性、安穩(wěn)性。該算法允許使用大批量現(xiàn)成的分析局部導(dǎo)數(shù)信息，并且針對那些獲取難度系數(shù)較高的倒數(shù)采用取相似值的方法。在測算精餾物理性質(zhì)方面，該算法耗用的時間明顯短于牛頓法，大概是牛頓法用時的60.0%～70.0%，這主要是因為在現(xiàn)實測算中精細度較高的計算占比較高。但在獲取等同的精確度時，該種方法的迭代頻次通常要多于牛頓法。

2.3 內(nèi)外層法

Boston J F 等是內(nèi)外層法的提出者，再次對能量與揮發(fā)度相關(guān)參數(shù)做出定義是建設(shè)該算法的重要基礎(chǔ)。為消除某一相互干擾，于各級別上定義首個第三參數(shù)，將該參數(shù)設(shè)定為汽液相流率與溫度形成的特有整合體，采用前期修整好的擬牛頓法對這些參數(shù)進行迭代處理。該算法應(yīng)用階段省略了對汽液相流率與塔板溫度兩項參數(shù)進行迭代處理的過程，明顯提高了收斂速率，算法運行過程相對較穩(wěn)定；但是在執(zhí)行該算法過程中需聯(lián)合使用諸多參數(shù)，故而計算流程較為繁雜。

2.4 松弛法

Rose 等提出松弛法的概念，其是以不穩(wěn)定狀態(tài)下的物料均衡為基礎(chǔ)測算精餾的一類方法，其效仿精餾運行過程由波動態(tài)轉(zhuǎn)向穩(wěn)定態(tài)的過程進行求算。先選取各個塔板的原始構(gòu)成，選用進料構(gòu)成或他類方便測算的構(gòu)成，而后采用非穩(wěn)定態(tài)的物料衡算方程測算各塊塔板，設(shè)定適宜的時間間隔進行測算以獲得單組塔板上的液相構(gòu)成，重復(fù)進行以上這種測算操作直至兩個相毗鄰的測算結(jié)果等同，提示塔板上的構(gòu)成抵達了穩(wěn)定態(tài)，迭代頻次對應(yīng)的是測算時間。

宋海華等把松弛法和修正后的N-R 相整合，研發(fā)出實用性較高的通用型算法-聯(lián)合算法，該算法采用穩(wěn)定性較高的松弛法開展測算工作，等到收斂結(jié)束后轉(zhuǎn)到N-R 法迅速完成收斂測算，在以上過程中無須用戶設(shè)定不同算法的轉(zhuǎn)向時間?；趯嶋H案例證實，該種算法應(yīng)用階段表現(xiàn)出較好的安穩(wěn)性，收斂速度也很快，可以被看成是一種理想度較高的模擬計算方法[6]。李天一等提出建設(shè)復(fù)雜精餾塔的數(shù)學(xué)模型，而后采用松弛法和N-R 法聯(lián)合算法求解模型。應(yīng)用實例表明該算法對初始值沒有提出較高要求，且收斂過程穩(wěn)定性較高。

3 不同計算方法的優(yōu)劣勢對比分析

牛頓法的適用范疇較寬，能快速收斂，但對原始值提出較高要求，原始值和現(xiàn)實解鄰近度較高時，該法計算精餾過程能取得良好成效。但若初始值與真值間存在較大偏差時，利用該法測算很難實現(xiàn)收斂。內(nèi)外層法明顯地提升了收斂過程的安穩(wěn)性，速度也顯著加快，但面對高度非理想化體系時，其實現(xiàn)預(yù)期收斂目標的難度較高。經(jīng)修整以后得到的內(nèi)外層法對原值沒有提出較嚴格的要求，拓展了自身使用范疇，減少了內(nèi)存占用率，且還能取得精確度較高的計算結(jié)果。松弛法對原始值提出的要求偏低，收斂過程較為遲緩，適用于模擬測算非理想化物系的穩(wěn)態(tài)式精餾過程。

對多種用于模擬計算穩(wěn)態(tài)精餾過程的算法優(yōu)勢、弊端進行分析后，能清楚地感知到每個算法均有一定適用范圍及優(yōu)點與不足，當下尚無一種方法能聚集多個優(yōu)點于一身。故而，在處置現(xiàn)實的精餾問題時，應(yīng)依照各種測算方法的特征選用適宜度更高的方法模擬計算精餾過程。

4 結(jié)束語

綜合本文論述，能清楚地感知到現(xiàn)存的穩(wěn)態(tài)精餾過程模擬計算法適用測求類型均有一定適用范圍及優(yōu)點與不足，難以斷言哪種算法占有絕對性優(yōu)勢，故而當前其均有一定應(yīng)用，但依然沒有開發(fā)出一種完美的計算方法去應(yīng)對穩(wěn)態(tài)精餾過程模擬計算的現(xiàn)實問題，相關(guān)模擬計算方法還有很大改進空間。