孫藝萌，邱若臻，張多琦，關(guān)志民

(東北大學(xué)工商管理學(xué)院，遼寧 沈陽 110169)

0 引言

科技的進(jìn)步和電子商務(wù)的發(fā)展使得產(chǎn)品信息獲取壁壘降低、客戶轉(zhuǎn)換成本減少，直接導(dǎo)致消費(fèi)者偏好的不確定性，從而增加了零售商獲取精確需求信息的難度。需求不確定性已成為影響零售商庫存決策的重要因素之一。同時(shí)，原材料價(jià)格的波動(dòng)、有效勞動(dòng)力的變動(dòng)、機(jī)器損壞的影響以及自然災(zāi)害等突發(fā)事件使得供給不確定也成為零售商在庫存管理中面臨的重要問題。大多數(shù)情況下，零售商庫存管理面臨著供給與需求雙重不確定性的考驗(yàn)。以水果銷售為例，一方面，新品種的出現(xiàn)和購買渠道的增加導(dǎo)致了水果需求的不確定性；另一方面，天氣變化、病蟲害影響和運(yùn)輸途中損耗增加了水果供給的不確定性。供需不確定性存在于諸多行業(yè)中，如食品加工、生物制藥、采礦業(yè)、農(nóng)業(yè)等，使得很多營運(yùn)資金有限的中小企業(yè)和個(gè)體商戶具有不同程度的風(fēng)險(xiǎn)厭惡態(tài)度。因此，在供需不確定環(huán)境下，研究能夠權(quán)衡不同程度的風(fēng)險(xiǎn)與收益偏好的零售商庫存問題至關(guān)重要。

報(bào)童模型是在需求不確定環(huán)境下解決零售商庫存決策的經(jīng)典模型，許多學(xué)者針對該問題進(jìn)行了廣泛研究。Fard等[1]建立了報(bào)童決策模型來獲得隨機(jī)需求下的最優(yōu)庫存水平，并利用金融工具緩解需求不確定帶來的風(fēng)險(xiǎn);Hu等[2]以最大化期望利潤為目標(biāo)，在價(jià)格敏感型隨機(jī)需求下建立了采購和定價(jià)聯(lián)合決策的報(bào)童模型，并證明了該聯(lián)合決策優(yōu)于分離決策;Mitra[3]以最大化收益為目標(biāo)，以剩余庫存的回收/清倉價(jià)格為決策變量，在季節(jié)性需求是外生隨機(jī)的而季末需求是內(nèi)生確定的、季節(jié)性需求是外生隨機(jī)的而季末需求是內(nèi)生隨機(jī)的以及季節(jié)性需求和季末需求均是內(nèi)生隨機(jī)的3種不同條件下，建立隨機(jī)規(guī)劃模型并進(jìn)行了求解;趙文燕等[4]在報(bào)童模型框架下，針對易逝品的溢價(jià)預(yù)售問題，基于前景理論構(gòu)建了需求不確定條件下的零售商預(yù)售決策模型。

如前所述，零售商庫存決策不僅受市場需求不確定性的影響，還受到供應(yīng)商供給能力的影響;Bengen等[5]在報(bào)童模型中同時(shí)考慮需求和供給的不確定性，研究了需求不確定、供給不確定以及為減少不確定所做的努力對于生產(chǎn)量和總成本的影響;Golmohammadi等[6]在供給不確定和價(jià)格敏感型需求不確定下，考慮了有生產(chǎn)能力限制的農(nóng)產(chǎn)品聯(lián)合批量生產(chǎn)與定價(jià)問題;Chaturvedi等[7]在需求和供給不確定的無限期運(yùn)營背景下，對持有安全庫存，規(guī)劃過剩產(chǎn)能和多樣化供應(yīng)來源進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化;He等[8]研究了由生產(chǎn)不確定的供應(yīng)商與面臨需求不確定的零售商組成的二級(jí)供應(yīng)鏈的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題。

以上研究雖然在報(bào)童模型中同時(shí)考慮了需求和供給的不確定性，但都是在需求和供給分布已知的條件下，通過最大化期望利潤或最小化期望成本獲得最優(yōu)訂貨決策。然而現(xiàn)實(shí)中，在促銷、競爭等各種因素的干擾下，決策者通常難以為報(bào)童模型獲得準(zhǔn)確的需求和供給分布信息。Roy[9]指出模型參數(shù)的錯(cuò)誤假設(shè)會(huì)嚴(yán)重影響優(yōu)化績效;這促使決策者在運(yùn)營管理決策中尋找合適的建模與求解方法，以抵御不確定參數(shù)的擾動(dòng)。作為有效應(yīng)對不確定參數(shù)擾動(dòng)的方法，魯棒優(yōu)化被廣泛應(yīng)用于不確定性建模問題中。Scarf[10]首次考慮需求自由分布下的庫存控制問題，在僅知需求均值和方差的情況下，利用最小最大魯棒建模準(zhǔn)則獲得單周期報(bào)童模型的最優(yōu)訂貨量。在此基礎(chǔ)上，一些學(xué)者利用魯棒優(yōu)化方法解決了基于報(bào)童模型的各種庫存決策問題。Abdel-Aal等[11]在不確定需求環(huán)境下，考慮選擇性報(bào)童問題，并利用基于集合的魯棒優(yōu)化方法在不同的不確定需求集合下制定最優(yōu)訂貨策略;Bai等[12]利用分布式魯棒優(yōu)化方法，解決了不確定需求下考慮兩種碳減排放計(jì)劃的雙供應(yīng)源報(bào)童模型，即碳排放較高但成本較低的離岸供應(yīng)源，和碳排放較低但成本較高的近岸供應(yīng)源;Wang等[13]在報(bào)童模型中同時(shí)考慮訂貨和定價(jià)問題，在需求與價(jià)格相關(guān)且需求概率分布不確定環(huán)境下，建立了以最小最大后悔值為準(zhǔn)則的報(bào)童模型。

上述利用魯棒優(yōu)化方法解決供需不確定下庫存管理問題的文獻(xiàn)，均假定決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的。而現(xiàn)實(shí)中，受不確定性的影響，決策者通常會(huì)呈現(xiàn)不同程度的風(fēng)險(xiǎn)偏好。實(shí)證研究表明，決策者實(shí)際訂貨策略通常與風(fēng)險(xiǎn)中性下報(bào)童模型所獲得的訂貨策略有一定偏差[14]。為解決這一問題，許多學(xué)者采用均值—方差、風(fēng)險(xiǎn)值(Value at Risk, VaR)、條件風(fēng)險(xiǎn)值(Conditional Value at Risk, CVaR)等風(fēng)險(xiǎn)測度來反應(yīng)決策者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。然而，均值—方差風(fēng)險(xiǎn)測度對于收益有嚴(yán)格的正態(tài)分布假設(shè)；VaR風(fēng)險(xiǎn)測度無法測量超過預(yù)設(shè)置信水平的損失情況，并且不滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測量。相比之下，CVaR對于收益沒有分布假設(shè)，能夠度量一定置信水平下的損失超過VaR的尾部事件期望值，同時(shí)滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)測度。因此，CVaR近年來廣受學(xué)者關(guān)注。Xue等[15]以最大化CVaR績效為目標(biāo)，在隨機(jī)需求下制定最優(yōu)訂貨決策，并通過購買看跌期權(quán)來對沖低需求風(fēng)險(xiǎn);陳建新等[16]針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡且具有資金約束的零售商和風(fēng)險(xiǎn)中性供應(yīng)商組成的兩級(jí)供應(yīng)鏈，在CVaR準(zhǔn)則下研究了供應(yīng)鏈回購契約協(xié)調(diào)問題。類似地，代建生[17]在銷售商實(shí)施促銷努力并擁有部分定價(jià)權(quán)下，采用CVaR方法研究了供應(yīng)鏈?zhǔn)找婀蚕砥跫s協(xié)調(diào)問題;劉詠梅等[18]針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡型零售商，基于CVaR準(zhǔn)則建立了考慮戰(zhàn)略顧客行為的報(bào)童模型，并分析了零售商面對戰(zhàn)略顧客時(shí)的訂購和定價(jià)決策。

然而，以CVaR績效為目標(biāo)的建模屬于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型建模，所做出的決策過于保守[19]。均值-CVaR允許決策者在制定庫存策略時(shí)平衡風(fēng)險(xiǎn)與收益，其中CVaR用來度量風(fēng)險(xiǎn)，期望利潤用來度量收益。Gao等[19]以最大化均值-CVaR績效為目標(biāo)，在單周期不確定需求環(huán)境下，制定訂貨與套期保值聯(lián)合決策;Qiu等[20]在需求分布不確定條件下，分別以期望利潤、CVaR績效和均值-CVaR績效最大化為目標(biāo)進(jìn)行建模來獲得報(bào)童模型下的最優(yōu)庫存決策;邱若臻等[21]針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡型零售商建立了基于均值-CVaR的單周期庫存優(yōu)化模型，通過構(gòu)建基于似然估計(jì)的需求概率分布不確定集合并運(yùn)用拉格朗日對偶理論，將模型轉(zhuǎn)化為可解的凹優(yōu)化問題。

由上述分析可以看出，目前關(guān)于報(bào)童問題的研究大多側(cè)重于單一需求不確定性，對綜合考慮需求和供給不確定性研究相對較少；而關(guān)于供需不確定下的報(bào)童問題研究通常考慮決策者為風(fēng)險(xiǎn)中性，并且假定已知供應(yīng)和需求概率分布信息，從而導(dǎo)致模型結(jié)果缺乏實(shí)踐中的可應(yīng)用性?；诖?，本文在報(bào)童模型框架基礎(chǔ)上，針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商，綜合考慮供給和需求概率分布的不確定性，在均值-CVaR準(zhǔn)則下建立具有較低保守性的零售商庫存魯棒優(yōu)化模型。進(jìn)一步，在供給與需求概率分布的橢球不確定集下，利用標(biāo)準(zhǔn)對偶理論將所建模型轉(zhuǎn)化為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本文模型與方法的有效性。

1 供需不確定條件下基于報(bào)童問題的零售商庫存優(yōu)化模型

在單周期環(huán)境下，考慮如圖1所示的零售商庫存控制系統(tǒng)。其中，零售商同時(shí)面臨來自下游市場的不確定需求d和來自上游供應(yīng)商的不確定供給能力s，并以利潤最大化為目標(biāo)做出最優(yōu)庫存決策Q。在銷售季節(jié)開始前，零售商向上游供應(yīng)商下達(dá)Q單位的訂單，單位產(chǎn)品采購成本為c；由于供應(yīng)商受自身產(chǎn)能不確定性影響，僅能供應(yīng)min{Q,s}單位的產(chǎn)品。銷售期開始后，零售商以單位價(jià)格為r(r為外生變量)向市場銷售產(chǎn)品。在銷售期末，若采購量小于實(shí)際市場需求，即min{Q,s}c>v。

πij(Q;di,sj)=rmin{min{Q,sj},di}+

v(min{Q,sj}-di)+-g(di-min{Q,sj})+

-cmin{Q,sj}=(r+g-c)min{Q,sj}-

(r-v+g)(min{Q,sj}-di)+-gdi。

(1)

令π=(πij)N×M表示零售商在不同供給和需求情景下的利潤矩陣，其中πij(i=1,2,…,N，j=1,2,…M)表示市場需求為di，供給能力為sj下的零售商利潤。當(dāng)需求情景概率p和供給情景概率q已知時(shí)，零售商可通過式(2)確定最優(yōu)訂貨量Q*：

(2)

2 基于均值-CVaR的零售商庫存決策模型

給定訂貨量Q，在市場需求d和供給能力s下，零售商利潤π(Q;d,s)不低于閾值α的概率為：

Φ(Q,α)=Pr{π(Q;d,s)≥α}。

(3)

在給定風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度β∈(0,1)下，零售商利潤的風(fēng)險(xiǎn)值為：

VaRβ(Q)=sup{α∈R|Φ(Q,α)≥1-β}。

(4)

式(4)表明零售商利潤高于閾值α的概率不低于1-β，β越小，決策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高。在式(4)的基礎(chǔ)上，零售商利潤的條件風(fēng)險(xiǎn)值定義為[21]：

CVaRβ(Q)=bVaRβ(Q)+(1-b)CVaRβ(Q)+。

(5)

CVaRβ(π(Q;d,s))=

(6)

在均值-CVaR準(zhǔn)則下，零售商庫存優(yōu)化問題可描述為：

(7)

其中θ(θ∈[0,1])為樂觀系數(shù)，θ越高，決策者越傾向于獲得高利潤。特別地，當(dāng)θ=0時(shí)，式(7)等價(jià)于條件風(fēng)險(xiǎn)值最大化問題；當(dāng)θ=1時(shí)，式(7)等價(jià)于期望利潤最大化問題。為了給出不確定供給和需求分布下，式(7)的魯棒對應(yīng)，下面將分別給出最壞條件下的條件風(fēng)險(xiǎn)值和期望利潤。

最壞供給和需求分布下的零售商利潤條件風(fēng)險(xiǎn)值為：

uij≥0,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M。}。

(8)

最壞供給和需求分布下的零售商期望利潤為：

WC_[π(Q,d,s)]

(9)

綜合式(8)與式(9)，基于均值-CVaR的零售商庫存優(yōu)化問題(7)的魯棒對應(yīng)模型可描述為：

WC_CVaRβ(Q;d,s)}

(10)

其中u=(uij)N×M，i=1,2,…,N，j=1,2,…,M。式(10)給出了供給和需求最壞分布情形下，零售商CVaR績效和期望利潤間的權(quán)衡。因此，基于均值-CVaR的零售商庫存策略滿足帕累托最優(yōu)。在不同參數(shù)θ下，通過求解問題(10)，可以獲得相應(yīng)的帕累托有效前沿。進(jìn)一步，式(10)等價(jià)于：

s.t.

uij≥α-πij,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M,

uij≥0,i=1,2,…,N,j=1,2,…,M。

(11)

注意到，問題(11)因含有min{·}項(xiàng)而難以直接求解。為解決該問題，下文將在不確定概率向量p和q定義基礎(chǔ)上運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)對偶理論將式(11)轉(zhuǎn)化為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題。

3 橢球不確定集下基于均值-CVaR的零售商庫存魯棒優(yōu)化模型

實(shí)施魯棒優(yōu)化的關(guān)鍵在于獲得易于處理的魯棒對應(yīng)模型，這通常取決于不確定參數(shù)所隸屬的不確定集合。根據(jù)Ben-Tal等[23]的研究，橢球不確定集合可以通過調(diào)節(jié)縮放矩陣的大小來調(diào)整不確定集合的范圍，能在保證相應(yīng)策略魯棒性的同時(shí)，降低其保守性?；诖?，本文假定不確定需求與供給的概率分布隸屬于如下橢球不確定集。

(12)

(13)

3.1 最壞分布下的零售商期望利潤

在式(12)與式(13)的基礎(chǔ)上，考慮問題(11)第一個(gè)約束右端的第一個(gè)最小化問題，即

(14)

問題(14)描述了橢球不確定集合下的零售商最壞期望利潤。為方便建模，令x=[ξT,ηT]T∈N+M，滿足則式(14)可表示為：

(15)

s.t.

Bx≤b。

(16)

其中：

令χf={x∈N+M|Bx≤b}為模型(16)可行域，顯然χf為N+M上的凸子集。因此，若可行域χf的半徑r0有界，即‖x‖≤r0，?x∈χf，則模型(16)至少存在一個(gè)全局最優(yōu)解。為利用標(biāo)準(zhǔn)對偶轉(zhuǎn)換求解二次規(guī)劃問題(16)，引入附加約束‖x‖2≤2μ，從而將問題(16)轉(zhuǎn)化為如下參數(shù)規(guī)劃問題，即

s.t.

Bx≤b,

‖x‖2≤2μ。

(17)

(18)

可以看出：χμ為N+M上的閉凸子集，因此問題(17)至少存在一個(gè)全局最小值若可行域χf的半徑r0滿足則也是二次規(guī)劃模型(16)的解。因此，下面將利用標(biāo)準(zhǔn)對偶轉(zhuǎn)換，獲得參數(shù)規(guī)劃問題(17)的標(biāo)準(zhǔn)對偶模型。

根據(jù)Gao[24]提出的標(biāo)準(zhǔn)對偶轉(zhuǎn)換方法，問題(17)的標(biāo)準(zhǔn)幾何算子可定義為如下向量值映射：

=(ε,ρ):N+M→S×。

(19)

其中S=N+M+4。定義f為=S×上的一個(gè)凸子集，即

f={y=(ε,ρ)∈S×∣ε≤b,ρ≤μ}。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

=(DΛ(x)T)y*,x∈χf}

(25)

={(ε*,ρ*)∈S×∣ε*≥0,ρ*≥0,

det(A+ρ*I)=0}。

(26)

可得問題(22)中目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)對偶為：

bTε*-μρ*。

(27)

綜合式(26)和式(27)，問題(17)或問題(22)的標(biāo)準(zhǔn)對偶問題可描述為：

(A+ρ*I)-1(k-BTε*)-bTε*-μρ*};

s.t.

ε*≥0,ρ*≥0,

det(A+ρ*I)=0。

(28)

其中：extψ(x)為函數(shù)ψ(x)的極值;det(Δ)表示矩陣Δ的行列式。

定理1通過標(biāo)準(zhǔn)對偶轉(zhuǎn)換，原問題(17)與其對偶問題(28)的對偶間隙為零。證明詳見附錄。

(29)

且

(30)

下述定理2表明，求解原問題(17)或其無約束標(biāo)準(zhǔn)形式(22)，等價(jià)于求解其對偶問題(28)的最大化問題。

(31)

證明詳見附錄。

根據(jù)定理2，原問題(17)的等價(jià)對偶問題可描述為：

(A+ρ*I)-1(k-BTε*)-bTε*-μρ*。

s.t.

ε*≥0,

ρ*>-min{eig(A)}。

(32)

其中eig(A)為矩陣A的特征值構(gòu)成的集合。

定理2進(jìn)一步表明，求解零售商最壞分布下的期望利潤可等價(jià)轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)最大化數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，而不需要指定最壞分布的具體形式。定理1和定理2一方面確保了原有不可解問題和轉(zhuǎn)化后問題的嚴(yán)格等價(jià)性，另一方面為解決同類問題提供了方法上的借鑒，尤其適用于多種不確定性擾動(dòng)下的庫存模型的求解。綜上所述，橢球不確定集下，最壞分布下的零售商期望利潤(15)等價(jià)于如下問題的最優(yōu)值：

s.t.

ε*≥0,

ρ*>-min[eig(A)]。

(33)

3.2 最壞分布下的零售商CVaR績效

基于式(12)與式(13)中對于橢球不確定集的定義，考慮問題(11)第一個(gè)約束中的第二個(gè)最小化問題，即

(34)

根據(jù)3.1節(jié)對變量x的定義，問題(34)可描述為

(35)

s.t.

Bx≤b。

(36)

根據(jù)3.1節(jié)中的標(biāo)準(zhǔn)對偶轉(zhuǎn)換方法，問題(35)的標(biāo)準(zhǔn)對偶形式為：

(A1+γ*I)-1(k1-BTω*)-bTω*-μγ*};

s.t.

ω*≥0,

γ*>-min[eig(A1)]。

(37)

綜合問題(33)與問題(37)，在供給和需求不確定條件下，供需不確定條件下基于均值-CVaR的報(bào)童魯棒優(yōu)化模型(11)等價(jià)于：

uij≥α-πij,i=1,2,…,N;j=1,2,…,M;

uij≥0,i=1,2,…,N;j=1,2,…,M;

ε*≥0;

ω*≥0;

ρ*>-min{eig(A)};

γ*>-min{eig(A1)}。

(38)

其中決策向量(ζ,Q,α,u,ε*,ρ*,ω*,γ*)∈×××N×M×S××S×。

4 數(shù)值算例與分析

4.1 風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度β對零售商庫存決策及運(yùn)作績效的影響

由圖2可知，由于不確定性的存在，橢球不確定集合下的魯棒訂貨量低于已知真實(shí)分布下的訂貨量，并且隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度降低(即β增加)，零售商訂貨量呈現(xiàn)遞增趨勢。由圖3可知，隨著β的增加，均值-CVaR呈現(xiàn)遞增趨勢，最壞供需分布下的均值-CVaR績效低于真實(shí)分布下的情況，而魯棒訂貨量應(yīng)用于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效接近于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效。表1所示為不同β值下魯棒訂貨量應(yīng)用于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效相較于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效的績效損失比。由表1可知，不同β值下，該績效損失比很小。上述結(jié)果表明本文所構(gòu)建的橢球不確定集下的魯棒優(yōu)化模型不僅具有良好的魯棒性，還有效改善了解的保守性，獲得了接近于真實(shí)分布下均值-CVaR績效的魯棒訂貨策略。

由圖4和圖5可以看出，基于均值-CVaR的零售商期望利潤和CVaR績效均隨著β的增加呈現(xiàn)遞增趨勢。這是因?yàn)樵诠潭é群挺林迪?，β越大，表明決策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越低，相對應(yīng)的CVaR績效越高。同時(shí)，β增加意味著零售商更傾向于擁有更多庫存以獲得更高利潤，因此訂貨量和期望利潤指標(biāo)均增加。綜合圖2～圖5中的指標(biāo)變化趨勢可知，在固定的參數(shù)θ和α下，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度降低(即β增加)，零售商更傾向于增加訂貨量來獲得更高的系統(tǒng)績效(均值-CVaR)，此時(shí)期望利潤和CVaR績效均提高。

表1 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度β下的零售商庫存績效及損失情況

4.2 樂觀系數(shù)θ對零售商庫存決策及運(yùn)作績效的影響

為了分析不同樂觀系數(shù)θ對零售商庫存決策及相應(yīng)的均值-CVaR績效的影響，令參數(shù)θ={0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0}，同時(shí)固定參數(shù)β=0.15,α=0.02。圖6～圖9所示為不同樂觀系數(shù)θ下的零售商訂貨量、均值-CVaR績效、期望利潤和CVaR績效，各指標(biāo)的計(jì)算方式同上。

由圖6和圖7可知，隨著樂觀系數(shù)θ的增加，零售商傾向于增加訂貨量來獲得更高的系統(tǒng)績效。圖7同樣展示了最壞供需分布下的均值-CVaR績效低于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效，而魯棒訂貨量應(yīng)用于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效接近于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效。表2所示為不同θ下依據(jù)文中方法得到的魯棒訂貨量所導(dǎo)致的較低的績效損失比。圖6、圖7和表2同樣驗(yàn)證了文中所建模型具有良好的魯棒性，相應(yīng)魯棒解具有較低的保守性。圖8和圖9分別表明，隨著樂觀系數(shù)θ的增加，零售商所能獲得的期望利潤增加而CVaR績效降低。這是因?yàn)殡S著θ的增加，零售商將更高的權(quán)重賦予期望利潤而將更少的權(quán)重賦予CVaR，以此來獲得更高的系統(tǒng)績效。這與Rockafellar等[26]所述相符，即零售商的期望利潤總是高于其利潤的條件風(fēng)險(xiǎn)值，因此，θ越大，期望利潤和條件風(fēng)險(xiǎn)值的加權(quán)之和越大，即系統(tǒng)總績效越高。

綜合圖6～圖9中的指標(biāo)變化趨勢可知，在固定的參數(shù)β和α下，隨著樂觀系數(shù)θ的增加，零售商更傾向于依據(jù)期望利潤指標(biāo)進(jìn)行庫存決策，期望利潤增加并帶動(dòng)訂貨量水平和系統(tǒng)整體績效(均值-CVaR)的增加，而CVaR績效降低。

表2 不同樂觀系數(shù)θ下的零售商庫存績效及損失情況

如前所述，依據(jù)式(11)所做的決策滿足帕累托最優(yōu)，因而可獲得CVaR績效與期望利潤間權(quán)衡的帕累托有效前沿。當(dāng)θ=1時(shí)，相當(dāng)于期望利潤最大化問題，此時(shí)系統(tǒng)績效將不受參數(shù)β的影響；當(dāng)θ=0時(shí)，相當(dāng)于單一CVaR最大化問題。為避免這一問題，令θ∈[0.1,0.9]。在固定參數(shù)β=0.15,α=0.02下，帕累托有效前沿如圖10所示。圖10表明，隨著θ的增加，零售商期望利潤增加而CVaR績效降低。

4.3 不確定性程度對零售商庫存決策及運(yùn)作績效的影響

為了進(jìn)一步考察不同不確定性程度對零售商庫存決策及相應(yīng)的均值-CVaR績效的影響，令參數(shù)α={0.00,0.01,0.02,0.03,0.04,0.05}，同時(shí)固定參數(shù)β=0.15，θ=0.10。其中，α=0等價(jià)于沒有不確定性時(shí)的真實(shí)分布，α越大，表示不確定參數(shù)的波動(dòng)范圍越大，不確定程度越高。遵循4.1節(jié)中計(jì)算過程，獲得零售商魯棒訂貨量、均值-CVaR績效、期望利潤和CVaR績效分別如圖11～圖14所示。可以看出，隨著不確定程度的增加(即α增加)，零售商魯棒訂貨量、均值-CVaR績效、期望利潤和CVaR績效均呈下降趨勢。這是因?yàn)椴淮_定程度的增加使得零售商面臨更大的風(fēng)險(xiǎn)，為規(guī)避供需不確定性帶來的風(fēng)險(xiǎn)，零售商采取更為保守的訂貨策略，從而獲得較低的系統(tǒng)績效。進(jìn)一步，由表3可知，隨著α的增加，魯棒訂貨量用于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效相較于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效，其績效損失比增加。這一結(jié)果表明決策者應(yīng)該提高對不確定性預(yù)測的精度，以降低可能的績效損失。

表3 不同擾動(dòng)系數(shù)α下的零售商庫存績效及損失情況

4.4 風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度β、樂觀系數(shù)θ和擾動(dòng)系數(shù)α對零售商庫存決策運(yùn)作績效的綜合影響

在4.3節(jié)的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步分析不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度β和樂觀系數(shù)θ下，擾動(dòng)系數(shù)α對零售商庫存決策及相應(yīng)的均值-CVaR績效的影響，在參數(shù)β=0.15，θ=0.10以及β=0.50，θ=0.90下進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。兩組參數(shù)中，前者具有較高的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和較低的樂觀系數(shù)，將其定義為保守型零售商；而后者具有較低的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和較高的樂觀系數(shù)，將其定義為開放型零售商。兩組參數(shù)下零售商的訂貨量和均值-CVaR績效如圖15～圖16所示。由圖15可知，擾動(dòng)系數(shù)α的增加對開放型零售商訂貨量的影響小于對保守型零售商訂貨量的影響，即隨著α的增加，β=0.50，θ=0.90下訂貨量的變動(dòng)幅度小于β=0.15，θ=0.10下訂貨量的變動(dòng)幅度。這是因?yàn)橄啾扔诒Ｊ匦土闶凵?，開放型零售商對于不確定性所致風(fēng)險(xiǎn)的敏感性程度較低，因此不確定性程度的變動(dòng)對其訂貨決策的影響較小。

由圖16可知，隨著擾動(dòng)系數(shù)α的增加，開放型零售商的最壞績效(即最壞供需分布下魯棒均值-CVaR績效)與魯棒真實(shí)績效(即魯棒訂貨量用于真實(shí)分布下的均值-CVaR績效)之間的差距顯著增加，而保守型零售商的這一差距較為平穩(wěn)。一方面，開放型零售商傾向于訂購更多產(chǎn)品以獲得較高利潤，從而更容易造成較高訂貨成本和庫存剩余。因此，隨著不確定性程度的增加(即α增加)，開放型零售商所承擔(dān)的市場風(fēng)險(xiǎn)更大，導(dǎo)致其最壞情況系統(tǒng)績效波動(dòng)更大，因此魯棒真實(shí)績效與最壞績效之差較大;另一方面，與開放型零售商相反，保守型零售商已經(jīng)采取較為穩(wěn)健的訂貨策略，因此其最壞情況系統(tǒng)績效在擾動(dòng)系數(shù)α增加時(shí)波動(dòng)較小，從而使魯棒真實(shí)績效與最壞績效之差變化較小。綜合圖16中樂觀型零售商與保守型零售商的績效變化可知，隨著擾動(dòng)系數(shù)α的增加，雖然樂觀型零售商的魯棒績效波動(dòng)比保守型零售商的大，但是兩者的魯棒訂貨量在真實(shí)分布下的績效波動(dòng)均較小。這表明，本文所用求解方法既能保證模型的魯棒性，又能保證魯棒解應(yīng)用于實(shí)際需求時(shí)所獲績效表現(xiàn)良好。

進(jìn)一步，圖17～圖18分別描述了保守型零售商和開放型零售商的期望利潤以及CVaR績效。由圖17和圖18可知，保守型零售商與開放性零售商的期望利潤和CVaR績效均隨著不確定程度α的增加而減少。特別地，由圖17可以看出，對于保守型零售商，隨著不確定程度α的增加，期望利潤的下降程度高于CVaR績效的下降程度。而由圖18發(fā)現(xiàn)，對于開放型零售商，隨著不確定程度α的增加，CVaR績效的下降程度高于期望利潤的下降程度。這是因?yàn)楸Ｊ匦土闶凵虨楂@得更穩(wěn)定的系統(tǒng)績效，賦予CVaR更高的權(quán)重，使條件風(fēng)險(xiǎn)值在決策中起主要作用，因此隨著不確定程度α的增加，CVaR績效下降相對緩慢；而開放型零售商為獲得較高的系統(tǒng)績效，賦予期望利潤更高的權(quán)重，使期望利潤在決策中起主要作用，因而隨著不確定程度α的增加，期望利潤下降相對緩慢。

4.5 管理啟示

針對供需不確定環(huán)境下具有風(fēng)險(xiǎn)厭惡的報(bào)童產(chǎn)品零售商，得到以下管理啟示：

(1)零售商風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越高，越要實(shí)施保守的訂貨策略，但會(huì)導(dǎo)致均值-CVaR績效降低，同時(shí)期望利潤績效和CVaR績效均降低。

(2)零售商樂觀程度越高，越要增加訂貨量以提高均值-CVaR績效，此時(shí)零售商期望利潤會(huì)增加，而CVaR績效降。

(3)供需不確定程度增加，均值-CVaR績效、期望利潤績效和CVaR績效均會(huì)降低，此時(shí)零售商要采取保守的訂貨策略以規(guī)避不確定性風(fēng)險(xiǎn)。

(4)零售商要綜合考慮其風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度與樂觀程度，判斷其風(fēng)險(xiǎn)偏好類型，若為保守型零售商，則要減少訂貨量，以減輕供需不確定帶來的風(fēng)險(xiǎn)，這樣該零售商的最壞情況系統(tǒng)績效在供需不確定性程度增加時(shí)變化較為平穩(wěn)；若為開放型零售商，則可相對增加訂貨量，以提高系統(tǒng)整體績效，但是該零售商的最壞情況系統(tǒng)績效在供需不確定程度增加時(shí)波動(dòng)較大。

5 結(jié)束語

本文針對風(fēng)險(xiǎn)厭惡零售商建立了供應(yīng)和需求概率分布不確定條件下，基于均值-CVaR準(zhǔn)則的零售商庫存魯棒優(yōu)化模型。在給定供給和需求概率分布所隸屬的橢球不確定集基礎(chǔ)上，獲得了魯棒對應(yīng)模型，進(jìn)而采用標(biāo)準(zhǔn)對偶理論將具有非凸非凹屬性的魯棒對應(yīng)模型轉(zhuǎn)換為易于求解的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型。數(shù)值結(jié)果表明：

(1)基于均值-CVaR的零售商庫存績效受到?jīng)Q策者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度和樂觀系數(shù)的影響，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低或者樂觀系數(shù)較高的決策者，更傾向于訂購更多產(chǎn)品來獲得更高的系統(tǒng)績效。

(2)供給與需求概率分布不確定條件下的零售商庫存運(yùn)作績效損失隨著不確定性程度的增加而增加。

(3)對于風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低且樂觀系數(shù)較高的零售商，供給和需求分布不確定性程度的增加對訂貨量影響較小，但績效損失較大。特別地，依據(jù)本文模型所獲得的零售商庫存運(yùn)作策略雖然會(huì)導(dǎo)致一定的績效損失，但相對于已知供需概率分布下的最優(yōu)情況，損失較小，表明文中所建模型具有良好的魯棒性。

未來可進(jìn)一步考慮多周期或多產(chǎn)品環(huán)境下的零售商庫存運(yùn)作問題，或研究供需不確定條件下考慮服務(wù)水平約束的零售商庫存運(yùn)作問題。