蘭永紅，夏君君

(湘潭大學(xué) 自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，湖南 湘潭 411105)

0 引言

在工業(yè)生產(chǎn)的實(shí)際應(yīng)用中，存在著許多周期性的控制任務(wù)，如脈寬調(diào)制(Pulse Width Modulation, PWM)逆變器整流控制[1]、伺服驅(qū)動(dòng)[2]、搬運(yùn)、裝配、噴涂的工業(yè)機(jī)器人以及周期性時(shí)間序列預(yù)測(cè)與控制[3]等。隨著控制精度要求的不斷提高，對(duì)于這類系統(tǒng)的研究具有重要的意義。重復(fù)控制是解決這類周期信號(hào)的跟蹤與干擾抑制的有效方法。

重復(fù)控制器包含一個(gè)正反饋時(shí)滯環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)利用上一周期的誤差信號(hào)，使系統(tǒng)的輸出能夠無靜差地跟蹤系統(tǒng)的輸入。盡管重復(fù)控制最初是在連續(xù)性系統(tǒng)中提出的，但是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，工業(yè)控制過程中通常采用離散模型；此外，利用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)重復(fù)控制器可以利用其強(qiáng)大的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與處理能力，改善系統(tǒng)的性能，故離散系統(tǒng)[4]的重復(fù)控制得到了廣泛的關(guān)注[5]。實(shí)際上，重復(fù)控制器包含兩個(gè)完全不同的行為：一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)控制的行為和各個(gè)周期內(nèi)連續(xù)學(xué)習(xí)的行為[6]。因此，將二維模型的方法引入離散重復(fù)控制系統(tǒng)中更符合離散重復(fù)控制的本質(zhì)[7]。文獻(xiàn)[8]針對(duì)一類不確定線性系統(tǒng)，通過獨(dú)立考慮重復(fù)控制系統(tǒng)兩個(gè)完全不同的行為，提出一種離散魯棒重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的二維模型方法;文獻(xiàn)[9]針對(duì)參數(shù)不確定性的系統(tǒng)，提出了基于二維混合模型的改進(jìn)重復(fù)控制系統(tǒng)的干擾抑制方法。在工業(yè)生產(chǎn)的實(shí)際的過程中，并不是所有被控系統(tǒng)的狀態(tài)可直接測(cè)得。解決這一問題的方法之一是引入狀態(tài)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的重構(gòu)。文獻(xiàn)[10]提出一種基于二維模型的離散觀測(cè)器重復(fù)控制方法，獲得了對(duì)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定與漸近跟蹤的線性矩陣不等式(Linear Matrix Inequality, LMI)條件。

當(dāng)已知未來參考信號(hào)或干擾信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)會(huì)利用這些信息來提高系統(tǒng)的控制性能，該方法即為預(yù)見控制。由于預(yù)見控制利用已知的未來目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào)，能夠改善系統(tǒng)的品質(zhì)，受到了許多學(xué)者的重視[11-12]。文獻(xiàn)[13-15]闡述了預(yù)見控制方法的理論、計(jì)算以及在線性直流無刷電機(jī)、電力轉(zhuǎn)換器、機(jī)械手、機(jī)床，汽車懸架裝置、巡航導(dǎo)彈地形跟蹤控制等控制系統(tǒng)中的應(yīng)用;文獻(xiàn)[16]將H∞控制與預(yù)見控制相結(jié)合，得到了H∞預(yù)見控制的相關(guān)結(jié)果;文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類線性離散時(shí)間系統(tǒng)，提出一種最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)方法;文獻(xiàn)[18]從粒子濾波角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一種無人機(jī)航母自動(dòng)著陸的預(yù)見跟蹤控制的方法。

盡管基于二維模型的離散重復(fù)控制與預(yù)見控制的研究均已取得了很多成果，但是將兩者結(jié)合起來的研究并不多見。受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，為了提高系統(tǒng)的控制精度，本文提出一種基于二維模型的預(yù)見重復(fù)控制方法?？紤]到被控對(duì)象的狀態(tài)不可測(cè)問題，本文還將進(jìn)一步研究基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制問題。

1 預(yù)見重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

離散重復(fù)控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1中重復(fù)控制器的時(shí)域形式為：

(1)

其中：L為時(shí)滯環(huán)節(jié)的延時(shí)時(shí)間，等于參考輸入信號(hào)r(k)的周期；v(k)為離散重復(fù)控制器的輸出；e(k)為系統(tǒng)的誤差信號(hào)，即

e(k)=r(k)-y(k)。

(2)

本文考慮如圖2所示的預(yù)見重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題。圖2中CR(z)為基本重復(fù)控制器;P(z)為一類具有范數(shù)有界不確定性線性離散系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：

x(k+1)=(A+δA)x(k)+(B+δB)u(k),

y(k)=Cx(k)+Du(k)，

(3)

其中：x(k)∈Rn、u(k)∈Rm、y(k)∈Rq分別為控制系統(tǒng)的狀態(tài)、被控輸和系統(tǒng)的輸出；A、B和C分別為具有相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；δA和δB為適當(dāng)維數(shù)的不確定矩陣函數(shù)，表示了系統(tǒng)的不確定性。假定系統(tǒng)的不確性具有如下形式

(4)

ΣΤΣ≤I。

(5)

圖2中，F(xiàn)e，F(xiàn)x以及Fr(s)(s=0,…,Mr)分別為重復(fù)控制器、狀態(tài)反饋控制器以及預(yù)見補(bǔ)償器待定增益。易見本章提出的預(yù)見重復(fù)控制律具有如下形式：

(6)

該制器由3項(xiàng)組成：①基本重復(fù)控制器，用來提高周期之間的學(xué)習(xí)性能；②狀態(tài)反饋控制器，用來提高每個(gè)周期內(nèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；③預(yù)見控制器，利用未來目標(biāo)值進(jìn)行前饋補(bǔ)償，以提高閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤性能。

本文的設(shè)計(jì)目的是設(shè)計(jì)如式(6)的預(yù)見重復(fù)控制器，并給出控制器參數(shù)的具體求解方法，使系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定，并且對(duì)于任意周期的參考輸入，系統(tǒng)的輸出都能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)輸入無靜差的跟蹤，即

(7)

對(duì)目標(biāo)信號(hào)r(k)作如下假設(shè)：

假設(shè)1設(shè)目標(biāo)信號(hào)r(k)周期為L(zhǎng)，且其可預(yù)見步數(shù)為Mr(Mr小于L)，即在當(dāng)前時(shí)刻k，目標(biāo)信號(hào)的當(dāng)前值和Mr步未來值，r(k)、r(k+1)、…、r(k+Mr)為已知。

假設(shè)1是關(guān)于目標(biāo)信號(hào)的預(yù)見性的假設(shè)。值得注意的是，預(yù)見信號(hào)對(duì)控制系統(tǒng)的性能僅在有限步內(nèi)有顯著的影響，當(dāng)距離當(dāng)前時(shí)刻較遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)的影響不大[11,15]。普通的控制系統(tǒng)不利用可預(yù)見目標(biāo)信號(hào)，相當(dāng)于取預(yù)見步數(shù)為零。

對(duì)系統(tǒng)各個(gè)變量，進(jìn)行如下的定義：

Δx(k)=x(k)-x(k-L),

Δy(k)=y(k)-y(k-L),

Δu(k)=u(k)-u(k-L),

Δr(k)=r(k)-r(k-L)。

(8)

將上式代入線性離散系統(tǒng)(3)中，得到如下L階差分系統(tǒng)

Δx(k+1)=(A+δA)Δx(k)+(B+δB)Δu(k),

Δy(k)=CΔx(k)+DΔu(k)。

(9)

為了將目標(biāo)信號(hào)已知的未來信息引入線性離散差分系統(tǒng)(9)，對(duì)參考信號(hào)進(jìn)行提升操作。令

由假設(shè)1可知，目標(biāo)信號(hào)在(k+Mr+1)時(shí)刻之后不可預(yù)見，故Δr(k+Mr+1)=0。從而可得

xr(k+1)=Arxr(k)。

(10)

結(jié)合線性離散差分系統(tǒng)(9)與(10)，得

(11)

其中：

根據(jù)式(4)，不確定性矩陣可以表示為

(12)

其中

此外，由式(2)、和式(9)～式(11)，

e(k)=Δr(k)-CΔx(k)-DΔu(k)+e(k-L)

(13)

令Fr=[Fr(0)Fr(1)…Fr(Mr)],由式(1)、式(6)及xr(k)定義，式(6)可以重寫為

=Fee(k-L)+FxΔx(k)+Frxr(k)

(14)

重復(fù)控制依賴于兩個(gè)獨(dú)立的行為，即一個(gè)周期之內(nèi)的控制過程和控制周期之間的學(xué)習(xí)過程。借鑒文獻(xiàn)[6,8-10],用兩個(gè)變量i,j分別來表示重復(fù)學(xué)習(xí)變量和時(shí)間變量。對(duì)于變量ζ(k)，ζ∈{x,y,u,e,r}，令

ζ(k)=ζ(iL+j)=ζ(i,j),

(15)

進(jìn)一步定義

Δζ(i,j)=ζ(i,j)-ζ(i-1,j)。

(16)

根據(jù)式(16)，式(11)、式(13)、式(14)可以分別改寫為

(17)

(18)

(19)

聯(lián)立式(17)與式(18)，可得如下二維離散系統(tǒng)：

(20)

式(19)可重寫為

(21)

將式(21)代入式(20)，可得

(22)

令

根據(jù)式(12)，可以得到

(23)

其中：

將式(22)重新寫為

(24)

其中：

可見，線性離散系統(tǒng)(3)的預(yù)見重復(fù)控制設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為二維離散系統(tǒng)(24)的穩(wěn)定性問題。下面利用二維離散系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，給出線性離散系統(tǒng)(3)具有形如式(6)的預(yù)見重復(fù)控制器存在條件和控制器參數(shù)求解方法。

(1)S<0;

引理2[20]給定的適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y、U、W，其中Y是對(duì)稱的，則Y+UVM+(UVM)Τ<0對(duì)所有滿足VΤV≤I的矩陣V成立，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε>0，使得Y+εUUT+ε-1WTW<0。

引理3[21]對(duì)于如下的二維系統(tǒng)

(25)

如果存在對(duì)稱正定矩陣P,Q使得

(26)

則二維離散系統(tǒng)(25)漸近穩(wěn)定，其中：

定理1對(duì)于二維離散系統(tǒng)(24)，若假設(shè)1成立，如果存在常數(shù)ε>0，對(duì)稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使LMI

(27)

則二維離散系統(tǒng)(24)漸近穩(wěn)定，且K=NY-1。

證明根據(jù)引理1，引理3中不等式(26)等價(jià)于

(28)

(29)

將式(29)兩邊同時(shí)乘以diag{P-1,P-1,P-1}，并令Y=P-1,Z=P-1QP-1,N=KP-1，則有

(30)

令

上述不等式(30)等價(jià)于

(31)

根據(jù)引理2，對(duì)于所有滿足式(5)的矩陣Σ，不等式(31)等價(jià)于式(32)，其中ε>0。對(duì)式(32)應(yīng)用引理1，即可得式(27)，證畢。

ε-1[G1Y+G2N0 0]Τ[G1Y+G2N0 0]<0。

(32)

推論1對(duì)于線性離散系統(tǒng)(3)，若假設(shè)1成立，如果存在常數(shù)ε>0，對(duì)稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使LMI(27)成立，則線性離散系統(tǒng)(3)在預(yù)見重復(fù)控制器(6)作用下漸近穩(wěn)定，且

[FxFr(0)Fr(1)…Fr(Mr)Fe]=NY-1。

推論1給出了線性離散系統(tǒng)(3)基于LMI的預(yù)見重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方法，但預(yù)見步數(shù)的選取仍然是一個(gè)值得深入研究的問題。文獻(xiàn)[22]提出一種可行的參考方法，即利用性能指標(biāo)函數(shù)值的變化來選取合適的預(yù)見步數(shù)。具體地，可以定義性能指標(biāo)

然后給定對(duì)比度ξ(一般取0.001)，如果J(Mr+1)-J(Mr)<ξ，則取預(yù)見步數(shù)為Mr。

2 基于狀態(tài)觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制器設(shè)計(jì)

考慮到控制系統(tǒng)的狀態(tài)不可測(cè)，本章引入狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)不可測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)，給出線性離散系統(tǒng)(3)基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方法。

對(duì)線性離散系統(tǒng)(3)，構(gòu)造如下形式的狀態(tài)觀測(cè)器

(33)

其中Lo為觀測(cè)器待定增益矩陣。

基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3所示。易見，本章提出的基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制器具有如下形式：

(34)

式(32)和式(34)的二維形式分別為

(35)

(36)

eo(i,j+1)=(A+δA-LoC)eo(i,j)+

(37)

根據(jù)式(4)，可得

其中

同樣，系統(tǒng)誤差方程可寫為

e(i,j)=e(i-1,j)+Δr(i,j)-CΔx(i,j)-

DΔu(i,j)

-DΔu(i,j)

(38)

另一方面，由式(36)，可得

(39)

令For=[For(0)For(1)…For(Mr)]，則

(40)

其中Kox=[Fox0For];Koe=Foe。

因此，基于狀態(tài)觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)器設(shè)計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化為如下二維離散系統(tǒng)

(41)

在狀態(tài)反饋控制器(40)作用下的穩(wěn)定性問題。

將式(40)代入式(41)，有

(42)

其中：

任意矩陣Π有結(jié)構(gòu)奇異值分解

Π=U[S0]VΤ，

(43)

式中：S為半正定矩陣;U、V為酉矩陣。

(44)

其中：V同式(43)中Π的奇異值分解酉矩陣;X11∈Rp×p;X22∈R(n-p)×(n-p)。

(45)

其中：

Y=diag{Y1,Y2,Y3,Y4}，

Z=diag{Z1,Z2,Z3,Z4},

則二維離散系統(tǒng)(42)漸近穩(wěn)定，且

(46)

(47)

證明類似定理1的證明過程，如果

(48)

其中：

則二維離散系統(tǒng)(42)漸近穩(wěn)定。注意到：

(49)

推論2若假設(shè)1成立且線性離散系統(tǒng)(3)具有形如(32)的狀態(tài)觀測(cè)器，并存在常數(shù)ε>0，對(duì)稱正定矩陣Y,Z以及合適維數(shù)矩陣N，使矩陣不等式(45)成立，則線性離散系統(tǒng)(3)在基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制器(33)作用下漸近穩(wěn)定，且

(50)

(51)

3 數(shù)值仿真

以LX800 12V/24V永磁同步直線電機(jī)為例，電機(jī)的電磁推力方程和運(yùn)動(dòng)方程分別為：

系統(tǒng)的輸出方程定義為

y(t)=[1 1]x(t)+1.50u(t)。

選取電機(jī)參數(shù)[24]：

Kf=9.60 N/A。

取采樣周期T=0.01 s，可得形如式(3)的線性離散系統(tǒng)，且系統(tǒng)矩陣參數(shù)為：

C=[1 1],D=1.50。

取不確定性矩陣為：

目標(biāo)信號(hào)為

取預(yù)見步數(shù)為Mr=3、Mr=10、Mr=15，應(yīng)用推論1，可分別求得控制器增益。Mr=3時(shí)，F(xiàn)x=[-0.648 8 -0.653 1],Fe=0.586 5，F(xiàn)r=[0.610 0

0.000 4 0.000 5 0.000 5]；Mr=10時(shí)，F(xiàn)x=[-0.651 1 -0.652 3],Fe=0.579 0，F(xiàn)r=[0.618 8 0.000 3 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 6 0.000 06 0.000 06];Mr=15時(shí)，F(xiàn)x=[-0.651 1 -0.650 3],Fe=0.579 9，F(xiàn)r=[0.621 6 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 6 0.000 6 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 5 0.000 6 0.000 6 0.000 06 0.000 06 0.000 06 0.000 06]。

系統(tǒng)仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。由兩圖可知，不同預(yù)見步數(shù)情形下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)均能準(zhǔn)確地跟蹤目標(biāo)信號(hào)，且隨著預(yù)見步數(shù)的增加，系統(tǒng)誤差最大峰值逐漸減小。

圖6～圖7所示為基于狀態(tài)觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制仿真結(jié)果。由兩圖可知，不同預(yù)見步數(shù)情形下，基于狀態(tài)觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制均能使系統(tǒng)輸出快速跟蹤系統(tǒng)的目標(biāo)信號(hào)，且控制效果與直接實(shí)現(xiàn)的預(yù)見控制非常接近，顯示出良好的跟蹤性能。

為便于比較，圖8給出了控制系統(tǒng)在無預(yù)見補(bǔ)償?shù)闹貜?fù)控制(即Mr=0，文獻(xiàn)[8]的方法)、預(yù)見重復(fù)控制(Mr=10)以及基于狀態(tài)觀測(cè)器預(yù)見重復(fù)控制(Mr=10)作用下，系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線。表1所示為上述不同控制方法下的性能比較。由圖8和表1可知，引入預(yù)見補(bǔ)償后，控制系統(tǒng)的跟蹤性能明顯優(yōu)于無預(yù)見補(bǔ)償?shù)闹貜?fù)控制系統(tǒng)。

表1 不同控制方法的性能比較

4 結(jié)束語

針對(duì)一類不確定線性離散系統(tǒng)，本文提出一種基于二維模型的預(yù)見重復(fù)控制器的設(shè)計(jì)方法。為提高控制系統(tǒng)的跟蹤性能，將可預(yù)見目標(biāo)信號(hào)引入重復(fù)控制器，并將預(yù)見重復(fù)控制器的設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為二維離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題?；诙S離散系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，并借助LMI處理技巧，獲得了預(yù)見重復(fù)控制器的存在條件及控制器參數(shù)求解方法。進(jìn)一步，將所得結(jié)果推廣至基于觀測(cè)器的預(yù)見重復(fù)控制情形，通過永磁同步直線電機(jī)跟蹤仿真結(jié)果，驗(yàn)證了所提方法的有效性。下一步，將深入研究連續(xù)系統(tǒng)的預(yù)見重復(fù)控制及其參數(shù)優(yōu)化問題。