湖北 胡衛(wèi)雄

一、問題的提出

本文中所說的“三線”是指電場線、等勢線(面)和帶電粒子在電場中的運動軌跡。

“三線”問題往往將電場線、等勢線(面)和粒子運動的軌跡相結(jié)合，考查學(xué)生應(yīng)用靜電場知識(電場強度、電場線、靜電力、靜電力做功、電勢能、電勢、電勢差、等勢面等)和力學(xué)知識(牛頓運動定律、動力學(xué)關(guān)系、功能關(guān)系、能量守恒定律等)綜合分析問題的能力。考查電場、靜電力、電勢能等物理觀念，點電荷、電場等物理模型，進(jìn)行科學(xué)推理的科學(xué)思維以及嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度等核心素養(yǎng)，常以選擇題形式出現(xiàn)。

二、問題解決的解題策略

“三線”問題往往設(shè)置以“三線”為載體的問題情境，要求在理解“三線”特征的基礎(chǔ)上，按照以下“一二三四五”策略依次展開對問題的綜合分析：

1.選擇一個交點：在電場線和運動軌跡問題中，選擇電場線和運動軌跡的一個交點位置去分析；在等勢線(面)和運動軌跡問題中，選擇等勢線(面)和運動軌跡的一個交點位置展開分析。

2.抓住兩個關(guān)鍵：確定速度方向和靜電力方向是解決問題的兩個關(guān)鍵，需要畫出“速度方向線”(運動軌跡在交點位置的切線)與“靜電力方向線”(在交點位置電場線的切線方向，指向軌跡的凹側(cè))。

3.確定三個要素：在“三線”問題中電荷的正負(fù)、電場線的方向，電荷運動方向，是題目中相互制約的三個要素。如三個要素不明確的，則要用“假設(shè)法”分別討論各種情況。

4.掌握四類方法：要根據(jù)加速度大小的判斷方法、速度大小的判斷方法、靜電力做功正負(fù)的判斷方法、電勢能增減與電勢高低的判斷方法等四種方法對常見的問題做出判斷。

5.明確五組關(guān)系：分析“三線”問題要明確以下五組關(guān)系，即

(1)電荷電性、電場強度方向、靜電力方向的關(guān)系

正電荷受到的靜電力方向與電場強度方向相同；負(fù)電荷受到的靜電力方向與電場強度方向相反。

(2)電荷電性、電勢、電勢能的關(guān)系

正電荷在電勢高的位置電勢能大，在電勢低的位置電勢能??；負(fù)電荷在電勢高的位置電勢能小，在電勢低的位置電勢能大。

(3)電場線和等勢面關(guān)系

等勢面一定與電場線垂直，電場線方向總是從電勢高的的等勢面指向電勢低的等勢面；等差等勢面越密的地方電場強度越大，反之越小。

(4)力與運動關(guān)系

帶電粒子做曲線運動，則所受合力(往往僅為靜電力)應(yīng)指向軌跡曲線的凹側(cè)，軌跡夾在力和速度方向之間。

(5)做功和能量轉(zhuǎn)化關(guān)系

靜電力做功與電勢能變化的關(guān)系，合力做功與動能變化的關(guān)系。

三、問題設(shè)置的途徑

“三線”問題的設(shè)置主要有三類情境，每類情境又可分非典型電場和典型電場兩種情形。在非典型電場中，在電荷電性、運動軌跡方向、電場線方向均未知的情況下，往往需要分情況討論，先假設(shè)其中一種情況再依次分析。在典型電場中，根據(jù)典型電場的特點，可以推測電場的場強、電勢和場源電荷的相關(guān)信息。

1.電場線和帶電粒子的軌跡問題

(1)非典型電場

【例1】如圖1所示，實線表示某電場的電場線(方向未標(biāo)出)，虛線是一帶負(fù)電的粒子只在電場力作用下的運動軌跡，設(shè)M點和N點的電勢分別為φM、φN，粒子在M和N時加速度大小分別為aM、aN，速度大小分別為vM、vN，電勢能分別為EpM、EpN。下列判斷正確的是

( )

A.vM

C.φM<φN，EpM

圖1

【分析】先選擇帶電粒子的軌跡和電場線的一個交點如圖2所示，因不知道運動軌跡的方向這個要素，需要用假設(shè)法討論從M到N或從N到M兩種情況，確定如圖2和3所示的兩種情況下的速度方向和受到的合力方向，應(yīng)用動力學(xué)關(guān)系、功能關(guān)系可判斷，從M到N，速度、動能減小，從N到M，速度、動能增大，結(jié)果都是M點的動能、速度比N點的動能、速度大。結(jié)合能量守恒定律可知M點比N點的電勢能小。再依據(jù)電荷電性、電勢、電勢能的關(guān)系判斷M、N點的電勢高低。由N、M處電場線的疏密判斷電場強度的大小，比較靜電力的大小，再由牛頓第二定律得到加速度大小關(guān)系。

圖2

【解析】N點的電場線比M點的電場線更密集，所以電場強度更大，靜電力更大，粒子的加速度也更大，aN>aM。若粒子從M運動到N，如圖2所示，根據(jù)動力學(xué)關(guān)系，帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)，可知在該點的電場力方向和速度方向成鈍角，故電場力做負(fù)功，電勢能增大，動能減小，即vM>vN，EpMφN；若粒子從N運動到M，如圖3所示，則根據(jù)帶電粒子所受電場力指向軌跡彎曲的內(nèi)側(cè)，可知在某點的電場力方向和速度方向成銳角，故電場力做正功，電勢能減小，動能增大，即vM>vN，EpMφN；綜上所述，選項D正確。

(2)典型電場

【例2】如圖4所示，在點電荷Q產(chǎn)生的電場中，實線MN是一條方向未標(biāo)出的電場線，虛線AB是一個電子只在靜電力作用下的運動軌跡。設(shè)電子在A、B兩點的加速度大小分別為aA、aB，電勢能分別為EpA、EpB。下列說法正確的是

( )

A.電子一定從A向B運動

B.若aA>aB，則Q靠近M端且為正電荷

C.無論Q為正電荷還是負(fù)電荷一定有EpA

D.B點電勢可能高于A點電勢

圖4

【分析】根據(jù)曲線運動的動力學(xué)關(guān)系確定交點處靜電力的方向向左(如圖5所示)，因為電子帶負(fù)電，再根據(jù)電荷電性、靜電力方向和電場強度方向關(guān)系確定電場線的方向向右。本題的關(guān)鍵是題目給出的是典型的點電荷電場，再結(jié)合點電荷的場強方向大小分布特點判斷，如果場源電荷帶正電，則應(yīng)靠近M端，且從M到N電場強度變小，如果場源電荷帶負(fù)電，則應(yīng)靠近N端，且從M到N電場強度變大。運動軌跡的方向不明確，可用假設(shè)法討論電子從A到B或從B到A的兩種可能，均可符合題意，因而是不確定的。

圖5

【解析】由于運動路徑的方向不知，因此速度方向也不能確定，由所知條件無法判斷電子的運動方向，故選項A錯誤；電子在電場中做曲線運動，虛線AB是電子只在靜電力作用下的運動軌跡，電場力沿電場線指向曲線的凹側(cè)，所以電子受到的靜電力方向向左，電場強度方向向右，電場線方向向右，若aA>aB，說明電子在M點受到的電場力較大，M點的電場強度較大，根據(jù)點電荷的電場分布可知，靠近M端為場源電荷的位置，應(yīng)帶正電，故選項B正確；無論Q為正電荷還是負(fù)電荷，沿電場線方向電勢降低，一定有電勢φA>φB，電子電勢能Ep=-eφ，電勢能是標(biāo)量，所以一定有EpA

2.等勢面和帶電粒子的軌跡問題

解答該類問題，可以先根據(jù)等勢面與電場線互相垂直，由已知的等勢面畫出對應(yīng)的電場線，將等勢面和帶電粒子的運動軌跡問題轉(zhuǎn)化為電場線和帶電粒子的運動軌跡問題。

(1)非典型電場

【例3】如圖6所示，虛線a、b、c表示電場中的三個等勢面與紙平面的交線，且相鄰等勢面之間的電勢差相等。實線為一帶正電荷的粒子僅在電場力作用下通過該區(qū)域時的運動軌跡，M、N是這條軌跡上的兩點，則下列說法中正確的是

( )

圖6

A.三個等勢面中，a的電勢最高

B.對于M、N兩點，通過M點時電勢能較大

C.對于M、N兩點，通過M點時動能較大

D.帶電粒子由M運動到N時，加速度增大

【分析】首先根據(jù)等勢面和電場線垂直的關(guān)系，畫出運動軌跡和等勢面b的交點的電場線，將等勢面、運動軌跡問題轉(zhuǎn)化為如圖7所示的電場線、運動軌跡問題。確定交點處的靜電力方向和兩個可能的速度方向，因為粒子帶正電，可判斷電場強度的方向如圖8所示，根據(jù)電荷電性、電勢高低、電勢能大小的關(guān)系判斷M點和N點電勢能的大小，再依據(jù)能量守恒定律比較M點和N點的動能的大小，根據(jù)等勢面的密集程度與電場強度的大小關(guān)系判斷N點的電場強度比M點大。

圖7

圖8

【解析】畫出運動軌跡與b等勢線的交點處的一條電場線，由于帶電粒子做曲線運動，所受電場力的方向必定指向軌道的凹側(cè)，且和等勢面垂直、電場線相切，因為電荷為正，所以電場線方向是由c指向b再指向a如圖8所示。根據(jù)電場線的方向指向電勢降低的方向，故φc>φb>φa，選項A錯。正電荷在電勢高處電勢能大，M點的電勢比N點電勢低，故粒子在M點電勢能小，選項B錯。根據(jù)能量守恒定律，電荷的動能和電勢能之和保持不變，故粒子在M點的動能較大，選項C正確。由于相鄰等勢面之間電勢差相等，因N點等勢面較密，則EN>EM，即qEN>qEM。由牛頓第二定律知，帶電粒子從M點運動到N點時，加速度增大，選項D正確。

(2)典型電場

【例4】如圖9所示，一帶電粒子在兩個固定的等量正電荷的電場中運動，圖中的實線為等勢面，虛線ABC為粒子的運動軌跡，其中B點是兩點電荷連線的中點，A、C位于同一等勢面上。下列說法正確的是

( )

圖9

A.該粒子可能帶正電

B.該粒子經(jīng)過B點時的速度最大

C.該粒子經(jīng)過B點時的加速度一定為零

D.該粒子在B點的電勢能小于在A點的電勢能

【分析】由圖9所示的典型的等量同種正電荷等勢面分布特點可知，從A到B點電勢是先增加再降低，A點的電勢低于B點的電勢。等量同種正電荷的連線的中點B點電場強度為零。另外，由曲線運動的動力學(xué)關(guān)系可知，帶電粒子在等勢面和運動軌跡的交點A處受到的靜電力方向指向軌跡內(nèi)側(cè)，所以帶電粒子帶負(fù)電。

【解析】從該帶電粒子的運動軌跡判斷靜電力方向，由固定電荷帶正電可知，該粒子一定帶負(fù)電，故選項A錯誤；根據(jù)等量同種正電荷電勢分布特點，因為粒子從A運動到B的過程中，電勢先升高后降低，又該粒子帶負(fù)電，所以電勢能先減小后增加，根據(jù)能量守恒定律知，動能先增加后減小，故B點的動能不是最大，則經(jīng)過B點時的速度不是最大，故選項B錯誤；B點是兩點電荷連線的中點，合場強為零，故粒子受力為零，則加速度為零，故選項C正確；因為離正電荷越遠(yuǎn)，電勢越低，即φA<φB，因粒子帶負(fù)電，由Ep=φq得，EpA>EpB，故選項D正確。

3.“等勢(線)面”問題——電場線和等勢線(面)問題

這類問題一般設(shè)置典型電場的等勢線(面)情景。根據(jù)等勢面和電場線的關(guān)系，畫出相對應(yīng)的電場線，把此類問題轉(zhuǎn)化成電場線和等勢面(線)問題。在分析中要注意典型電場的電場強度和電勢分布特點，依據(jù)動力學(xué)關(guān)系畫出運動軌跡。

【例5】兩個固定的等量異號點電荷所產(chǎn)生電場的等勢面如圖10中虛線所示，一帶負(fù)電的粒子以某一速度從圖10中A點沿圖示方向進(jìn)入電場在紙面內(nèi)飛行，最后離開電場，粒子只受靜電力作用，則粒子

( )

A.做直線運動，電勢能先變小后變大

B.做直線運動，電勢能先變大后變小

C.做曲線運動，電勢能先變小后變大

D.做曲線運動，電勢能先變大后變小

圖10

【分析】先根據(jù)題目給定的典型電場——等量異號點電荷的電場等勢面畫出該電場的電場線如圖11所示，粒子帶負(fù)電，所以靜電力方向與電場強度方向相反，依據(jù)力與運動的關(guān)系定性的畫出帶電粒子的運動軌跡如圖11所示，可知粒子在運動過程中電勢先升高后降低，再依據(jù)電荷電性、電勢、電勢能的關(guān)系判斷電勢能的變化。

圖11

【解析】兩固定的等量異號點電荷的電場分布如圖11所示。帶負(fù)電的粒子以速度v進(jìn)入電場后，電場力的方向與v的方向不在一條直線上，故帶負(fù)電的粒子做曲線運動，運動軌跡如圖11所示，故選項AB錯誤。帶負(fù)電的粒子先由低電勢面運動到高電勢面，然后由高電勢面運動到低電勢面，所以電勢能先減小后增大，故選項C正確，選項D錯誤。

【例6】(2018年全國卷Ⅰ)圖12中虛線a、b、c、d、f代表勻強電場內(nèi)間距相等的一組等勢面，已知平面b上的電勢為2 V。一電子經(jīng)過a時的動能為10 eV，從a到d的過程中克服電場力所做的功為6 eV。下列說法正確的是

( )

A.平面c上的電勢為零

B.該電子可能到達(dá)不了平面f

C.該電子經(jīng)過平面d時，其電勢能為4 eV

D.該電子經(jīng)過平面b時的速率是經(jīng)過d時的2倍

圖12

圖13

【解析】勻強電場中等勢面間距相等，相鄰等勢面之間的電勢差相等。電子從a到d的過程中克服電場力做功為6 eV，電場方向水平向右，畫出電場線，Uad=6 V，又b等勢面電勢為2 V，所以c等勢面電勢為零，a等勢面電勢為4 V，d等勢面電勢為-2 V，電子經(jīng)過平面d時，其電勢能為2 eV，選項A正確，選項C錯誤。題目沒有給出電子運動的初速度方向，所以運動軌跡不能判斷，有可能到達(dá)不了平面f，選項B正確，根據(jù)動能定理，電子經(jīng)過平面b時，動能為8 eV，電子經(jīng)過平面d時，動能為4 eV，該電子經(jīng)過平面b時的動能是經(jīng)過d時動能的2倍，故選項D錯誤。