云南 唐明超

解三角形是高考數(shù)學(xué)的重點和熱點，試題往往聚焦三角形的三邊與三角這六個基本元素，以邊角關(guān)系或是面積關(guān)系為背景考查正弦定理與余弦定理，突出考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).雖然解三角形所考查的核心知識點都較為熟悉，也容易掌握解三角形的基本思路及一般方法，但是在處理三角形的面積、邊或角的取值范圍等問題時往往存在困難，不能做到準(zhǔn)確求解，即使最終能夠得出正確答案也需要大量的時間去完成復(fù)雜的推理與運算，不能夠高效地解決問題.原因是沒有充分挖掘問題的幾何背景導(dǎo)致對幾何性質(zhì)的運用不能恰到好處，只能依賴于復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算與推理過程且費時費力.文章重點闡述解三角形問題中常見的幾何背景，分析挖掘幾何背景的基本策略，做到準(zhǔn)確識別命題意圖，找準(zhǔn)命題出發(fā)點，挖掘問題本質(zhì)，用好幾何性質(zhì)解決一類三角形基本量的取值范圍問題.

類型1 借助三角形的外接圓解決面積的最值問題

例1(2014·全國卷Ⅰ理·16)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為________.

解法評析：試題屬于常規(guī)的解三角形問題，已知三角形的邊角關(guān)系，要求靈活選用正弦定理或余弦定理將三角形的邊角關(guān)系進行轉(zhuǎn)化與化歸，進而求解三角形的基本量.在運算過程中既用到了正弦定理和余弦定理，還用到了基本不等式，這些都是解決三角形問題的核心知識點.但是整個解題過程較復(fù)雜，難免有小題大做的嫌疑，這是完全依賴于代數(shù)運算的不足之處.如能認(rèn)真思考問題背后所隱藏的幾何特征，充分挖掘幾何背景，實現(xiàn)以形助數(shù)，便可輕松破解該問題.

解法評析：幾何法充分利用了問題背后所隱藏的外接圓這一背景，將復(fù)雜的代數(shù)運算進行優(yōu)化，只需要直接觀察圖形中動點的變化情況，根據(jù)幾何關(guān)系直觀判斷，以形助數(shù)，則可快速得出結(jié)果.法2明顯優(yōu)于法1，解題效率也更高，掌握該方法對于發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)更為有利，這也真正體現(xiàn)了試題的育人價值.

類型2 以阿波羅尼斯圓為背景的三角形面積問題

解析：試題中的邊角關(guān)系明確，可以借助余弦定理得出三角形一個內(nèi)角的余弦值的表達式，進而利用三角恒等變換得出其正弦值的表達式，再用面積公式得出三角形面積的表達式，最后將面積看成是邊長的函數(shù)并利用函數(shù)的單調(diào)性得出三角形面積的最大值，具體解答過程如下.

解法評析：基于余弦定理與面積公式實現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，再借助三角恒等變換與函數(shù)的單調(diào)性進行解答雖然屬于常規(guī)解法，具有起點低、容易入手等特點，但是運算過程較復(fù)雜，對數(shù)學(xué)運算能力要求較高，解題所需時間較長，不是較優(yōu)解法，需要改進.

解法評析：充分挖掘問題背后隱藏的幾何特征，將數(shù)量關(guān)系幾何化，給數(shù)量關(guān)系找到恰當(dāng)?shù)膸缀屋d體，可以化抽象為直觀，化難為易，有效降低運算難度，快速解決問題.阿波羅尼斯圓是一個聯(lián)系數(shù)量關(guān)系與幾何特征的典范，也是數(shù)學(xué)史上的一個重大發(fā)現(xiàn)，借助阿波羅尼斯圓解決三角形面積的最值問題對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)具有重要意義，也有利于學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化，掌握知識的發(fā)生與發(fā)展邏輯.

類型3 以四邊形外接圓為背景的解三角形問題

(1)求DC；

解析：試題所呈現(xiàn)的是有一條公共邊的兩個三角形復(fù)合而成的四邊形問題，本質(zhì)還是解三角形，靈活用好正弦定理與余弦定理可以完成對該題的解答，這也是解三角形的常規(guī)思路和一般方法.

解法評析：常規(guī)解法的特點是容易入手，起點較低，但是要能順利解決問題往往需要通過復(fù)雜的推理與運算過程，而且在運算的過程中容易出現(xiàn)錯誤.本題的關(guān)鍵是四邊形內(nèi)角B與角D互補，而且∠BAC=45°，∠DAC=60°均屬于特殊角，如能基于該條件大膽猜想公共邊是該四邊形外接圓的直徑，解答過程將會更加簡潔，具體解答過程如下.

類型4 以橢圓為背景的解三角形問題

例4在△ABC中，a,b,c分別為三個內(nèi)角A,B,C的對邊，已知a+c=2b，則角B的取值范圍為________.

解法評析：沒有經(jīng)過復(fù)雜的推理運算便可得出正確答案，這就是挖掘并用好幾何性質(zhì)的重要價值，這與命題者的構(gòu)題思路不謀而合，所以準(zhǔn)確識別命題者的命題意圖，挖掘命題的出發(fā)點以及試題背后的幾何關(guān)系是解決問題的最佳途徑.

學(xué)必有法而學(xué)無定法，重難點問題的突破絕不能單一地依靠重復(fù)的解題訓(xùn)練來完成，還需要嘗試挖掘問題的本質(zhì)屬性，基于已有知識經(jīng)驗尋找知識點之間的邏輯聯(lián)系，揣測命題意圖以及探究試題背后所隱藏的數(shù)學(xué)本質(zhì)，盡可能地契合命題者的思想，在解決問題的過程中實現(xiàn)知識與能力的雙重提升.數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要意義.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程關(guān)鍵在于悟，要學(xué)會感悟知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，體會知識間的邏輯聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系，最終達到能綜合運用所學(xué)知識高效解決實際問題的目的.這也正是新課標(biāo)中要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界的具體要求.以形助數(shù)，以數(shù)輔形是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性，學(xué)會挖掘變化的問題背后所隱藏的不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù).這不僅可以提高解題效率，更重要的是能更好地提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，形成適應(yīng)社會發(fā)展所必需的關(guān)鍵能力和必備品格.