代小林， 宋世杰， 宮大為

(1. 電子科技大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，四川 成都 611731；2. 電子科技大學(xué) 機(jī)器人中心，四川 成都 611731)

六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載力強(qiáng)、動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能好等優(yōu)點(diǎn)，常用于飛行器模擬、六維力傳感器及醫(yī)療輔助裝置中[1-3]。六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)，各支腿通道之間存在強(qiáng)時(shí)變耦合，影響了該機(jī)構(gòu)的控制精度及應(yīng)用推廣[4-5]。針對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制中存在的耦合問題，學(xué)者取得了一些研究成果，段寶巖等[6]設(shè)計(jì)了一種交互式比例-積分-微分監(jiān)督控制器，該方法通過引入目標(biāo)跟蹤預(yù)測算法實(shí)現(xiàn)了解耦；Niu[7]針對(duì)六自由并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)前饋力解耦控制研究；王立平等[8]對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的慣量耦合特性進(jìn)行了研究；姜洪州等[9]以Stewart平臺(tái)為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了一種模態(tài)動(dòng)壓反饋解耦控制策略；沈剛等[10]提出了一種基于逆模型前饋補(bǔ)償?shù)慕怦羁刂撇呗?，該方法通過將傳遞函數(shù)矩陣對(duì)角化實(shí)現(xiàn)了解耦；Gizatullin等[11]提出了一種自適應(yīng)解耦控制方法，該方法將耦合力視為干擾力進(jìn)行補(bǔ)償來降低各自由度之間的耦合；Plummer等[12]針對(duì)飛行模擬器的控制提出了模態(tài)解耦控制策略；Lian等[13]設(shè)計(jì)了一種自組織模糊徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)耦合進(jìn)行補(bǔ)償。

本文以Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對(duì)象，建立Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間下的動(dòng)力學(xué)方程和振動(dòng)模型，推導(dǎo)其模態(tài)解耦矩陣并分析各自由度間的耦合特性，基于模態(tài)空間設(shè)計(jì)了計(jì)算力矩控制器并進(jìn)行了仿真研究。

1 動(dòng)力學(xué)建模及模態(tài)分析

本文所研究的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)為Stewart型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，簡圖如圖1所示。下平臺(tái)一般固連在地面上，又稱作靜平臺(tái)；上平臺(tái)一般用作運(yùn)動(dòng)模擬，又稱作動(dòng)平臺(tái)；動(dòng)、靜平臺(tái)之間有6條驅(qū)動(dòng)支腿，驅(qū)動(dòng)支腿的2端分別與動(dòng)、靜平臺(tái)鉸接，連接處分別稱作上、下鉸點(diǎn)；坐標(biāo)系A(chǔ)和坐標(biāo)系B分別為系統(tǒng)的動(dòng)、靜坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)分別為上、下鉸點(diǎn)圓的中心，各坐標(biāo)軸的方向如圖1所示。

圖1 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Stewart parallel mechanism structure

1.1 動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)的分析，利用牛頓—?dú)W拉法建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度空間下的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

在式(1)的基礎(chǔ)上可以推導(dǎo)出Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)空間動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

式中：Ml(l)為關(guān)節(jié)空間質(zhì)量陣：

Ml(l)=J-1TM0(q)J-1

(3)

(4)

Gl=J-1TGq

(5)

其中，科氏力/向心力項(xiàng)一般較小忽略不計(jì)，因此系統(tǒng)關(guān)節(jié)空間下的自由度方程可以簡化為：

(6)

1.2 模態(tài)分析

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以等效為一個(gè)六自由度振動(dòng)系統(tǒng)，各個(gè)支腿可以等效為線性彈簧，彈簧的2端分別連接系統(tǒng)的動(dòng)、靜平臺(tái)，該振動(dòng)系統(tǒng)的示意圖如圖2所示。

圖2 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)模型Fig.2 Stewart parallel mechanism vibration model

可以采用模態(tài)理論對(duì)其進(jìn)行特征分析，求出系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，包括系統(tǒng)的模態(tài)頻率、模態(tài)振型等。

忽略式(2)中的重力、科氏力和離心力，可得系統(tǒng)外部激勵(lì)下的響應(yīng)方程[14]：

(7)

將每個(gè)支腿等效為彈簧系統(tǒng)，則有：

f=-Kll

(8)

式中：Kl=diag(k1，k2，…，ki，…，k6)為關(guān)節(jié)空間剛度陣，ki是第i條支腿的剛度，各個(gè)支腿的剛度近似相等，即ki=kh。

根據(jù)式(7)和式(8)得到Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間中的無阻尼自由振動(dòng)方程：

(9)

式中：關(guān)節(jié)空間質(zhì)量陣Ml對(duì)稱正定矩陣；剛度矩陣Kl為對(duì)角矩陣，則矩陣ML-1K為對(duì)稱正定，對(duì)其進(jìn)行特征值分解：

(10)

根據(jù)模態(tài)向量的正交性，可以對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行模態(tài)變換，給式(9)的兩端同時(shí)左乘UT，可以得到系統(tǒng)模態(tài)空間下的振動(dòng)方程：

(11)

由式(11)可知，模態(tài)空間下的Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)振動(dòng)方程各模態(tài)自由度之間相互獨(dú)立。因此在模態(tài)空間下，系統(tǒng)可以等效為6個(gè)獨(dú)立的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，每個(gè)模態(tài)自由度的振動(dòng)方程為：

(12)

2 模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器設(shè)計(jì)

計(jì)算力矩控制方法(computed torque control，CTC)，又稱為逆動(dòng)力學(xué)法，是機(jī)器人領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的基于模型的一種控制方法。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，計(jì)算力矩控制通常在各支腿上采用類似于比例-微分控制的控制策略，并引入非線性補(bǔ)償項(xiàng)對(duì)重力和科氏力進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償[15]。

2.1 關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)耦合特性分析

Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的關(guān)節(jié)空間的計(jì)算力矩控制律為[16]：

(13)

對(duì)式(13)進(jìn)行拉氏變換有：

(14)

由于關(guān)節(jié)空間的固有特性，質(zhì)量矩陣Ml(l)為非對(duì)角矩陣或非對(duì)角占優(yōu)矩陣，即使反饋增益矩陣Kp和Kv為對(duì)角矩陣，計(jì)算力矩控制系統(tǒng)依然為一個(gè)各控制通道之間相互耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)，反饋增益矩陣的對(duì)角線元素值的改變，都會(huì)對(duì)其他控制通道產(chǎn)生影響。因此，傳統(tǒng)的關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制器的參數(shù)難以整定，控制器的性能也難以提高。

關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩的控制器的系統(tǒng)誤差方程為：

(15)

由式(15)可知，不同的Kv和Kp的值代表著不同性能的閉環(huán)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)誤差e的收斂性與收斂速度是由反饋增益矩陣Kv和Kp決定的。而反饋增益矩陣Kv和Kp均為6×6的矩陣，因此系統(tǒng)需要調(diào)節(jié)的參數(shù)個(gè)數(shù)為72個(gè)。

因此，關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制器存在以下2個(gè)缺陷：1)系統(tǒng)為一個(gè)各控制通道相互耦合的多輸入多輸出系統(tǒng)；2)控制器中需要調(diào)節(jié)的參數(shù)過多。這2個(gè)缺陷使得關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制器的參數(shù)難以整定，控制器性能的提升受到限制。

2.2 模態(tài)空間計(jì)算力矩控制方法

為了消除各控制回路之間的相互影響，將模態(tài)理論引入到計(jì)算力矩控制方法中，達(dá)到降低系統(tǒng)的控制難度和提高系統(tǒng)控制性能的目的。

根據(jù)式(10)和式(14)將關(guān)節(jié)空間下的系統(tǒng)輸入方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)空間下，實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)系的變換,模態(tài)空間計(jì)算力矩的控制律為：

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行拉氏變換有：

(17)

(18)

由式(18)可知，模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器可以等效為6個(gè)相互獨(dú)立的子控制器，各個(gè)子控制器獨(dú)立控制一個(gè)模態(tài)通道。系統(tǒng)各控制通道之間相互獨(dú)立，且各控制通道的參數(shù)可以獨(dú)立調(diào)節(jié)。

模態(tài)空間下的計(jì)算力矩控制方法的控制框圖如圖3所示。

圖3 模態(tài)空間計(jì)算力矩控制Fig.3 Schematic diagram of computed torque control method in model space

3 仿真結(jié)果對(duì)比與分析

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器各控制通道的獨(dú)立性和對(duì)運(yùn)動(dòng)耦合現(xiàn)象的抑制作用。在Matlab/Simulink中搭建了仿真系統(tǒng)，其中機(jī)械本體采用Simulink/Multibody工具進(jìn)行搭建，搭建效果如圖4所示。

圖4 Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)Simulink/Multibody模型Fig.4 Simulink/Multibody model of Stewart parallel mechanism

圖5是在Matlab/Simulink中搭建的模態(tài)計(jì)算力矩控制方案仿真系統(tǒng)，模塊1為信號(hào)發(fā)生器；模塊2為運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算模塊；模塊3為模態(tài)計(jì)算模塊，主要功能是計(jì)算模態(tài)質(zhì)量矩陣和模態(tài)解耦矩陣；模塊4為模態(tài)變換模塊，主要為模態(tài)變換矩陣的計(jì)算并將關(guān)節(jié)信號(hào)轉(zhuǎn)換為模態(tài)信號(hào)；模塊5為模態(tài)計(jì)算力矩控制器；模塊6為逆模態(tài)變換模塊，主要功能是將模態(tài)信號(hào)轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)信號(hào)；模塊7為Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)械模型。

圖5 模態(tài)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)Simulink模型Fig.5 Simulink model of modal space computed torque control system

3.1 控制通道間獨(dú)立性對(duì)比分析

關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)的6個(gè)控制通道為6個(gè)驅(qū)動(dòng)支腿，各支腿的數(shù)學(xué)模型均相同。由本文分析可知，關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)是一個(gè)多輸入多輸出系統(tǒng)，其各控制通道之間相互影響，很難進(jìn)行參數(shù)整定。本文首先對(duì)關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)控制通道間的獨(dú)立性進(jìn)行仿真分析，為驗(yàn)證各控制通道之間的關(guān)系，設(shè)置了2組控制參數(shù)，參數(shù)1和參數(shù)2。參數(shù)2對(duì)比參數(shù)1僅修改了第2控制通道的控制參數(shù)，參數(shù)1第2控制通道上的參數(shù)為參數(shù)2第2控制通道參數(shù)的100倍；然后觀察參數(shù)2下的第1以及第3至第6控制通道響應(yīng)是否和參數(shù)1下的第1以及第3至第6控制通道響應(yīng)的響應(yīng)是否相同，若這5個(gè)通道的響應(yīng)未發(fā)生改變，則說明各控制通道之間相互獨(dú)立。對(duì)關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)的沿X軸平移自由度輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵(lì)，觀察參數(shù)1、2作用下各控制通道的響應(yīng)曲線變化。

圖6(a)為關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)控制通道在參數(shù)1、2下的響應(yīng)曲線。圖6(a)中，系統(tǒng)給定到各支腿上的目標(biāo)值信號(hào)是自由度空間控制信號(hào)經(jīng)過運(yùn)動(dòng)學(xué)反解計(jì)算得出的。由圖1可知，當(dāng)?shù)?控制通道的控制參數(shù)改變，第2控制通道的響應(yīng)會(huì)發(fā)生較大變化。對(duì)其余5個(gè)通道的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果表明當(dāng)?shù)?控制通道的控制參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，其余5個(gè)通道的響應(yīng)均會(huì)發(fā)生改變。本文以第1控制通道為例來說明其余5個(gè)控制通道的響應(yīng)變化。圖6(b)為關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)第1控制通道在參數(shù)1、2下的響應(yīng)曲線。由圖可知，第2控制通道控制參數(shù)的改變會(huì)對(duì)第1控制通道產(chǎn)生影響。由此可見，關(guān)節(jié)空間下計(jì)算力矩控制系統(tǒng)是多輸入多輸出系統(tǒng)，因此該控制策略很難找到合適的控制參數(shù)來使整體系統(tǒng)獲得較好的控制性能。

圖6 關(guān)節(jié)空間CTC系統(tǒng)響應(yīng)Fig.6 Joint space CTC system response

本文提出的模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器，可以實(shí)現(xiàn)各控制通道間的獨(dú)立控制，使得各控制通道的控制參數(shù)可以獨(dú)立的進(jìn)行參數(shù)整定。對(duì)模態(tài)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)各控制通道之間的獨(dú)立性進(jìn)行仿真分析，參數(shù)1、2之間的倍數(shù)關(guān)系以及系統(tǒng)輸入的信號(hào)均與關(guān)節(jié)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)的相同。對(duì)于模態(tài)空間控制系統(tǒng)，其6個(gè)控制通道為6個(gè)模態(tài)自由度，不同的模態(tài)自由度具有不同的模態(tài)頻率、模態(tài)質(zhì)量以及模態(tài)剛度，因此各控制通道的數(shù)學(xué)模型是不同的。雖然各控制通道的數(shù)學(xué)模型不同，但是各控制通道之間可以保持獨(dú)立關(guān)系。

圖7(a)為模態(tài)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)第2控制通道在參數(shù)1、2下的響應(yīng)曲線。當(dāng)?shù)?控制通道的控制參數(shù)改變，第2控制通道的響應(yīng)會(huì)發(fā)生較大變化。對(duì)其余5個(gè)通道的仿真結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果表明當(dāng)?shù)?控制通道的控制參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，其余5個(gè)通道的響應(yīng)均不會(huì)發(fā)生改變。同樣以第1控制通道為例來說明其余5個(gè)控制通道的響應(yīng)變化。圖7(b)為模態(tài)空間計(jì)算力矩控制系統(tǒng)第1控制通道在參數(shù)1、2下的響應(yīng)曲線。由圖可見，僅調(diào)節(jié)第2通道的控制參數(shù)，并不會(huì)對(duì)第1通道的響應(yīng)產(chǎn)生影響。由此可見，模態(tài)空間下的計(jì)算力矩控制系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)，控制參數(shù)的整定和控制器性能提高變得較為容易。

圖7 模態(tài)空間CTC系統(tǒng)響應(yīng)Fig.7 Modal space CTC system response

3.2 運(yùn)動(dòng)耦合抑制能力對(duì)比分析

為測試模態(tài)空間下計(jì)算力矩控制策略對(duì)運(yùn)動(dòng)耦合現(xiàn)象的抑制作用，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)耦合仿真分析。由于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)自由度和平移自由度之間存在較強(qiáng)的耦合，且主要集中在在沿X軸平移自由度和繞Y軸的旋轉(zhuǎn)自由度以及沿Y軸平移和繞X軸旋轉(zhuǎn)自由度。因此，主要對(duì)這2種情況下的模態(tài)CTC和傳統(tǒng)CTC進(jìn)行對(duì)比分析。

對(duì)仿真系統(tǒng)的沿X軸的平移自由度輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵(lì)，其他自由度設(shè)定為0。RY自由度的耦合對(duì)比如圖8所示。

對(duì)仿真系統(tǒng)的沿Y軸的平移自由度同時(shí)輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵(lì)，其他自由度設(shè)定為0。RX自由度的耦合對(duì)比如圖9所示。

從圖8可以看出，在傳統(tǒng)CTC控制下，系統(tǒng)在沿X軸平移自由度的正弦激勵(lì)下，會(huì)在RY自由度方向的產(chǎn)生耦合，嚴(yán)重影響了控制精度。而在模態(tài)CTC控制策略下，給予系統(tǒng)同樣的正弦激勵(lì)，耦合明顯降低，且耦合幅值下至解耦前的18.29%；系統(tǒng)在沿Y軸平移自由度的正弦激勵(lì)下，在模態(tài)CTC控制策略下，RX自由度耦合幅值下降至解耦前的7.55%。

圖8 沿X軸平移運(yùn)動(dòng)時(shí)RY自由度耦合轉(zhuǎn)角比較Fig.8 Coupling comparison of RY degree of freedom when translating along the X-axis

對(duì)仿真系統(tǒng)的X軸的平移自由度和沿Y軸的平移自由度同時(shí)輸入幅值分別為0.02 m和0.03 m，頻率分別為2 HZ和3 HZ的正弦激勵(lì)，其他4個(gè)自由度給定為常值0信號(hào)。RX、RY自由度的耦合對(duì)比分別如圖10、11所示?？梢钥闯?，系統(tǒng)在沿X、Y軸平移自由度的正弦激勵(lì)下，對(duì)RX、RY自由度的耦合較為明顯。在模態(tài)CTC控制策略下，RX自由度耦合幅值下降至解耦前的9.42%，RY自由度耦合幅值下降至解耦前的19.22%。

圖9 沿Y軸平移運(yùn)動(dòng)時(shí)RX自由度耦合轉(zhuǎn)角比較Fig.9 Coupling comparison of RX degree of freedom when translating along the Y-axis

圖10 沿X、Y軸平移運(yùn)動(dòng)時(shí) RX自由度耦合比較Fig.10 Coupling comparison of RX degree of freedom when translating along the X-axis and Y-axis

圖11 沿X、Y軸平移運(yùn)動(dòng)時(shí)RY自由度耦合比較Fig.11 Coupling comparison of RY degree of freedom when translating along the X-axis and Y-axis

4 結(jié)論

1)模態(tài)空間控制可以降低系統(tǒng)的控制難度。引入模態(tài)空間控制后，系統(tǒng)各控制通道之間由非獨(dú)立關(guān)系轉(zhuǎn)換為了獨(dú)立關(guān)系，因此可以對(duì)各個(gè)控制通道進(jìn)行獨(dú)立的參數(shù)整定。

2)模態(tài)空間控制可以減少計(jì)算力矩控制器控制參數(shù)的個(gè)數(shù)。在模態(tài)空間下，每一個(gè)模態(tài)控制通道都可以視為一個(gè)獨(dú)立的子計(jì)算力矩控制器，該子控制器需要調(diào)節(jié)的參數(shù)為2。因此，模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器需要調(diào)節(jié)的總參數(shù)個(gè)數(shù)為12，相較于傳統(tǒng)的計(jì)算力矩控制器的參數(shù)個(gè)數(shù)72，模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器的參數(shù)得到了大幅度的減少。

3)模態(tài)空間計(jì)算力矩控制器可以提高系統(tǒng)的控制性能，通過參數(shù)整定，可以有效降低系統(tǒng)平移運(yùn)動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)自由度上的耦合轉(zhuǎn)角。