陳夏楠， 張令心， 陳永祁， 朱柏潔

(1．中國地震局工程力學(xué)研究所 中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080；2．北京奇太振控科技發(fā)展有限公司，北京 100037)

近年來，消能減震技術(shù)在結(jié)構(gòu)抗震中的應(yīng)用日益廣泛。消能減震結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析方法目前主要有2種，其中最常用的一種方法是時程分析法[1-3]，但該方法計算量較大，計算結(jié)果易受地震動時程選取的影響；另一種方法是計算量相對較小的振型分解反應(yīng)譜法，對于該方法，目前常用的結(jié)構(gòu)有限元軟件可以將阻尼元件附加給結(jié)構(gòu)的阻尼轉(zhuǎn)換成為振型阻尼比進行計算，但上述對附加阻尼的處理方法使得結(jié)構(gòu)分析過程不能考慮模態(tài)耦合的完全阻尼[4]。功率譜密度分析方法采用地震動的功率譜密度函數(shù)作為地震激勵，而功率譜密度函數(shù)包含了隨機地震荷載的統(tǒng)計特征，因此可以彌補上述方法的不足。虛擬激勵法[5-6]是功率譜密度分析方法在土木工程領(lǐng)域運用較多的方法，但由于物理概念相對復(fù)雜，該方法在實際工程結(jié)構(gòu)的減震計算分析中應(yīng)用較少。針對以上問題，本文提出一種基于功率譜密度函數(shù)的附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析方法，并進一步結(jié)合結(jié)構(gòu)最大地震反應(yīng)的概率估計方法提出了該類型結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析方法，且該方法可通過實際工程結(jié)構(gòu)分析中廣泛使用的通用有限元軟件SAP2000得以實現(xiàn)。利用算例對比該方法與時程分析法、振型分解反應(yīng)譜法的計算結(jié)果，并采用該方法進行附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震可靠度分析。

1 基于功率譜密度附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析方法

功率譜密度函數(shù)可以完整反映規(guī)范設(shè)計反應(yīng)譜的統(tǒng)計特征，相比隨機抽樣得到的地震動時程曲線，它在統(tǒng)計意義上與規(guī)范設(shè)計反應(yīng)譜更為接近。本文根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[7]中的設(shè)計反應(yīng)譜求出相應(yīng)的功率譜密度函數(shù)曲線，并確定了結(jié)構(gòu)的阻尼，估算出結(jié)構(gòu)在地震作用下最大反應(yīng)的概率，并采用結(jié)構(gòu)有限元分析軟件SAP2000實現(xiàn)了附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)及可靠度分析。

1.1 功率譜密度分析方法及參數(shù)選取

1.1.1 功率譜密度分析方法概述

本節(jié)通過時域分析與頻域分析之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，介紹結(jié)構(gòu)頻域內(nèi)分析的運動方程以及功率譜密度分析的過程。假定x(t)為結(jié)構(gòu)的位移時程函數(shù)，xg(t)為地面位移時程函數(shù)，在時域內(nèi)，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)為[4]：

(1)

式中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Ceq為液體粘滯阻尼器等效線性阻尼系數(shù)矩陣。其中：

(2)

式(2)即為頻域內(nèi)結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的運動方程。

在SAP2000中，當(dāng)使用功率譜密度分析方法時，運動方程右側(cè)采用的輸入荷載形式為[4]：

(3)

經(jīng)過功率譜密度分析，可以得到結(jié)構(gòu)對應(yīng)不同頻率點的地震反應(yīng)。

1.1.2 功率譜密度函數(shù)的選取

由于目前振型分解反應(yīng)譜法為主流的結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，因此，求出對應(yīng)規(guī)范[7]設(shè)計反應(yīng)譜的功率譜密度函數(shù)對結(jié)構(gòu)設(shè)計十分重要。擬合功率譜密度函數(shù)的方法主要有2種：一種為迭代法[8-11]，另一種是用概率的方法推導(dǎo)出地面加速度功率譜與結(jié)構(gòu)最大加速度反應(yīng)譜之間的近似關(guān)系[12]。

對于迭代的方法，在迭代出一組滿足誤差要求的譜值之后，通常會用最小二乘法將其擬合為金井清譜的譜參數(shù)，即將數(shù)據(jù)擬合為過濾白噪聲模型來模擬地震動的功率譜密度分布[13]。本文采用了文獻[13]選用柱修力-陳厚群功率譜的修正過濾白噪聲模型，所選用的功率譜密度函數(shù)為：

(4)

式中：D、ω0、ξg、S0分別代表高頻拐角周期、低頻拐角頻率、場地特征周期和譜強度。

1.1.3 阻尼的定義

結(jié)構(gòu)的阻尼通常來源于2部分，一部分是作為整體應(yīng)用到整個結(jié)構(gòu)的阻尼，為方便計算，它常被分解為剛度比例阻尼和質(zhì)量比例阻尼；另一部分為附加阻尼元件的阻尼。在時域內(nèi)阻尼力F為：

(5)

式中：C為阻尼系數(shù)；α為速度指數(shù)；v(t)為相對速度。而在頻域內(nèi)，由于SAP2000不能進行速度非線性的分析，因此需要首先根據(jù)耗能相等的原則，計算出等效線性阻尼。在SAP2000中，對于線性阻尼，程序可自動指定頻域內(nèi)滯回阻尼D(ω)為ωC[4]。

1.2 結(jié)構(gòu)地震作用下最大反應(yīng)的概率估計

功率譜密度函數(shù)描述了隨機振動在頻域內(nèi)的統(tǒng)計特征，而結(jié)構(gòu)反應(yīng)在時域內(nèi)達到某個特定值的概率是與功率譜密度函數(shù)在頻域內(nèi)的統(tǒng)計特征緊密相關(guān)的。因此，根據(jù)功率譜密度分析得到的結(jié)構(gòu)反應(yīng)的譜密度函數(shù)，可以求出該反應(yīng)的均方根等統(tǒng)計參數(shù)，利用這些統(tǒng)計參數(shù)可以估算出結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率。達文波特[8]給出了隨機振動中，結(jié)構(gòu)反應(yīng)y的絕對值在(0，Td)時段內(nèi)不超過a的概率：

(6)

式中：

r=a/σy

(7)

(8)

(9)

1.3 基于功率譜密度的附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析在SAP2000中的實現(xiàn)

采用SAP2000進行附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析的主要流程為：

1)建立結(jié)構(gòu)有限元模型；

2)定義線性粘滯阻尼器及其參數(shù)；

3)定義功率譜密度函數(shù)及功率譜密度分析工況；

4)運行分析，保存結(jié)果，主要結(jié)果包括結(jié)構(gòu)及阻尼器地震反應(yīng)的頻率-譜強度曲線，以及反應(yīng)均值；

5)根據(jù)1.2節(jié)的公式計算結(jié)構(gòu)及阻尼器的地震反應(yīng)不超過某一特定值的概率。

2 三種結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計算方法對比

本文對附加液體粘滯阻尼器的結(jié)構(gòu)分別采用振型分解反應(yīng)譜法、功率譜密度分析法以及線性時程分析法計算其地震反應(yīng)，對3種方法的計算結(jié)果進行對比。

2.1 結(jié)構(gòu)有限元模型

選取一棟13層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)平面圖如圖1(a)所示；結(jié)構(gòu)平面柱距6 m，層高3.2 m，墻、柱混凝土強度等級為C40，梁板混凝土強度等級為C30，柱截面700 mm×700 mm，梁截面300 mm×600 mm，樓板厚120 mm，剪力墻厚200 mm，樓板所加恒載和活載均為3 kN/m2。利用SAP2000建立該結(jié)構(gòu)的有限元模型，見圖1(b)。模型中框架梁、柱采用桿單元；剪力墻采用薄殼單元；樓板采用膜單元，只起到傳導(dǎo)豎向荷載的作用。

圖1 算例1有限元模型Fig.1 Finite element model of example 1

為了對比3種方法對于阻尼器減震效果的計算結(jié)果，本文設(shè)計了3個結(jié)構(gòu)模型，分別為無阻尼器結(jié)構(gòu)、有阻尼器且阻尼系數(shù)C為1 000 kN/(m·s-1)的結(jié)構(gòu)(以下簡稱附加阻尼器結(jié)構(gòu)1)、有阻尼器且阻尼系數(shù)C為3 000 kN/(m·s-1)的結(jié)構(gòu)(以下簡稱附加阻尼器結(jié)構(gòu)2。阻尼器僅沿Y向布置，布置在結(jié)構(gòu)剪力墻的2側(cè)，與剪力墻在一條直線上，每層4個，隔層布置，共布置24個。定義結(jié)構(gòu)自身阻尼比為0.05。

2.2 地震荷載

結(jié)構(gòu)所在場地位于我國東部地區(qū)，抗震設(shè)防烈度Ⅷ度(0.2g)，場地類別為Ⅱ類，地震分組為第一組，根據(jù)文獻[13]，式(4)中的高頻拐角周期D與地震震級有關(guān)，首先根據(jù)設(shè)防烈度和地震分組，查表得到該場地震級相關(guān)參數(shù)M為6.26，再根據(jù)文獻[14]表6地震震級與D值的關(guān)系，用插值法求高頻拐角周期D為：

D=0.01492

(10)

低頻拐角頻率ω0為：

ω0=2πβ/3r=2π×3.5/(3×4)=1.832 59

(11)

杜修力等[15]指出可忽略震級對等效圓盤半徑r的影響，直接將r取為4 km，由此計算得到ω0的值，如式(11)所示。最后根據(jù)文獻[13]總結(jié)得出的不同設(shè)防烈度、場地類別以及地震分組所對應(yīng)的場地土阻尼比ξg、卓越角頻率ξg以及譜強度因子S0分別為0.726、18.05、58.99。

將以上各參數(shù)代入式(4)，得到場地地面加速度的功率譜密度函數(shù)曲線如圖2所示。

圖2 地面加速度功率譜密度函數(shù)曲線Fig.2 PSD function curve of the ground acceleration

2.3 計算結(jié)果分析

對每組結(jié)構(gòu)分別采用振型分解反應(yīng)譜法、功率

譜密度分析法和直接積分的線性時程分析法進行Ⅷ度小震作用下的計算分析，其中線性時程分析所采用的地震動為根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[7]中的設(shè)計反應(yīng)譜生成的10條人造地震動。人造地震動的反應(yīng)譜與規(guī)范反應(yīng)譜見圖3。結(jié)構(gòu)基底剪力的計算結(jié)果如表1所示。

圖3 規(guī)范反應(yīng)譜與人造地震動反應(yīng)譜Fig.3 Response spectrum curves of design ground motion and artificial ground motion

表1 3個結(jié)構(gòu)的基底剪力計算結(jié)果Table 1 Base shear of 3 structures kN

直接積分的線性時程分析因適用性較廣，在附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，其結(jié)果常被作為對比驗證值。采用振型分解反應(yīng)譜法和功率譜密度分析法得到的計算結(jié)果與線性時程分析法得到的平均值的誤差對比，見表2。其中誤差的計算方式為振型分解反應(yīng)譜或功率譜密度分析計算結(jié)果與時程分析計算結(jié)果差的絕對值除以時程分析計算結(jié)果。從表中可以看出，功率譜密度分析法與時程分析法的計算結(jié)果更為接近。

表2 振型分解反應(yīng)譜法與功率譜密度分析法較時程分析法誤差對比

表3為不同方法計算的各模型附加阻尼器后基底剪力減小的百分比，從表中可以看出，功率譜密度分析與直接積分的線性時程分析結(jié)果更加接近。

表3 結(jié)構(gòu)基底剪力減小百分比Table 3 Decrease percentage of structural base shear %

通過上述結(jié)果對比可以看出，功率譜密度分析法計算的精度可以滿足工程需要，該方法適用于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析。

3 基于功率譜密度的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)及可靠度分析方法應(yīng)用算例

本節(jié)以實際工程結(jié)構(gòu)模型作為分析對象，對使用非線性液體粘滯阻尼器減震前后的結(jié)構(gòu)地震可靠度進行計算分析。

3.1 模型簡介

該結(jié)構(gòu)為位于新疆地區(qū)的23層框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)主體地下2層，地上23層，地下2～地上4層，層高4.5 m，平面尺寸30 m×55 m，其余各層層高3 m，平面尺寸30 m×35 m，結(jié)構(gòu)主體總高75 m。標(biāo)準(zhǔn)層結(jié)構(gòu)平面圖見圖4(a)。該工程所在場地抗震設(shè)防烈度為Ⅷ度(0.3 g)，場地類別為Ⅱ類，地震分組為第3組。

圖4 算例2有限元模型Fig.4 Finite element model of example 2

根據(jù)前文方法選取對應(yīng)場地的設(shè)計地震動功率譜密度函數(shù)曲線，如圖5所示。

圖5 地面加速度功率譜密度函數(shù)曲線Fig.5 PSD function curve of the ground acceleration

用SAP2000建立2個結(jié)構(gòu)模型，一個不采取任何減震措施，另一個分別在11、13、15、21、23層設(shè)置每層4套X向阻尼器，8層設(shè)置2套X向阻尼器，8、10、12、14、16、18、22、24層設(shè)置每層4套Y向阻尼器，3層設(shè)置2套Y向阻尼器，阻尼器的安裝采用套索的形式，阻尼系數(shù)CN=1 400 kN/(m·s-1)0.3，速度指數(shù)α為0.3，由于頻域內(nèi)的分析不能考慮速度非線性，因此需要根據(jù)阻尼耗能相等的原則計算阻尼器的等效線性阻尼系數(shù)[16]。

線性阻尼器和非線性阻尼器帶給結(jié)構(gòu)的附加阻尼比分別為：

(12)

(13)

式中：Te結(jié)構(gòu)基本周期，本例中Te=2.03 s；m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量；d為阻尼器最大變形，本文取結(jié)構(gòu)層間位移角達到 《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[7]規(guī)定上限時的阻尼器變形，d=0.00 735 m；η為計算的中間參數(shù)，由下式計算得到：

(14)

令βv1=βv2，則：

(15)

則等效線性阻尼系數(shù)為：

(16)

將各個參數(shù)值代入式(19)，計算得到Ceq=23 144.2 kN/(m·s-1)，在SAP2000中將該值定義為阻尼器的線性阻尼系數(shù)。

3.2 計算結(jié)果分析

對該結(jié)構(gòu)進行功率譜密度分析，選擇層間位移角最大的層(18層)，分別輸出2對比分析結(jié)構(gòu)在該層的層間位移譜強度與頻率的關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 最大層間位移譜強度與頻率關(guān)系曲線Fig.6 The relation curve of maximum interlayer displacement’s spectrum intensity and the frequency

用1.2節(jié)的公式計算第18層層間位移角不超過3.75 mm(根據(jù)《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》[7]規(guī)定的框剪結(jié)構(gòu)小震下彈性層間位移角限值計算得到)的可靠度，計算結(jié)果及中間參數(shù)如表4所示。

由表4可以看出，附加液體粘滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)層間位移不超過3.75 mm的概率，即結(jié)構(gòu)地震可靠度，由原結(jié)構(gòu)的42.78%提高到48.81%。

表4 可靠度計算中間參數(shù)及結(jié)果Table 4 Intermediate parameters and results of reliability calculation

阻尼器變形超過極限變形作為結(jié)構(gòu)失效的判斷標(biāo)準(zhǔn)，重新計算結(jié)構(gòu)地震可靠度。選取變形最大的一套阻尼器，輸出其軸向變形譜強度與頻率關(guān)系曲線，如圖7所示。

圖7 阻尼器最大變形譜強度與頻率關(guān)系曲線Fig.7 The relation curve of the damper maximum deformation’s spectrum intensity and the frequency

采用式(6)～(9)進行計算，其中λ1的值為251.745，計算阻尼器變形不超過75 mm(由阻尼器生產(chǎn)廠家給出)的概率為100%。

將表4中P1和表5中P2對比，取小值，得到結(jié)構(gòu)最終的地震可靠度為48.81%，可以看出，以結(jié)構(gòu)層間位移角超限作為失效標(biāo)準(zhǔn)起控制作用。

4 結(jié)論

1)對于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)減震效果的計算，采用基于功率譜密度分析的方法與時程分析方法的計算結(jié)果更為相似?；诠β首V密度分析方法的計算量較時程分析法小，同時該方法相較于振型分解反應(yīng)譜法可以更真實的反映出阻尼器對結(jié)構(gòu)的影響，因此該方法更適合于附加液體粘滯阻尼器結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析。

2)基于功率譜密度分析的地震反應(yīng)分析方法可計算得到結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的譜強度。頻率曲線可直接應(yīng)用于結(jié)構(gòu)地震可靠度的計算，因此該方法也可應(yīng)用于基于性能的結(jié)構(gòu)設(shè)計和工程地震風(fēng)險保險領(lǐng)域。

3)基于功率譜密度分析的結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析方法可擴展至統(tǒng)計規(guī)律更加明顯的結(jié)構(gòu)風(fēng)響應(yīng)的計算。