江西 范云龍

縱觀歷年各省的高考試題和各地的模擬試題，彈簧問題無疑是其中的一大熱點題型，而且彈簧問題也是學生學習中的一大難點。此類試題往往將彈簧模型與力、運動、能量等內(nèi)容結合，有較強的綜合性，能考查學生的思維能力、分析綜合能力等，對學生的要求較高。本文結合一些典型例題對彈簧問題的幾個常見類型進行剖析，分析解題思路，歸納研究方法，以饗讀者。

一、“輕彈簧”問題

高中階段所涉及的彈簧模型大多都會說明不考慮其質(zhì)量，我們把這種彈簧稱為“輕彈簧”或“輕質(zhì)彈簧”?！拜p彈簧”模型是一種非常常見的理想化物理模型。由于“輕彈簧”的質(zhì)量忽略不計，任意選取一小段彈簧，其兩端所受張力一定平衡，否則根據(jù)牛頓第二定律，這段彈簧的加速度會無限大，不符合一般的題設情境。故任一“輕彈簧”中各部分間的張力應處處相等，均等于彈簧兩端受到的力，并且彈簧一端受力為F時，另一端受力一定也為F,若使用彈簧測力計測量，則其示數(shù)為F。

【例1】如圖1所示，彈簧測力計放在光滑水平面上，其外殼質(zhì)量為m，彈簧及掛鉤質(zhì)量忽略不計，在彈簧測力計掛鉤上施加水平向右的力F1，同時在其外殼上施加水平向左的力F2，且F1>F2，則彈簧測力計的加速度大小為________，彈簧測力計的讀數(shù)為________。

圖1

【說明】F2作用在彈簧測力計外殼的外部，并沒有作用在彈簧的左端，彈簧左端受到的力是由外殼內(nèi)部施加的。

【點評】本題以彈簧測力計為研究對象，需要學生準確分析受力情況。題中彈簧測力計外殼質(zhì)量為m，而彈簧及掛鉤質(zhì)量忽略不計，這就是典型的“輕彈簧”問題。在分析受力時要注意“輕彈簧”兩端受力一定大小相等，方向相反，大小均為F1，即彈簧測力計的讀數(shù)為F1，然后再對整個彈簧測力計進行受力分析，計算出其受到的合力大小，進而算出加速度大小。在做這類“輕彈簧”問題時，一定要注意彈簧兩端受力平衡，合力為零，但加速度并不一定為零。

二、質(zhì)量不可忽略的彈簧——“重彈簧”問題

雖然大多數(shù)情況下彈簧的質(zhì)量都可以忽略不計，但是有些問題里是需要考慮彈簧質(zhì)量的，此時的彈簧可以稱為“重彈簧”。做這類問題時要注意彈簧兩端的受力不一定相等，需要對彈簧作受力分析，并利用牛頓第二定律解決問題。

【例2】如圖2所示，一質(zhì)量為M的均質(zhì)彈簧平放在光滑水平面上,在彈簧的右端施加一水平恒力F，使彈簧從靜止開始向右做勻加速直線運動。試分析彈簧上各部分的受力情況。

圖2

【點評】本題作為一道分析題，首先，需要學生選取一部分彈簧為研究對象，其次，這部分彈簧作受力分析，最后根據(jù)牛頓第二定律解決問題。但是由于題中并未給出彈簧的總長度，導致很多學生不知如何下手，不知最后應該呈現(xiàn)出怎樣的結果，對學生來說是一個難點。做這類“重彈簧”問題時，一定要與“輕彈簧”區(qū)分開，注意彈簧兩端受力不一定平衡，兩端受力之差由彈簧的質(zhì)量及加速度決定，可以通過牛頓第二定律進行求解。

三、彈簧彈力不能突變類問題(瞬時問題)

彈簧的彈力與形變量成正比，其兩端一般與物體相連，而彈簧的形變過程需要一段時間，其長度的變化不能在瞬間完成，因此彈簧的彈力是不能在瞬間發(fā)生突變的。與彈簧相比，不可伸長的輕繩、輕桿、接觸面等產(chǎn)生微小形變的物體，一般認為它們的彈力可以在瞬間發(fā)生突變。

【例3】如圖3所示，木塊A與木塊B用輕彈簧相連，并豎直放在木塊C上，三者靜置于地面，A、B、C三者的質(zhì)量之比為1∶2∶3。設所有接觸面均光滑，當沿水平方向迅速抽出木塊C時，木塊A和木塊B的加速度大小分別為aA=________，aB=________。

圖3

【解析】設A、B、C的質(zhì)量分別為m、2m、3m。以A為研究對象，抽出C前，A受到重力和彈簧彈力這一對平衡力的作用。在抽出C的瞬間，A受到的重力和彈簧彈力的大小以及方向均不發(fā)生變化，故A的瞬時加速度為0。以A、B為研究對象，由平衡條件可知，抽出C前，C對B的作用力為FCB=3mg，方向豎直向上。以B為研究對象，抽出C前，B在重力、彈簧彈力和FCB三個力的作用下平衡，抽出C的瞬間，B受到的重力和彈簧彈力的大小以及方向均不發(fā)生變化，而FCB瞬間變?yōu)?，故B受到的瞬時合外力大小為3mg,方向豎直向下，瞬時加速度大小為1.5g。

【點評】瞬時加速度問題在力學問題中一直是一個熱點，同時也是學生容易出錯的地方，解決這類問題時，首先，要按照連接物的形變特點將其分為能在瞬間發(fā)生突變的微小形變(包括不可伸長的輕繩、輕桿和剛性面等)和不能瞬間發(fā)生突變的明顯形變(包括彈簧、橡皮筋和彈性面等)，然后再根據(jù)各自的特點結合牛頓第二定律來解決相關問題。本題中將C抽出的瞬間，可以認為彈簧的彈力不會發(fā)生變化，依舊等于A的重力mg，所以抽出C的瞬間A依舊處于平衡狀態(tài)，加速度為零，而抽出C時B不再受C的支持力，故B此時受到的合力方向向下，然后根據(jù)牛頓第二定律即可算出B的加速度。

四、彈簧形變量與物體位移相關聯(lián)的問題

彈簧的彈力大小滿足胡克定律F=kx，其中x為彈簧的形變量。當彈簧兩端與物體相連時，x可以與物體位移相關聯(lián)，因此彈簧模型可以與動力學的相關知識結合起來進行考查。做此類問題時要注意彈簧的形變是壓縮還是伸長，物體位移的方向，位移與形變量的大小關系等。

【例4】如圖4所示，在傾角為θ的光滑斜面上有兩個用輕彈簧相連接的物塊A、B，其質(zhì)量分別為mA、mB，輕彈簧的勁度系數(shù)為k,C為一固定在斜面上的擋板，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)用一恒力F(F已知)沿斜面向上拉物塊A使其沿斜面向上運動，求物塊B剛要離開擋板C時物塊A加速度a的大小和從開始到此時A的位移大小d(重力加速度為g)。

圖4

【點評】在做與彈簧相關的動力學問題時，要注意彈簧彈力隨形變量發(fā)生線性變化的特點，將彈簧的形變量與物體的位移聯(lián)系起來，找出二者之間的聯(lián)系，然后再根據(jù)形變量計算彈簧彈力，進而根據(jù)牛頓第二定律解題。本題中隨著物塊A沿斜面向上運動，彈簧從壓縮狀態(tài)逐漸變?yōu)樯扉L狀態(tài)，彈簧形變量的改變量即為物塊A的位移大小，然后根據(jù)初末狀態(tài)下物體的受力狀態(tài)解出彈簧的形變量大小，從而計算出整個過程中物塊A的位移，然后再對物塊A受力分析，通過牛頓第二定律，便可計算出末狀態(tài)下物塊A的加速度大小。

五、彈簧模型與能量相結合問題

彈簧在伸長或壓縮時都會儲存一定的彈性勢能，因此彈簧的彈性勢能可與機械能守恒定律相結合進行考查，要注意彈簧在形變量大小相等時所具有的彈性勢能相等，無論其處于伸長或壓縮的狀態(tài)。

由功能關系可知，彈簧彈力做功等于彈性勢能的變化量，但彈簧彈力做功是變力做功，一般可以用以下方法求解：

(2)利用F-x圖象與橫軸所圍成的面積大小求解；

(4)根據(jù)動能定理或能量守恒定律求解。

由于彈性勢能與彈性形變有關，而彈性勢能的計算公式在高考中不作定量要求，因此在求彈簧彈力做功或彈性勢能改變量時，一般要從能量轉(zhuǎn)化與守恒的角度來分析。特別是在運動過程的初末狀態(tài)彈簧形變相等的情況下(一般情況下，初末狀態(tài)分別處于伸長或壓縮狀態(tài)，且形變量大小相等)，往往彈性勢能的改變量可以抵消或替代求解。

【例5】如圖5所示，質(zhì)量為m的物塊A用一輕彈簧與下方地面上質(zhì)量也為m的物塊B相連，開始時A、B均處于靜止狀態(tài)，此時彈簧的壓縮量為x0。用一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連接物塊A，另一端C握在手中，整條繩處于伸直狀態(tài)且張力為零，A上方的繩子沿豎直方向且足夠長?，F(xiàn)對C端施加一水平恒力F=3mg，使A從靜止開始向上運動，則當B剛要離開地面時A的速度為多大?(整個過程彈簧始終處于彈性限度以內(nèi)，且忽略所有摩擦)

圖5

【例6】如圖6所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與正下方地面上質(zhì)量為m2(m2>m1)的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k,初始時物體A、B都處于靜止狀態(tài)。用一不可伸長的輕繩一端繞過輕滑輪連接物體A，另一端連接一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態(tài)且張力為零，物體A上方的一段繩沿豎直方向懸掛?，F(xiàn)給掛鉤掛一質(zhì)量為m2的物體C并使其從靜止釋放，則釋放物體C后恰好能使物體B離開地面但不繼續(xù)上升。若將物體C換成另一質(zhì)量為(m1+m2)的物體D，仍從上述初始位置由靜止釋放，則這次物體B剛離地時物體D的速度大小是多少?已知重力加速度為g。

圖6

【解析】開始時物體A、B均靜止，設彈簧的壓縮量為x1，有kx1=m1g，懸掛物體C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x2，有kx2=m2g，B不再上升表明此時A、C的速度均為零，即C已下降到其運動的最低點,與初狀態(tài)相比，由機械能守恒定律可得彈簧彈性勢能的增加量為ΔE=m2g(x1+x2)-m1g(x1+x2)。將C換成D后，B離地時彈簧彈性勢能的增加量與前一次相同，由能量守恒定律可得

【點評】在分析問題時要注意彈力的大小與方向時刻與彈簧瞬間的形變量相對應。解決此類問題時，一般先從彈簧形變的分析入手，先確定彈簧的原長位置、現(xiàn)長位置和臨界位置，然后找出形變量x與物體空間位置變化的幾何關系，分析形變量所對應的彈力大小和方向。同時也要注意彈簧的彈性勢能與形變量的對應關系，以此分析物體運動狀態(tài)和能量的變化情況。在例5中，彈簧在初末狀態(tài)下雖然處于不同的形變狀況，但形變量的大小相等，因此對應的彈性勢能也相等，整個過程中彈簧彈力做的總功為零，運用動能定理或能量守恒關系時就不用再考慮彈力做功和彈性勢能的改變了。在例6中，彈簧在初末狀態(tài)的形變量雖然不同，但可以根據(jù)第一個過程中的能量守恒關系計算出整個過程中彈性勢能的變化量，然后根據(jù)第二個過程中的能量守恒關系解出物體D的末速度大小。

六、與彈簧相關的臨界極值問題

通過彈簧相連的物體，在運動過程中常常會涉及臨界極值問題，例如物體速度達到最大、兩個物體速度相同時彈簧形變量達到最大、物體恰好要離開地面及相互接觸的物體恰好要脫離等情形。解決此類問題的關鍵在于利用臨界條件結合動力學規(guī)律和功能關系、能量守恒關系得到與解題相關的物理量和結論。

【例7】如圖7所示，A、B兩個木塊疊放在豎直輕彈簧上，已知A、B的質(zhì)量分別為0.42 kg和0.40 kg，彈簧的勁度系數(shù)為k=100 N/m?，F(xiàn)在A上施加一個豎直向上的變力F,使A由靜止開始以0.5 m/s2的加速度豎直向上做勻加速運動。重力加速度為g=10 m/s2

圖7

(1)在A豎直向上做勻加速運動的過程中，求力F的最大值；

(2)若A由靜止開始做勻加速運動，直到A、B分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少了0.248 J，求這一過程中F對木塊做的功。

【解析】此題的難點在于能否確定A、B兩木塊分離的臨界點。當F=0(即不加豎直向上的力)時，設木塊A、B疊放在彈簧上處于靜止時彈簧的壓縮量為x,則

現(xiàn)對木塊A施加力F，則A、B的受力如圖8所示,對木塊A有

圖8

F+FN-mAg=mAa②

對木塊B有

kx′-FN-mBg=mBa③

【點評】臨界極值問題一直以來都是高中物理中的一大熱點問題，無論是力學還是電磁學都會涉及，在這些問題中與彈簧相關的問題占了很大的比例。在解決與彈簧相關的臨界問題時，最重要的是分析臨界狀態(tài)的特點以及達到臨界狀態(tài)所要滿足的物理條件。本題中最重要的是要確定A、B兩木塊分離的臨界點，即二者間的相互作用力FN=0且二者加速度相等的狀態(tài)，然后在臨界狀態(tài)下分別對兩物體做受力分析，根據(jù)牛頓第二定律和功能關系解出兩物體在臨界狀態(tài)下的相關物理量，從而解出整個過程中力F的最大值和力F對木塊做的功。