重慶 張大洪
選修3-3模塊是高考的熱學(xué)知識部分,是每年必考的模塊,其中理想氣體狀態(tài)方程與氣體實驗定律知識點是本模塊的重難點,一般分值在10分;封閉氣體壓強的計算則是該知識點中的最基本的問題,本文將氣體狀態(tài)變化中的關(guān)聯(lián)問題分類探討,希望能對廣大中學(xué)生起到有效的指導(dǎo)作用。
【典例】已知大氣壓強為p0,圖1所示的裝置處于靜止?fàn)顟B(tài),液體密度均為ρ,各段液柱尺寸已標(biāo)于圖中,求被封閉的各段氣體的壓強。
圖1
【解析】對于圖1中氣體b而言,通過右邊的彎曲液柱與大氣相關(guān)聯(lián),關(guān)聯(lián)的最低液面即為A面;又因為等高液面的壓強必相等,即圖1中pB=p0,那么由A面與右側(cè)液柱的壓強平衡pb=pA=pB+pAB,即pb=p0+ρg(h2-h1);對管內(nèi)封閉氣柱a而言,其將通過豎直液柱h3與氣體b相關(guān)聯(lián),關(guān)聯(lián)的最低液面為C面,由C面壓強平衡pC=pb=pa+ph3,即pa+ρgh3=p0+ρg(h2-h1),故pa=p0+ρg(h2-h1-h3)。
【點評】由液柱關(guān)聯(lián)下的氣體壓強處理:
(1)連通器內(nèi)靜止的同種液體(中間液體不間斷)在等高液面(即在同一水平液面)處的壓強大小一定是相等的;
(2)探討由靜止液柱封閉的氣柱壓強時,以與封閉氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱的最低液面研究對象,利用該液面受到的向上、向下壓力的平衡來處理;
(3)探求由非平衡狀態(tài)的液柱封閉的氣體壓強時,以與氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱為力學(xué)研究對象進行受力分析、用牛頓第二定律列出方程處理;
(4)準(zhǔn)確把握好幾何關(guān)系,找出輔助的相關(guān)關(guān)系;
(5)兩部分氣體的問題,要分別以兩部分氣體為研究對象,根據(jù)對應(yīng)實驗規(guī)律列方程。
圖2
【真題賞析】(2018年全國卷Ⅲ第33題)在兩端封閉,粗細均勻的U形細玻璃管內(nèi)有一段水銀柱,水銀柱的兩端各封閉有一段空氣如圖2所示;當(dāng)U形管兩端豎直朝上時,左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm,左邊氣體的壓強為12.0 cmHg?,F(xiàn)將U形管緩慢平放在水平桌面上,沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊。求U形管平放時兩邊空氣柱的長度。在整個過程中,氣體溫度不變。
【解析】圖2中U形管兩端豎直朝上時,通過水銀柱關(guān)聯(lián)的左、右兩部分氣體中,水銀柱的最低液面在左管,故對左管液面利用壓強平衡有(設(shè)此時左、右兩邊氣體的壓強分別為p1和p2)p1=p2+ρg(l1-l2)。當(dāng)U形管水平放置時,管中的水銀柱必將向氣體“2”的一側(cè)移動并最終達到靜止,如圖3所示,此時兩邊氣體壓強相等設(shè)為p。
圖3
由題給條件及①②③共同解得
【真題賞析】(2017年全國卷Ⅲ第33題)一種測量稀薄氣體壓強的儀器如圖4(甲)所示,玻璃泡M的上端和下端分別連通兩豎直玻璃細管K1和K2,K1長為l,頂端封閉,K2上端與待測氣體連通;M下端經(jīng)橡皮軟管與充有水銀的容器R連通。開始測量時,M與K2相通;逐漸提升R,直到K2中水銀面與K1頂端等高,此時水銀已進入K1,且K1中水銀面比頂端低h,如圖4(乙)所示。設(shè)測量過程中溫度、與K2相通的待測氣體的壓強均保持不變。已知K1和K2的內(nèi)徑均為d,M的容積為V0,水銀的密度為ρ,重力加速度大小為g。求:
(ⅰ)待測氣體的壓強;
(ⅱ)該儀器能夠測量的最大壓強。
甲
乙
(ⅱ)由題意知h≤l根據(jù)“(ⅰ)”中的結(jié)果
圖5
圖6
【點評】由活塞關(guān)聯(lián)下的氣體壓強處理:
(1)正確分析活塞的受力情況,結(jié)合活塞的運動情況由力的平衡或牛頓第二定律來探究壓強的關(guān)聯(lián)情況;
(2)兩部分氣體的問題,分別以兩部分氣體為研究對象,找出各自狀態(tài)參量及其相關(guān)關(guān)系(注意圖中的幾何關(guān)系),然后根據(jù)相應(yīng)的氣體實驗定律列方程。
【真題賞析】(2017年全國卷Ⅰ第33題)如圖7所示,容積均為V的氣缸A、B下端有細管(容積可忽略)連通,閥門K2位于細管的中部,A、B的頂部各有一閥門K1、K3;B中有一可自由滑動的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)。初始時,三個閥門均打開,活塞在B的底部;關(guān)閉K2、K3,通過K1給氣缸充氣,使A中氣體的壓強達到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1。已知室溫為27℃,氣缸導(dǎo)熱。
(ⅰ)打開K2,求穩(wěn)定時活塞上方氣體的體積和壓強;
(ⅱ)接著打開K3,求穩(wěn)定時活塞的位置;
(ⅲ)再緩慢加熱氣缸內(nèi)氣體使其溫度升高20℃,求此時活塞下方氣體的壓強。
圖7
【典例】氣缸由兩個橫截面不同的圓筒連接而成,活塞A、B被輕質(zhì)剛性細桿連接在一起,活塞可無摩擦移動,活塞A、B的質(zhì)量分別為m1=24 kg、m2=16 kg,橫截面積分別為S1=6.0×10-2m2、S2=4.0×10-2m2,一定質(zhì)量的理想氣體被封閉在兩活塞之間,活塞外側(cè)大氣壓強p0=1.0×105Pa。
(1)如圖8甲所示,氣缸水平放置達到平衡狀態(tài)時,求內(nèi)部氣體的壓強。
(2)已知水平放置平衡時氣體的體積V=2.0×10-2m3,現(xiàn)保持溫度不變將氣缸豎直放置,如圖8乙所示,取重力加速度g=10 m/s2。達到平衡后,活塞在氣缸內(nèi)移動的距離為多少?(活塞A還未到達氣缸連接處)
甲
乙
【解析】(1)由題知當(dāng)氣缸達到平衡狀態(tài)即表明復(fù)式活塞系統(tǒng)必處于平衡,故復(fù)式活塞系統(tǒng)的受力必滿足平衡條件,但需注意A、B的受力方向與面積大??;設(shè)平衡時氣缸內(nèi)氣體壓強為p1,對于復(fù)式活塞A、B系統(tǒng)受力如圖8所示,由平衡條件有p0S1+p1S2=p1S1+p0S2,解得p1=p0=1.0×105Pa。
【點評】對復(fù)式活塞關(guān)聯(lián)問題:
(1)選取復(fù)式活塞(含桿)整個連體為研究對象,正確對其進行受力分析;
(2)弄清復(fù)式活塞各面受到的壓力方向與大小(含大氣壓力、封閉氣體壓力),利用力的平衡條件或牛頓第二定律列式探究壓強關(guān)系;
(3)應(yīng)用相應(yīng)的氣體實驗定律聯(lián)合求解。
【真題賞析】(2019年全國卷Ⅱ第33題)如圖9所示,一容器由橫截面積分別為2S和S的兩個氣缸連通而成,容器平放在地面上,氣缸內(nèi)壁光滑。整個容器被通過剛性桿連接的兩活塞分隔成三部分,分別充有氫氣、空氣和氮氣。平衡時,氮氣的壓強和體積分別為p0和V0,氫氣的體積為2V0,空氣的壓強為p?,F(xiàn)緩慢地將中部的空氣全部抽出,抽氣過程中氫氣和氮氣的溫度保持不變,活塞沒有到達兩氣缸的連接處,求:
(ⅰ)抽氣前氫氣的壓強;
(ⅱ)抽氣后氫氣的壓強和體積。
圖9
【解析】(ⅰ)設(shè)抽氣前氫氣的壓強為p′,左邊活塞2S必受氫氣對其水平向右的壓力p′·2S、及空氣對其水平向左的壓力p2S作用,右邊活塞S必受氮氣對其水平向左的壓力p0S、及空氣對其水平向右的壓力pS作用,根據(jù)力的平衡條件得(p′-p)·2S=(p0-p)·S,解得p′=(p0+p)。
(ⅱ)將空氣抽出過程中由于空氣壓強不斷減小,故空氣對兩活塞的壓力也不斷減小,因而復(fù)式活塞A、B系統(tǒng)合力必向右,故A、B系統(tǒng)必將向右邊移動;設(shè)抽氣后氫氣的壓強和體積分別為p1和V1,氮氣的壓強和體積分別為p2和V2,根據(jù)力的平衡條件有p2·S=p1·2S①,由于此過程溫度保持不變,由玻意耳定律對氫氣有p1V1=p′·2V0②
對氮氣有p2V2=p0·V0③,在上述狀態(tài)變化過程中氫氣體積增加了V1-2V0,氮氣體積減小了V0-V2,由于兩活塞用剛性桿連接由題中的活塞面積大小關(guān)系故必有V1-2V0=2(V0-V2)④
【拓展】對于液柱或活塞封閉的氣體,無論裝置處于力學(xué)平衡狀態(tài)或有加速度的非平衡狀態(tài),一般選擇與氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱或活塞為力學(xué)研究對象進行受力分析、列平衡方程或用牛頓第二定律列出方程。
圖10
(ⅰ)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間,氣缸內(nèi)封閉氣體的溫度;
(ⅱ)缸內(nèi)封閉的氣體與缸外大氣達到熱平衡時,缸內(nèi)封閉氣體的壓強。
【解析】由題意知封閉氣體在緩慢變化中經(jīng)歷了兩個過程,即從圖10所示狀態(tài)到大活塞與大圓筒底部接觸前的狀態(tài)、從大活塞與大圓筒底部接觸狀態(tài)到封閉氣體與缸外大氣達到熱平衡的狀態(tài),兩過程是通過大活塞與大圓筒底部接觸前氣體的狀態(tài)相關(guān)聯(lián)。
【點評】對多過程的關(guān)聯(lián)問題要注意:
(1)階段性:即弄清一個物理變化分為哪幾個階段;
(2)聯(lián)系性:即找出幾個階段之間是由什么物理量聯(lián)系起來的;
(3)規(guī)律性:即明確哪個階段應(yīng)遵循什么實驗定律。
【總結(jié)】封閉氣體的壓強,不僅與氣體的狀態(tài)變化有關(guān),還與相關(guān)聯(lián)的液柱、活塞、氣缸等物體的受力情況和運動狀態(tài)有關(guān),解決這類問題的關(guān)鍵有以下3點:
(1)明確研究對象(力學(xué)對象與熱學(xué)對象);
(2)對力學(xué)對象(液柱、活塞、氣缸等)進行正確的受力情況分析和運動運動情況分析,列出關(guān)于研究對象的力學(xué)方程,找出各熱學(xué)對象間的壓強關(guān)系;