安徽省池州市第一中學(247000) 吳成強

所謂同構變換，就是通過巧妙變形，使式子兩邊的結構相同，具有對稱美，然后再構造新的函數(shù);或者使式子的局部結構相同，再通過換元，使復雜的式子變得簡單，從而使問題求解變得簡單.同構解題，觀察第一.要有敏銳的觀察力，善于察“構”觀“式”抓本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)式子的結構特征，利用有關公式和法則實施巧妙變形，化成“同構”式，再通過構造函數(shù)或換元，使問題巧妙求解.同構變換對創(chuàng)新能力有較高要求，能很好地鍛煉我們的創(chuàng)新能力，增強思維的廣闊性.同構的技巧性很強，方法靈活，常用的同構方法主要有: ①利用指數(shù)對數(shù)恒等式實施同構，問題求解可“妙殺”之.②利用三角變換實施同構，解法巧妙.3○加減同構，在同構的過程中“加減配湊”，從而完成同構.4○乘除同構，在同構的過程中“乘除配湊”，從而完成同構.5○局部同構，即在同構的過程中，將函數(shù)的某兩個或者多個部分構造出同構式，再巧妙換元.6○整體同構，即使式子兩邊結構相同，便于構造函數(shù)巧妙求解.7○放縮同構，即通過巧妙放縮后再同構，使問題求解變得非常簡單，對思維有很大的啟發(fā).

一、利用指數(shù)對數(shù)恒等式實施同構變換

指數(shù)對數(shù)恒等式:alogaN=N(a ＞0,a /=1,N ＞0)，利用指數(shù)對數(shù)恒等式，可以巧妙進行同構變換，使方程兩邊的結構相同，從而可以構造一個函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)，把復雜問題化為簡單問題，這種方法讓人大開眼界，令人賞心悅目.

例1已知正實數(shù)x滿足求m的值.

解由已知得:令f(x)=x ·ex，則f(x)=又易知f(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增，所以x=即x=-lnx，令g(x)=x+lnx，易知g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以存在唯一x0∈(0,+∞)，x0=即lnx0=-x0，m=所以m=1.

評注本題通過指數(shù)對數(shù)恒等式，結合函數(shù)的單調(diào)性，將復雜的方程化為等價的簡單方程x=-lnx，這一轉化真可謂神來之筆，也揭示了看似復雜繁瑣的方程(或式子)，通過去粗取精，去偽存真，抽絲剝繭，由表及里，揭示本質(zhì)，其實就是一個非常簡單方程(或式子)，也使我們進一步感受數(shù)學魅力之所在，式子變形之巧妙.

例2已知λeλx≥lnx(λ ＞0)恒成立，求λ的范圍.

解因為x ＞0，所以λxeλx≥xlnx=elnx ·lnx，設f(x)=xex，易知f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，原不等式化為f(λx)≥f(lnx).

①若0＜x ＜1，則λeλx ＞0＞lnx成立.

②x≥1 時，lnx≥0，所以λx≥lnx，λ≥令則所以x ∈[1,e)時g′(x)＞0，x=e 時g′(x)=0，x ∈(e,+∞)時g′(x)＜0，所以x=e 時g(x)取最大值，g(x)max=g(e)=所以

評注將已知不等式兩邊同乘以正數(shù)x，得到一個新的不等式λxeλx≥elnx·lnx，這個新的不等式是通過指數(shù)對數(shù)恒等式進行同構變換，從而便于構造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙求解，這種解法也是讓人深受啟發(fā).

二、利用三角變換公式實施同構變換

與三角函數(shù)有關的問題，往往要利用三角變換公式實施同構變換，使三角函數(shù)名稱相同，式子兩邊的結構相同，再通過構造函數(shù)，使問題巧妙求解.

例3已知定義在R 上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為f′(x)，若f(x)+f(-x)=cosx，且當x≤0 時，則不等式的解集為( )

解由得，f(x)+即令g(x)=f(x)-則g(x) ≥且有當x ∈(-∞,0]時，g′(x)=f′(x)+所 以函數(shù)g(x) 在(-∞,0] 上單調(diào)遞增，又f(x)+f(-x)=cosx，所以于是g(-x)=-g(x)，g(x)為奇函數(shù)，所以g(x)在R 上單調(diào)遞增，由故選B.

評注本題就是通過三角變換使不等式兩邊的結構相同，從而可以進行同構變換，這種解法的技巧性比較強，需要我們善于發(fā)現(xiàn)式子的結構特征，從而有目標地進行式子的變形.

三、對式子的局部實施同構變換

局部同構，即在同構的過程中，我們可以將函數(shù)的某兩個或者多個部分構造出同構式.然后再把同構的式子用一個新的變量代換，使式子變得簡單，從而使問題巧妙求解.

例4已知f(x)=(ax+lnx+1)(x+lnx+1) 與g(x)=x2的圖像至少有三個不同的公共點，則實數(shù)a的取值范圍是( )

解由f(x)=g(x)得，令t=，(a+t)(1 +t)=1，a=-t，令h(t)=- t，h′(t)=--1＜0，所以h(t) 在(-∞,-1) 上單調(diào)遞減，在(-1,+∞) 上單調(diào)遞減，φ(x)=，φ′(x)=，由φ′(x)＞0 得0＜x ＜1，由φ′(x)＜0 得x ＞1，所以φ(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞) 上單調(diào)遞減，φ(x)max=φ(1)=1，且時，φ(x)＞0，因為至少有三個不同零點，所以0＜t1＜1，t2＜0，所以

評注本題通過巧妙變形，把式子中所含的變量局部同構成，然后通過換元，把原本復雜的式子化成簡單的式子，從而使問題巧妙求解.

四、對式子兩邊整體實施同構變換

有的式子兩邊的結構已經(jīng)相同，這時就是要善于發(fā)現(xiàn)式子兩邊結構特征，要能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì).有的式子需要經(jīng)過適當變形，才能使式子兩邊的結構相同.處理這類問題的最好辦法就是實施同構變換，構造函數(shù)，再利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙求解.

例5已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1，其中a ＜-1，如果對任意x1,x2∈(0,+∞)，x1/=x2，且|f(x1)-f(x2)|＞4|x1-x2|，求a的取值范圍.

解f′(x)=+2ax=，因為a ＜-1，x ＞0，所以f′(x)＜0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不妨設0＜x1＜x2，則f(x1)＞f(x2)，所以原不等式可化為f(x1)-f(x2)＞4(x2-x1)，即f(x1)+4x1＞f(x2)+4x2，令g(x)=f(x)+4x，所以g(x1)＞g(x2)，所以g(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減，g′(x)=即2ax2+4x+a+1 ≤ 0 對x ＞0 恒成立，令h(x)=2ax2+4x+a+1，因為a ＜-1，所以h(0)=a+1＜0，對稱軸所以Δ=16-8a(a+1)≤0，所以a≤-2.

評注本題根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉絕對值，然后移項，把相同變量放在同一邊，使式子兩邊的結構相同，便于構造函數(shù)，利用同構變換巧妙解題.

五、通過巧妙放縮實施同構變換

所謂放縮有方，就是通過一些重要不等式進行巧妙放縮，使式子的局部的結構相同，然后再實施同構變換，使問題求解變得非常巧妙、簡單.常用的不等式有ex≥x+1，ln(x+1)≤x等.

例6已知不等式對x ＞1 恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解因為x ＞1，所以lnx ＞0，所以因為ex≥x+1，即ex -x-1 ≥0，所以ex-3lnx -(x-3 lnx)-1 ≥0，所以等號成立的條件是x-3 lnx=0，即的最小值為-3，所以a≤-3.

評注本題就是先通過重要不等式ex≥x+1 進行放縮，使式子的局部結構相同，利用同構變換巧妙求解.這類放縮靈活性比較強，但解題過程非常簡單，可謂“秒殺”，令人拍手稱快.

六、使式子兩邊符合xex 型結構

觀察式子的結構特征，通過巧妙的配湊，使式子兩邊的結構符合xex型結構，然后再構造函數(shù)f(x)=xex，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

例7已知函數(shù)f(x)=ex-aln(ax-a)+a(a ＞0)，若關于x的不等式f(x)＞0 恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )

A.[0,e2] B.(0,e2) C.[1,e2] D.(1,e2)

解由題設知ex ＞a[ln(ax - a)-1].因為a ＞0，ax-a ＞0，所以x ＞1，兩邊同乘x-1，得(x-1)ex ＞a(x-1)[lna(x-1)-1]=[lna(x-1)-1]elna(x-1).

令φ(x)=(x-1)ex，原不等式化為φ(x)＞φ(lna(x-1))，φ′(x)=xex ＞0，易知φ(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增.若lna(x-1)=ln(ax-a) ≤0，則顯然f(x)＞0 恒成立，若lna(x-1)=ln(ax-a)＞0，則x ＞lna(x-1)恒成立，即x ＞lna+ln(x-1)對x ＞1 恒成立，令h(x)=x-ln(x-1)，所以h(x) 在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，lna ＜h(x)mⅰn=h(2)=2，所以a ＜e2，又a ＞0，所以0＜a ＜e2，故選B.

評注本題通過兩邊同乘x-1，使式子的兩邊結構相同，再構造函數(shù)，這種構造十分巧妙，需要有敏銳的觀察力以及對同構變換技巧的掌握達到一定的熟練程度.

七、使式子兩邊符合型結構

觀察式子的結構特征，通過巧妙的配湊，使式子兩邊的結構符合型結構，然后再構造函數(shù)利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

例8已知0＜a ＜b ＜1，比較a·eb與b·ea的大小.

解要比較a·eb與b·ea大小，即比較大小，令f(x)=則f′(x)=所以f(x)在區(qū)間(0,1)是單調(diào)遞減，因為0＜a ＜b ＜1，所以f(a)＞f(b)，所以所以a·eb ＜b·ea.

評注本題通過對兩個數(shù)同除以ab，使式子的兩邊結構相同，再構造函數(shù)，使問題巧妙求解.

八、使式子兩邊符合x ln x 型結構

觀察式子的結構特征，通過巧妙的配湊，使式子兩邊的結構符合xlnx結構型，然后再構造函數(shù)f(x)=xlnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

例9若對任意x≥1，恒有a(eax-1)＞2(x-)·lnx(a ＞0)，則實數(shù)a的取值范圍是( )

A.(0,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.(0,)

解由a(eax -1)＞2(x-)·lnx，得a(eax -1)＞即(eax -1)·ln eax ＞(x2-1)·lnx2，令g(x)=(x-1)lnx，則g(eax)＞g(x2)，g′(x)=所以g′(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞增，又g′(1)=0，所以g(x) 在(0,1) 上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，于是當x≥1 時，g(eax)＞g(x2)，eax ＞x2，ax ＞2 lnx，a ＞恒成立，令h(x)=(x≥1)，h′(x)=，由h′(x)＞0 得1 ≤x ＜e，由h′(x)＜0得x ＞e，所以h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增，(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)max=h(e)=所以故選C.

評注將已知不等式化為(eax-1)·ln eax ＞(x2-1)·lnx2，通過觀察結構特征，根據(jù)同構變換的策略，構造函數(shù)g(x)=(x-1)lnx，把問題又劃歸到不等式g(eax)＞g(x2)，再利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性，把不等式進一步劃歸到簡單不等式eax ＞x2，這種變形雖運算量不大，但技巧性卻非常強.

九、使式子兩邊符合x+ln x 型結構

觀察式子的結構特征，通過巧妙的配湊，使式子兩邊的結構符合x+lnx結構型，然后再構造函數(shù)f(x)=x+lnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

例10已知實數(shù)α,β滿足αeα=e3，β(lnβ -1)=e4，其中e 是自然對數(shù)的底數(shù)，則αβ=____

解法1對所給的兩個式子兩邊分別取對數(shù)，則有α+lnα=3，lnβ-1+ln(lnβ-1)=3，令f(x)=x+lnx，f(α)=3，f(lnβ -1)=3，f(α)=f(lnβ -1)，易 知f(x)=x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以α=lnβ-1，lnβ-1+lnα=3，ln(αβ)=4，αβ=e4.

解法2由β(lnβ -1)=e4得，=e3=αeα=eαln eα，令f(x)=xlnx，=f(eα)，易 知f(x) 在(1,+∞) 上單調(diào)遞增，易知，eα ＞1，所以=αeα=e3，所以αβ=e4.

評注(1)解法一通過巧妙配湊，使式子兩邊符合x+lnx結構型，然后再構造函數(shù)f(x)=x+lnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

(2)解法二通過巧妙配湊，使式子兩邊符合xlnx結構型，然后再構造函數(shù)f(x)=xlnx，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

十、使式子兩邊符合型結構

觀察式子的結構特征，通過巧妙的配湊，使式子兩邊的結構符合結構型，然后再構造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)使問題巧妙求解.

例11對任意x ＞0，求證:x2＜(ex-1)ln(x+1).

證明即證即 證令f(x)=易知函數(shù)f(x) 在(0,+∞) 上單調(diào)遞減，又易知x ＞0 時，x ＜ex -1，所以f(x)＞f(ex-1)，即命題得證.

同構變換為我們解題帶來了新思路、新視野，其解法靈活、巧妙、簡捷、新穎，給人帶來美的享受和震撼，也使人們的思維在更廣闊的空間得到發(fā)展，對培養(yǎng)人們積極思考、善于觀察、勇于創(chuàng)新、追求簡單的探究精神大有裨益.