廣東省廣州市第十六中學(510080) 溫伙其

設點P(x,y) 是平面上的任一點，在變換φ:的作用下，點P(x,y) 對應到點P′(x′,y′)，則稱φ為平面直角坐標系中的伸縮變換.在此變換下，有以下常用性質(zhì):

性質(zhì)1在φ的作用下，點仍然對應點，直線仍然對應直線，若一個點在直線上，變換后的對應點也在對應直線上.

性質(zhì)2在φ的作用下，兩條平行直線的像仍然平行，兩條相交直線像仍然相交，共點的直線的仍然是共點直線.

性質(zhì)3在φ的作用下，A,B兩點分別對應到A′,B′兩點，若直線AB的斜率為k，直線A′B′的斜率為k′，則

性質(zhì)4在φ的作用下，線段AB對應到線段A′B′，設它們的長度分別為|AB|,|A′B′|，則

性質(zhì)5在φ的作用下，不共線的三點A,B,C分別對應到不共線的三點A′,B′,C′，設ΔABC的面積為S，ΔA′B′C′的面積為S′，則

特別的，在φ的作用下，橢圓=1(a ＞b ＞0)變換為單位圓x′2+y′2=1.

根據(jù)上述伸縮變換的特殊性質(zhì)，我們可把橢圓變換為圓，則直線與橢圓的位置關系轉化為直線與圓的位置關系.而圓是我們相當熟悉的幾何圖形，具有較多特殊性質(zhì).在圓中研究圖形的特征和位置關系后再還原到橢圓中，從而得到橢圓的相應特征和位置關系，以此開辟研究橢圓問題的另一途徑，也可達到簡化計算的功能.下面通過高考真題闡述以上伸縮變換性質(zhì)的應用.

一、求斜率的應用

例1(2015年高考新課標Ⅱ卷理科第20 題(節(jié)選))已知橢圓C:9x2+y2=m2(m ＞0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M.

(Ⅱ)若l過點(,m)，延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形? 若能，求此時l的斜率;若不能，說明理由.

解析令橢圓變換為單位圓x′2+y′2=1，點(,m) 變換為點(1,1)，如下圖1.1～1.2，要使四邊形OAPB為平行四邊形，根據(jù)伸縮變換的圖形不變性知，四邊形O′A′P′B′應為菱形，則O′到直線A′B′的距離為設直線A′B′的斜率為k′，且知直線A′B′過點(1,1)，故直線A′B′的方程為y′-1=k(x′-1)，即kx′-y′-k′+1=0，則由伸縮變換性質(zhì)3 知所以k=3k′，因此解得直線l的斜率

圖1.1

圖1.2

感悟原橢圓的平行四邊形在伸縮變換后變?yōu)榱庑危c(,m)在伸縮變換后變?yōu)辄c(1,1)，因此圓心O′到直線A′B′的距離就等于容易求得直線A′B′的斜率為k′，進而求得原直線l的斜率.所以涉及橢圓弦斜率的處理，我們都可類似解決.

二、求弦長的應用

例2(2016年高考四川卷理科第20 題) 已知橢圓=1(a ＞b ＞0) 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3 個頂點，直線l:y=-x+3 與橢圓E有且只有一個公共點T.

(Ⅰ) 求橢圓的方程及點T的坐標;

(Ⅱ) 設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P.證明: 存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

圖2.1

圖2.2

解析(Ⅰ)易得橢圓E的方程為;點T的坐標為(2,1);

②×③得:

①÷④得:

再根據(jù)相交弦定理，有|P′T′|2=|P′A′|·|P′B′|，代入⑤得所以存在常數(shù)使得|PT|2=

感悟橢圓的弦長公式而圓的弦長公式兩者對比，圓的弦長垂徑定理幾何處理天然優(yōu)勝于橢圓的弦長的代數(shù)處理.所以涉及橢圓的弦長計算，不妨借助伸縮變換，先轉換為求單位圓的弦長，然后再還原為橢圓弦長.

三、求橢圓內(nèi)接三角形的面積及其最值的應用

例3(2011年高考山東卷理科第22 題(節(jié)選))已知直線l與橢圓交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)兩不同點，且ΔOPQ的面積SΔOPQ=其中O為坐標原點.(Ⅲ) 橢圓C上是否存在點D，E，G，使得SΔODE=SΔODG=SΔOEG=若存在，判斷ΔDEG的形狀;若不存在，請說明理由.

解析令變換為單位圓x′2+y′2=1，橢圓上的點D，E，G，變換為單位圓上的點D′，E′，G′，由伸縮變換性質(zhì)5 知同理根據(jù)正弦定理面積公式，有

解 得∠D′O′E′=∠D′O′G′=∠E′O′G′=因 為∠D′O′E′+∠D′O′G′+∠E′O′G′=/=2π，所以單位圓上不存在三點D′，E′，G′，使得SΔO′D′E′=SΔO′D′G′=因此橢圓C上不存在點D，E，G，使得SΔODE=SΔODG=SΔOEG=

感悟橢圓的內(nèi)接三角形面積問題一般都是弦長結合點線距離求解，而伸縮變換到單位圓后，三角形面積可以正弦定理轉化為角解決，也可用圓的垂徑定理求得底和高解決，極大的拓展了解題方向.

四、求橢圓內(nèi)接四邊形的面積及其最值的應用

例4(2008年高考全國Ⅱ卷理科第21 題(節(jié)選))設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k ＞0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點.(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.

解析依題意得橢圓的方程為直線AB的方程為x+2y=2.在伸縮變換下，橢圓變換為單位圓x′2+y′2=1，且點A′,B′的坐標分別為(1,0),(0,1)，如下圖3.1～3.2，由圓的圖形性質(zhì)知，當A′B′⊥E′F′時，SA′E′B′F′取最大值，所以

圖3.1

圖3.2

感悟特殊四邊形，容易求得其面積;非特殊四邊形面積的解決，應充分挖掘其幾何特征，如對角線相互垂直.更特殊的，橢圓內(nèi)接四邊形其中一條對角線過對稱中心，則對應單位圓中它則為直徑，這些都為為橢圓內(nèi)接四邊形面積的解決開辟了新的方向.

五、其它考題鏈接

1.(2016年高考四川卷文科第20 題(節(jié)選)) 已知橢圓=1(a ＞b ＞0)的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.

(Ⅱ)設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

(Ⅰ) 求橢圓C的方程; (Ⅱ) 求ΔAPB面積取最大值時直線l的方程.(參考答案: (Ⅰ)=1; (Ⅱ)

3.(2015年高考上海卷理科第21 題(節(jié)選)) 已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別與橢圓交于A、B和C、D，記得到的平行四邊形ACBD的面積為S.(Ⅱ)設l1與l2的斜率之積為求面積S的值.(參考答案: 2)

伸縮變換使得橢圓問題化歸圓解決，如本文所述，當對應圓中圖形涉及中點、斜率、長度、面積、平行、垂直等特殊幾何關系時，先在圓的幾何背景下求解問題，然后根據(jù)伸縮變換性質(zhì)，還原到橢圓得到相應結論，能有效避免橢圓的繁雜代數(shù)運算過程，使得數(shù)形結合思想進一步深化.