馬燦洪，鞏琪娟，嚴(yán)彥成，黃崢，王建暉

（廣州大學(xué)機(jī)械與電氣工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

0 引言

隨著機(jī)器人執(zhí)行任務(wù)的難度和性能要求的提高，人們對(duì)移動(dòng)機(jī)器人在未知復(fù)雜環(huán)境下能夠快速穩(wěn)定開展工作和擁有良好的抗擾動(dòng)性能有更高的期望[1]。因此，設(shè)計(jì)一個(gè)抗干擾能力強(qiáng)，能夠有限時(shí)間穩(wěn)定的輪式機(jī)器人控制系統(tǒng)十分重要。

backstepping方法是在許多軌跡跟蹤控制研究中最為常見、被廣泛使用的方法之一。文獻(xiàn)［2］在前輪轉(zhuǎn)向、后輪驅(qū)動(dòng)的AGV運(yùn)動(dòng)學(xué)模型下運(yùn)用backstepping和Lyapunov函數(shù)相結(jié)合的思路，設(shè)計(jì)了一種受非完整約束的AGV軌跡跟蹤控制器。文獻(xiàn)［3］考慮驅(qū)動(dòng)電機(jī)模型的影響和Heisenber系統(tǒng)形式，采用backstepping設(shè)計(jì)推導(dǎo)出了能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的動(dòng)力學(xué)跟蹤控制律。文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］也都利用了backstepping方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤?；？刂埔蚱浞磻?yīng)速度快、抗干擾能力強(qiáng)、跟蹤效果好等優(yōu)點(diǎn)而受到廣大科研工作者的關(guān)注。文獻(xiàn)［6-7］采用Lyapunov函數(shù)來找到滑模控制的期望滑模面，利用滑模控制的特性實(shí)現(xiàn)了所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的指數(shù)漸進(jìn)穩(wěn)定到參考軌跡。文獻(xiàn)[8]針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用自適應(yīng)模糊滑模逼近的控制策略，結(jié)合滑?？刂婆c智能控制，有效地減少了滑模控制的抖動(dòng)現(xiàn)象。另外，由于人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，很多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、模糊控制等智能控制方法開始嶄露頭角[9,10]。文獻(xiàn)［11］中采用遺傳算法對(duì)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)的控制參數(shù)進(jìn)行自主優(yōu)化從而讓系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確的軌跡跟蹤。文獻(xiàn)［12］是針對(duì)視覺伺服機(jī)器人給出了一種模糊視覺軌跡跟蹤控制方法。

以上方法的提出為軌跡跟蹤控制的發(fā)展和研究起到了重要的推動(dòng)作用，然而這些方法屬于無限時(shí)間控制會(huì)存在跟蹤時(shí)間過長(zhǎng)或是跟上參考軌跡的時(shí)間趨于無窮大，從而引起跟蹤性能下降。本設(shè)計(jì)目標(biāo)是為輪式機(jī)器人設(shè)計(jì)一個(gè)抗干擾有限時(shí)間穩(wěn)定控制系統(tǒng)。首先結(jié)合動(dòng)力學(xué)模型將跟蹤誤差模型分解成角速度誤差系統(tǒng)和位置誤差系統(tǒng)，然后分別對(duì)角速度誤差系統(tǒng)進(jìn)行有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)，對(duì)位置誤差利用backstepping構(gòu)造輸出的Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)線速度控制器。最后仿真結(jié)果表明該控制系統(tǒng)效果良好，滿足輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制要求。

1 輪式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型

本章研究對(duì)象為二自由度輪式機(jī)器人，當(dāng)不考慮車輪滑動(dòng)時(shí)，該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型如下微分方程描述：

式中，y，x是輪式機(jī)器人的笛卡兒坐標(biāo)描述，θ為輪式機(jī)器人的航向角，u1可以看成移動(dòng)時(shí)提供動(dòng)力的力矩，v和ω分別為控制輸入信號(hào)。

定義位置和航向跟蹤誤差向量(xeyeθe)T定義為：

由此可導(dǎo)出跟蹤誤差模型為：

式中，vr和ωr為參考輸入信號(hào)，圖1為跟蹤誤差向量的坐標(biāo)系。

2 軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)

考慮動(dòng)力學(xué)模型情況下將跟蹤誤差模型分解成角速度誤差系統(tǒng)和位置誤差系統(tǒng)，其中角速度誤差系統(tǒng)的狀態(tài)量為θe和ω，位置誤差系統(tǒng)的狀態(tài)量為xe和ye。然后對(duì)位置誤差系統(tǒng)利用backstepping構(gòu)造輸出的Lyapunov函數(shù)設(shè)計(jì)線速度控制器，從而使這個(gè)串級(jí)誤差系統(tǒng)收斂有界，就可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定輸入q=(ω，v)實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤或調(diào)節(jié)。

軌跡跟蹤誤差模型改寫成如下形式：

2.1 有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

對(duì)角速度誤差系統(tǒng)（4），根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型（1）和跟蹤誤差模型（2）可得到：

2.2 位置誤差系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

第一步，由（5）可知定義Lyapunov函數(shù)為

3 輪式機(jī)器人的抗干擾有限時(shí)間穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)仿真

為了驗(yàn)證這種有限時(shí)間穩(wěn)定控制方法的可行性，下面根據(jù)上述的理論分析，采用MATLAB軟件分別對(duì)有限時(shí)間穩(wěn)定控制系統(tǒng)和傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進(jìn)行了以下的對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)模型的仿真流程

針對(duì)跟蹤誤差模型分解成位置跟蹤系統(tǒng)和航向角跟蹤系統(tǒng)，分別以一種遞歸的方式對(duì)位置跟蹤系統(tǒng)和航向角跟蹤系統(tǒng)構(gòu)造出Lyapunov函數(shù)，最后推導(dǎo)出可以使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)[13，14]滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的兩條控制定律分別為：

由此仿真程序流程圖：

3.2 有限時(shí)間穩(wěn)定的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)模型的仿真流程

根據(jù)前面對(duì)角速度誤差系統(tǒng)設(shè)計(jì)的有限時(shí)間控制律（10）和虛擬控制函數(shù)（17）給出仿真程序流程圖：

其中，有限時(shí)間控制系統(tǒng)的位姿誤差初始值和參考模型參數(shù)給定如下：ωr=1，vr=1，[xe，ye，θe]=[3，0，0]，對(duì)系統(tǒng)（4）和（5），控制器參數(shù)選取為τ1=90，τ2=65，ξ1=0.6，ξ2=0.75，λ1=6，λ2=6。

對(duì)已經(jīng)搭建好的模型在穩(wěn)定運(yùn)行3秒后加入擾動(dòng)：

3.3 仿真結(jié)果及分析

運(yùn)行后得到的仿真結(jié)果如下圖所示：

由圖4和圖5可以看出，傳統(tǒng)控制方法的跟蹤軌跡出現(xiàn)了明顯偏離參考軌跡的情況，而有限時(shí)間控制系統(tǒng)在一定時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)了精準(zhǔn)跟蹤，且跟蹤軌跡與參考軌跡幾乎重合；對(duì)比圖6和圖7，在第3秒加入干擾后，傳統(tǒng)控制方法出現(xiàn)了較大的誤差，而有限時(shí)間控制方法完全不受影響，跟蹤誤差接近于零，這也符合前面對(duì)有限時(shí)間控制方法具有良好的抗干擾能力的論述；圖8和圖9也說明有限時(shí)間控制方法能在有限時(shí)間內(nèi)快速跟蹤，且具有更高的穩(wěn)定性能。

4 結(jié)論

本文主要是針對(duì)傳統(tǒng)控制方法很多都屬于無限時(shí)間控制，存在跟蹤時(shí)間過長(zhǎng)、抗干擾能力差等缺點(diǎn)，為此提出了輪式機(jī)器人的抗干擾有限時(shí)間穩(wěn)定控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究。基于已有的輪式機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型和跟蹤誤差模型，針對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行相應(yīng)的理論分析后設(shè)計(jì)有限時(shí)間控制器和應(yīng)用反步法以遞歸方式設(shè)計(jì)虛擬控制函數(shù)，以使得跟蹤誤差系統(tǒng)能夠全局有限時(shí)時(shí)間漸進(jìn)穩(wěn)定。通過與傳統(tǒng)軌跡跟蹤控制系統(tǒng)進(jìn)行的加入擾動(dòng)仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)可以得出，在有限時(shí)間內(nèi)，所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間穩(wěn)定控制系統(tǒng)可以更快實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)跟蹤，且具有良好的抗擾動(dòng)性和穩(wěn)定性。