張軍，張新宇，劉菊紅，吳國棟，吳國榮

數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程的教學模式

張軍，張新宇，劉菊紅，吳國棟，吳國榮

（內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學 理學院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010018）

基于線性代數(shù)理論性較強和數(shù)學建模實踐性較強的特點，將線性代數(shù)與數(shù)學建模相結(jié)合是理論教學與實踐應(yīng)用相輔相成的有效方法．為了幫助學生更好地將線性代數(shù)知識貫穿到實踐應(yīng)用中，提出將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式課堂教學模式．通過實際教學案例的設(shè)計過程，說明所提出的三段式課堂教學模式具有一定的可行性，這為線性代數(shù)課程教學改革提供了新的思路與參考．

線性代數(shù)；數(shù)學建模；教學模式

與高等數(shù)學課程相比，線性代數(shù)課程的內(nèi)容相對比較枯燥、計算過程相對比較復雜，導致很多學生都只以通過線性代數(shù)課程的考試為學習目的，對課程本身缺乏學習興趣．2005年，李大潛院士提出“將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課”以來，數(shù)學建模進入線性代數(shù)課堂已經(jīng)成為數(shù)學教學改革的趨勢之一[1]．在高校線性代數(shù)教學中融入數(shù)學建模思想與方法，結(jié)合實際案例進行理論知識講解，不僅可以降低學生學習理論知識的難度，增加學生學習的積極性，激發(fā)學生學習的主動性，而且還可以創(chuàng)造性地解決實際問題，提升學生的綜合應(yīng)用素質(zhì)[2-6]．

目前，許多從事線性代數(shù)教學工作的一線教師都在探討將數(shù)學建模思想有效地融入線性代數(shù)課程的教育教學改革，但在具體的教學實踐中取得的效果并不十分顯著，主要面臨以下困難與問題：（1）線性代數(shù)課程包含的理論知識復雜度與抽象性較高，課時壓縮導致教師授課學時比較緊張，不得不采用“滿堂灌”式的教學方式，致使很多學生失去對線性代數(shù)課程學習的興趣，無法真正地理解和掌握課程的核心理論與方法，仍然停留在為了應(yīng)付考試而學習的層面．（2）目前使用的線性代數(shù)教材版本陳舊，內(nèi)容更新緩慢，教學案例也相對陳舊，不能緊跟各領(lǐng)域各學科的研究前沿，不利于培養(yǎng)學生利用數(shù)學方法解決實際問題的創(chuàng)新能力．（3）在數(shù)學建模思想有效融入線性代數(shù)教學的過程中，選取合適的建模案例較為困難，若教學案例太過簡單，則不能有效培養(yǎng)學生運用數(shù)學理論知識解決現(xiàn)實問題的能力；若案例太復雜，則學生不容易全面理解，重點掌握．（4）自從國內(nèi)1992年舉辦全國大學生數(shù)學建模競賽以來，大部分高校都開設(shè)了數(shù)學建模競賽培訓課程，這在一定程度上促進了學生對數(shù)學建模思想與方法的學習[7-8]．然而，單純的數(shù)學建模競賽培訓教學，又使得大多數(shù)學生只為參加數(shù)學建模競賽而學習，無法對理論知識進行系統(tǒng)的學習，解決實際問題的動手實踐能力不能得到全面的培養(yǎng)和提高．

針對上述問題，亟需解決的重要課題是如何通過有效方法將數(shù)學建模思想融入到線性代數(shù)課程教學中,以提升課堂教學效果．本文重點討論在線性代數(shù)課程中融入數(shù)學建模思想的教學模式與實際案例，旨在為線性代數(shù)理論教學與數(shù)學建模實踐教學的深度融合提供一定的參考．

1　線性代數(shù)課程融入數(shù)學建模思想的三段式教學模式

實際上線性代數(shù)課程中很多抽象復雜的概念與計算都有實際問題的背景與意義，若只講解抽象復雜的理論部分，脫離實際問題的情景，學生不易理解，并失去學習的興趣．因此，將具有實際意義的數(shù)學建模案例引入線性代數(shù)的理論教學中，理論與實踐相結(jié)合，才會取得較好的教學效果．然而，建模案例的使用絕不能脫離教學內(nèi)容，應(yīng)相輔相成，深度融合，形成三段式的教學模式結(jié)構(gòu)（見圖1），才能最終達到理論與實踐相統(tǒng)一的良好效果．

圖1　將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式教學模式結(jié)構(gòu)

第一階段：問題轉(zhuǎn)化．引入實際問題，引導學生對實際問題進行數(shù)學語言描述．事實上，在整個數(shù)學建模過程中，將實際問題采用數(shù)學語言和數(shù)學思維轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是較為困難的，正是由于沒有很好地理解數(shù)學的符號語言以及數(shù)學思維，很多學生不能把實際生活中遇到的問題用數(shù)學符號語言簡潔明了地描述清楚．教師要通過對實際問題給出的條件逐一抽絲剝繭，引導學生用數(shù)學語言逐漸勾勒出實際問題的數(shù)學基本框架．

第二階段：模型建立．通過對數(shù)學理論的分析，建立合適的數(shù)學模型，這一部分是數(shù)學建模與線性代數(shù)理論結(jié)合的思想內(nèi)核部分．教師要采用問題驅(qū)動的方式，讓學生獨立思考，充分參與知識發(fā)現(xiàn)的過程，通過構(gòu)建實際問題的數(shù)學模型，逐步完成線性代數(shù)理論部分的講解．

第三階段：模型求解．基于對實際問題的數(shù)學語言描述和數(shù)學模型構(gòu)建，在充分理解了線性代數(shù)理論與方法部分的實際背景與現(xiàn)實意義之后，最終要使用數(shù)學方法求解數(shù)學模型，得到符合實際意義的結(jié)果．教師引導學生對數(shù)學模型進行求解的過程，可以讓學生充分體會到理論知識與數(shù)學方法的實用性與重要性，從而提升學生的學習興趣．

2　案例設(shè)計

案例1（城鄉(xiāng)人口遷移動態(tài)分析）對城鄉(xiāng)人口流動做年度調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有一個穩(wěn)定的朝向城鎮(zhèn)流動的趨勢．每年農(nóng)村居民的2.5%移居城鎮(zhèn)，而城鎮(zhèn)居民的1%遷出到鄉(xiāng)村[9]，現(xiàn)在總?cè)丝诘?0%位于城鎮(zhèn)．假如城鄉(xiāng)總?cè)丝诒３植蛔?，并且人口流動的這種趨勢繼續(xù)下去，分別考察1年以后、2年以后、10年以后城鎮(zhèn)人口所占比例，以及一直持續(xù)下去的最終結(jié)果．

第一階段：問題轉(zhuǎn)化，即針對所提出的實際問題，用數(shù)學語言進行描述將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．

第二階段：模型建立，即對數(shù)學問題進行理論分析，建立恰當?shù)臄?shù)學模型．

第三階段：模型求解，即運用線性代數(shù)中的數(shù)學方法求解數(shù)學模型．

通過對建模案例的分析與求解過程，不僅掌握了方陣相似對角化的計算與作用，并且在實踐運用中建立了城鄉(xiāng)人口遷移的動態(tài)模型，便于對城鎮(zhèn)人口流動問題進行更好的規(guī)劃和管理．這是一個典型的將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)教學中的三段式教學模式結(jié)構(gòu)案例：通過引入背景問題激發(fā)學生的學習興趣[10]；通過引導學生用數(shù)學語言把實際問題描述成數(shù)學問題進而建立數(shù)學模型的過程，讓學生切實體會到矩陣及其運算在建立數(shù)學模型中的作用；通過指導學生用數(shù)學方法求解以矩陣為元素的差分方程模型的過程，融入通過矩陣對角化求解方陣高次冪的計算方法，讓學生切實體會矩陣對角化的實用性，達到邊學邊用的良好效果．通過三段式教學模式，可以幫助學生拓展思維，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力，舉一反三，解決其它相關(guān)的實際問題．

案例2（單行道路網(wǎng)車流量問題）某城市某區(qū)域單行道路網(wǎng)見圖2．據(jù)統(tǒng)計，進入交叉路口A的車流量為每小時500輛，而從路口B和路口C出來的車流量分別為每小時350輛和150輛．求每一條道路每小時的車流量；若BC路段封閉，計算各段的車流量．

圖2　單行道路網(wǎng)

第一階段：針對所提出的實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言進行描述．

第二階段：通過對數(shù)學理論的分析，建立恰當?shù)臄?shù)學模型．

第三階段：運用線性代數(shù)中的數(shù)學工具求解數(shù)學模型．

分析所建立的方程組，求解該方程組的解，正是線性代數(shù)中利用矩陣知識解決方程組解的問題．通過具體的求解過程，讓學生能夠?qū)υ摬糠种R融會貫通．

寫出方程組的增廣矩陣，對其實施初等行變換，將其化為行最簡形矩陣，即

通過對案例2問題的建模與求解過程，可以將線性代數(shù)中求解線性方程組的理論知識與道路交通的實際問題很好融合，不僅可以幫助學生掌握基本的線性方程組理論，也可通過實例的求解將理論與實踐相結(jié)合，達到更好的教學效果．

3 結(jié)語

數(shù)學建模思想不僅是一種解決實際問題的手段，還是一種數(shù)學的思考方法．數(shù)學建模應(yīng)用的廣泛性和學習過程的趣味性與開放性，在激發(fā)學生學習興趣的同時，還可以提高學生的主動探索精神與創(chuàng)新思維能力．將數(shù)學建模實踐與數(shù)學理論教學相結(jié)合已經(jīng)成為培養(yǎng)高質(zhì)量人才的有效途徑．本文基于線性代數(shù)課程內(nèi)容的抽象性與數(shù)學建模過程的實踐性，提出將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程的三段式課堂教學模式，不僅可以培養(yǎng)學生運用線性代數(shù)理論知識解決實際問題的能力，并且可以為提高線性代數(shù)課堂效率提供教學模式參考．

[1] 李大潛．將數(shù)學建模思想融入數(shù)學類主干課程[J]．中國大學教學，2006（1）：9-11

[2] 段勇，黃廷祝．將數(shù)學建模思想融入線性代數(shù)課程教學[J]．中國大學教學，2009（3）：43-44

[3] 趙麗棉，黃基廷．《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》教學與數(shù)學建模思想方法的融入[J]．教育教學論壇，2012（6）：48-50

[4] 姜啟源，謝金星．一項成功的高等教育改革實踐——數(shù)學建模教學與競賽活動的探索與實踐[J]．中國高教研究，2011（12）：79-83

[5] 梁海峰．通過數(shù)學建模培養(yǎng)獨立學院學生應(yīng)用創(chuàng)新能力的研究與實踐[J]．科技視界，2016（26）：41-69

[6] 韓中庚，劉向明，杜劍平．深入開展數(shù)學建?；顒樱囵B(yǎng)學生的綜合應(yīng)用素質(zhì)[J]．數(shù)學建模及其應(yīng)用，2012（4）：24-28

[7] 姜啟源，李志宏．開展數(shù)學建模競賽提高學生綜合素質(zhì)[J]．教學與教材研究，1999（3）：21-23

[8] 李大潛．中國大學生數(shù)學建模競賽[M]．北京：高等教育出版社，2001

[9] 馬艷琴，張榮艷，陳東升．線性代數(shù)案例教程[M]．北京：科學出版社，2012

[10] 李清華．數(shù)學建模思想有效融入線性代數(shù)教學的探析[J]．教育現(xiàn)代化，2018，5（39）：77-79

The teaching mode of integrating mathematical modeling idea into linear algebra course

ZHANG Jun，ZHANG Xinyu，LIU Juhong，WU Guodong，WU Guorong

（School of Science，Inner Mongolia Agricultural University，Hohhot 010018，China）

Based on the strong theoretical characteristics of linear algebra and the strong practical characteristics of mathematical modeling，the combination of linear algebra and mathematical modeling is an effective method to supplement theoretical teaching and practical application．In order to help students to better apply linear algebra knowledge into practice，the three-stage classroom teaching mode of integrating mathematical modeling into linear algebra course was put forward．Through the design process of the actual teaching cases, it is proved that the three-stage classroom teaching mode is feasible，which provides a new idea and reference for the teaching reform of linear algebra course．

linear algebra；mathematical modeling；teaching mode

O151∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.014

1007-9831（2020）10-0064-05

2020-05-01

內(nèi)蒙古自治區(qū)教育科學“十三五”規(guī)劃2019年度課題（NGJGH2019333）；內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學教育教學改革研究項目（JGZD201815， JGYB201952）；2019年第一批教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目（201901148037）

張軍（1980-），男，山西懷仁人，副教授，博士，從事數(shù)學建模及其應(yīng)用研究．E-mail：zj325328333@163.com

吳國榮（1974-），男，內(nèi)蒙古興安盟人，教授，碩士，從事時滯微分系統(tǒng)穩(wěn)定性研究．E-mail：wgr9899@126.com