劉海寬，張海豐，馬佳

(佳木斯大學 理學院，黑龍江 佳木斯，154007)

1 用升降算符表示的哈密頓算符

一維諧振子的哈密頓算符可以表示為

(1)

坐標和動量算符滿足對易關(guān)系

(2)

令

(3a)

(3b)

(4a)

(4b)

根據(jù)式(2)，易得

(5)

(6)

(7)

(8)

由式(4)可得

(9)

(10)

2 能量本征值的推導

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

取本征矢|E′〉，并將其被算式(15)作用易得

(16)

E′，E′-?ω，E′-2?ω，…

(17)

對于基態(tài)的能量，根據(jù)式(10)

(18)

易得

E0=?ω/2

(19)

根據(jù)式(8)和式(10)可得

(20)

(21)

E′，E′+?ω，E′+2?ω，…

(22)

另外，由式(6)可以對式(10)做進一步的處理為

(23)

(24)

3 能量本征波函數(shù)的推導

設(shè)諧振子基態(tài)波函數(shù)為ψ0(x)，由于

(25)

根據(jù)式(3)和式(4)可得

(26)

(27)

解得

(28)

式中N0是歸一化常數(shù)，按照波函數(shù)的歸一性

(29)

所以

(30)

另外，由于

(31)

則有

(32)

所以

(33)

(34)

令

ξ=αx

(35)

則

(36)

所以利用基態(tài)波函數(shù)式(28)可以得到

(37)

式(37)中

(38)

4 升降算符作用下本征波函數(shù)遞推關(guān)系推導

取諧振子能量本征矢為|n〉，則正交歸一化條件為

〈n′|n〉=δn′n

(39)

由于升降算符對|n〉的作用滿足

(40a)

(40b)

式中λ、υ待定，所以式(40)的共軛為

(41a)

(41b)

所以由式(40)和式(41)可得

(42a)

(42b)

可以解得

(43a)

(43b)

亦即

(44a)

(44b)

(45a)

(45b)

(46a)

(46b)

下邊給出坐標算符和動量算符作用在能量本征態(tài)上的遞推關(guān)系.由于

(47a)

(47b)

所以

(48)

(49)

(50a)

(50b)

同理，由于

(51a)

(51b)

所以

(52a)

(52b)

(53a)

(53b)

5 本征波函數(shù)遞推關(guān)系的應(yīng)用

(54a)

(54b)

由式(51a)(51b)易知

(55)

(56)

根據(jù)式(52)易知

(57)

(58)

所以

(59)

(60)

(61)

6 結(jié) 論