徐敬崗，鄧景珊，李書(shū)齊

(1.常州工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇常州213164；2.上海大學(xué)，上海200444)

0 引 言

蘭姆波作為超聲無(wú)損檢測(cè)中的一種特殊類型，在金屬薄板的超聲檢測(cè)研究領(lǐng)域中，應(yīng)用越來(lái)越廣泛。國(guó)內(nèi)外無(wú)損檢測(cè)技術(shù)人員相繼對(duì)蘭姆波檢測(cè)技術(shù)進(jìn)行了深入的研究，但由于蘭姆波在激勵(lì)、傳播和信號(hào)處理等方面的復(fù)雜性，導(dǎo)致其在工業(yè)檢測(cè)中的應(yīng)用受到一定的限制。在薄板蘭姆波檢測(cè)技術(shù)的研究過(guò)程中，其頻散特性是關(guān)鍵點(diǎn)，深入理解蘭姆波產(chǎn)生的原理和傳播特點(diǎn)，依據(jù)蘭姆波的頻散特性確定薄板檢測(cè)的合理方案[1]。為了滿足實(shí)際檢測(cè)的需要，如何根據(jù)蘭姆波的頻散特性繪制出解決特定檢測(cè)需求的蘭姆波參數(shù)曲線就成為迫切需要解決的問(wèn)題。因此，滿足特定檢測(cè)需求的蘭姆波參數(shù)曲線的繪制研究將對(duì)蘭姆波在無(wú)損檢測(cè)領(lǐng)域的應(yīng)用具有極其重要的意義。

蘭姆波參數(shù)曲線一般包括相速度-頻厚曲線、群速度-頻厚曲線、激勵(lì)角-頻厚曲線和板中質(zhì)點(diǎn)位移振幅分布-板厚位置曲線。其中相速度曲線是由蘭姆波頻率特征方程求解所得，其他三種曲線則是分別由群速度、激勵(lì)角、質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移與特征方程的解Cp之間特定關(guān)系所確定的不同方程求解所得。群速度曲線表示各模式蘭姆波在對(duì)應(yīng)頻厚條件下的能量傳播速度，激勵(lì)角曲線表示在對(duì)應(yīng)頻厚條件下激勵(lì)產(chǎn)生各模式蘭姆波所應(yīng)采用的入射角度，質(zhì)點(diǎn)位移振幅分布曲線表示各模式蘭姆波在對(duì)應(yīng)頻厚條件下平行和垂直于板材表面方向上振動(dòng)位移的大小，它與蘭姆波在板中的能量分布狀況存在一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。在求解蘭姆波頻率特征方程中，薄板的縱波速度Cl、橫波速度Cs、頻厚積f·d(薄板厚度d與檢測(cè)頻率f的乘積)是三個(gè)獨(dú)立變量，由于頻厚積由實(shí)際檢測(cè)條件確定，因此薄板的縱波和橫波聲速就成為求解蘭姆波頻率特征方程和繪制蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線的關(guān)鍵參數(shù)。

1 蘭姆波特征方程

蘭姆波根據(jù)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)特點(diǎn)和波動(dòng)特性的不同，可以分為對(duì)稱和反對(duì)稱兩種模式，對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式均有不同的階次，對(duì)稱模式包括：S0、S1、S2··，反對(duì)稱模式包括：A0、A1、A2··[2]。若滿足自由邊界的條件，蘭姆波特征方程可表示為[3]

對(duì)稱模式：

反對(duì)稱模式：

此組方程看似簡(jiǎn)單，實(shí)則隱含著多種變化情況，同時(shí)此頻率特征方程的特性決定了蘭姆波是具有多模式和頻散特性的，且模式不同，非線性關(guān)系也不同。公式中的蘭姆波相速度Cp并非常數(shù)，而是隨頻厚積f·d的變化而改變，蘭姆波的此種特性反映在相速度(Cp)-頻厚積(f·d)平面內(nèi)，即表現(xiàn)為一系列特性曲線，也就是所謂的蘭姆波相速度頻散曲線[4]。

2 蘭姆波特征方程算法分析

2.1 方程分析

求解蘭姆波對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式方程時(shí)，以蘭姆波相速度Cp為自變量，求解過(guò)程會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單，若令x=f·d，則式(1)和式(2)分別可變換為式(3)[4]和式(4)：

式(3)和式(4)中各系數(shù)的值隨蘭姆波相速度Cp的變化而變化。對(duì)于一般的材料，滿足Cs＜Cl，對(duì)稱模式方程式(3)中各系數(shù)的值如表 1[4]所示，反對(duì)稱模式方程式(4)中各系數(shù)的值如表2所示。

2.2 算法分析思路

為了更透徹地分析蘭姆波特征方程和避免方程求解無(wú)意義的情況出現(xiàn)，特對(duì)方程求解過(guò)程進(jìn)行分段處理，同時(shí)對(duì)特殊點(diǎn)進(jìn)行分析求解。方程分段求解主要從0＜Cp＜Cs、Cs＜Cp＜Cl和 Cl＜Cp三個(gè)區(qū)段進(jìn)行分析，特殊點(diǎn)求解分析主要從Cp=Cl、Cp=Cs和Cp=Cs等幾種情況考慮。在方程分段求解的過(guò)程中，主要用到了二分法的原理，求解相對(duì)容易[5]。其他研究人員已經(jīng)做過(guò)類似的工作，此處僅做簡(jiǎn)單介紹作為參考。鄭玉明等[1]先對(duì)蘭姆波特征方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，隨后從0＜Cp≤Cs、Cs＜Cp≤Cl和Cl＜Cp三個(gè)區(qū)間對(duì)方程進(jìn)行了分析，給出了無(wú)限大蘭姆波頻散曲線的計(jì)算方法。艾春安等[4]以蘭姆波對(duì)稱模式方程為例，先對(duì)Cp=Cl等特殊點(diǎn)進(jìn)行求解分析，然后用二分法從0＜Cp＜Cs、Cs＜Cp＜Cl和Cl＜Cp三個(gè)區(qū)間分段求解。倪園等[6]研究人員以相速度為自變量求解蘭姆波方程，并用Matlab軟件對(duì)求解過(guò)程進(jìn)行了編程。艾春安等[7]根據(jù)蘭姆波運(yùn)動(dòng)的時(shí)間規(guī)律的簡(jiǎn)諧波因子與頻散曲線的物理特性，用數(shù)值迭代法在實(shí)數(shù)域內(nèi)求解頻率特征方程。文獻(xiàn)[8-9]對(duì)蘭姆波方程進(jìn)行了分析，給出Lamb波頻散曲線的數(shù)值計(jì)算方法，繪制了Lamb波在鋁板中傳播的相速度和群速度曲線，并通過(guò)試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。張維剛等[10]保持了頻率和板厚在計(jì)算中的獨(dú)立性，利用牛頓切線法求解了蘭姆波頻率特征方程。

表1 方程式(3)系數(shù)的值[4]Table 1 Coefficient values in Equation(3)[4]

表2 方程式(4)系數(shù)的值Table 2 Coefficient values in Equation(4)

3 算法程序框圖

文中對(duì)蘭姆波特征方程的對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式兩種情況進(jìn)行了簡(jiǎn)單的算法分析，并按照算法分析的思路采用VC++軟件加以編程實(shí)現(xiàn)，繪制出滿足特定檢測(cè)需求的薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線，具體算法程序流程圖如圖1所示。

圖1中計(jì)算模塊1的內(nèi)容為三角方程的求解子程序過(guò)程，而計(jì)算模塊2、計(jì)算模塊3和計(jì)算模塊4為用二分法求解子程序的過(guò)程[4]。

圖1 蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線算法程序流程圖Fig.1 Flow chart of the algorithm for Lamb wave detection parameter curves

4 薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線繪制軟件的應(yīng)用

文中所設(shè)計(jì)的薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線繪制軟件主要包括6個(gè)界面：參數(shù)設(shè)置、數(shù)據(jù)查找、相速度曲線、群速度曲線、質(zhì)點(diǎn)位移振幅分布曲線和激勵(lì)角曲線界面。下面以厚度為 3 mm的1Cr18Ni9Ti不銹鋼板材為例作詳細(xì)說(shuō)明。

4.1 參數(shù)設(shè)置界面

該界面是運(yùn)行所編制程序以后首先進(jìn)入的一個(gè)界面，在此界面中設(shè)定所需要的各項(xiàng)參數(shù)，其中最基本的幾項(xiàng)參數(shù)為：板材材質(zhì)、縱波聲速、橫波聲速、斜楔中縱波聲速和板材厚度，而另外幾項(xiàng)參數(shù)在設(shè)定好之后，如果沒(méi)有特殊需要，基本不做修改。以不銹鋼 1Cr18Ni9Ti為例，選用聚楓斜楔(其中聲速為2 350 m·s-1)，相速度曲線橫坐標(biāo) f·d最大值設(shè)為10 MHz·mm，縱坐標(biāo)Cp的最大值設(shè)為14 000 m·s-1，板厚設(shè)為 3 mm，再將不銹鋼的縱波和橫波聲速輸入相應(yīng)的文本框中，頻厚積步長(zhǎng)和相速度步長(zhǎng)已在程序中設(shè)定，無(wú)須更改。具體參數(shù)設(shè)置如圖2所示。

圖2 參數(shù)設(shè)置界面Fig.2 Parametre setting interface

4.2 數(shù)據(jù)輸出界面

此界面實(shí)際上是一個(gè)數(shù)據(jù)輸出窗口，專為查找數(shù)據(jù)而設(shè)計(jì)。界面分為兩部分：設(shè)定部分和輸出部分，設(shè)定部分包括模數(shù)和f·d值的輸入，輸出部分則為相速度、群速度和激勵(lì)角的輸出，其中包含了對(duì)稱型和反對(duì)稱型兩種情況。當(dāng)輸入模數(shù)為0、f·d值為7 MHz·mm時(shí)，運(yùn)行程序，輸出如圖3所示的數(shù)據(jù)。

圖3 數(shù)據(jù)輸出窗口Fig.3 Data output window

4.3 相速度曲線

繪制相速度曲線的依據(jù)是蘭姆波的頻散特性,蘭姆波頻率特征方程是求解相速度的基礎(chǔ)。在參數(shù)設(shè)置界面，設(shè)定預(yù)置參數(shù)，縱波聲速 CL為5 780 m·s-1，橫波聲速 CS為 3 053 m·s-1，探頭縱波聲速CL0為2 350 m·s-1，板厚d為3.00 mm，然后運(yùn)行程序，就會(huì)顯示出相速度曲線界面，具體如圖 4所示。由相速度曲線圖可知，隨著頻厚積f·d數(shù)值的增加，S0、A0模式的相速度Cp趨近于瑞利波速度，S1、S2··和 A1、A2··其他高階模式的相速度Cp均趨近于橫波速度Cs。

圖4 相速度曲線Fig.4 Phase velocity curve

4.4 群速度曲線

當(dāng)用脈沖波激發(fā)蘭姆波時(shí)，所得到的蘭姆波是由不同頻率的波組成的，速度各不相同，這種合成振動(dòng)的最大幅度的傳播速度稱為群速度[11]。實(shí)際上具有有限帶寬的脈沖聲波在薄板中是以群速度傳播的。群速度是由相速度推導(dǎo)計(jì)算出來(lái)，且存在一定的差異，具體要看介質(zhì)是否具有頻散性[1]。

為繪制Cg和 f·d之間的關(guān)系曲線,必須求出Cg和fd之間的具體表達(dá)式，并確定相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算模型[12-13]。

對(duì)稱模式：

反對(duì)稱模式：

由于式(5)和式(6)中均含有ω和k，故可看作ω對(duì)k的隱函數(shù)，即可寫(xiě)成G(ω,k)=0的形式，利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，可得：

群速度曲線的算法分析、程序設(shè)計(jì)和繪制過(guò)程與相速度基本相似的，同樣先求出相應(yīng)的相速度Cp值，再判斷蘭姆波的模式類型，進(jìn)而代入群速度公式計(jì)算Cg，然后即可通過(guò)程序繪制出群速度曲線。以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，設(shè)定參數(shù)，運(yùn)行程序，就能繪制出相應(yīng)的群速度曲線，如圖5所示，可以看出，在非頻散性介質(zhì)中，群速度等于相速度，而在頻散性介質(zhì)中，群速度則不等于相速度。

圖5 群速度曲線Fig.5 Group velocity curve

4.5 位移振幅分布曲線

蘭姆波在薄板中傳播導(dǎo)致的振動(dòng)位移振幅分布與不同板厚處的能流分布息息相關(guān)，同時(shí)也直接反映了不同深度處的探傷靈敏度高低[11]。令質(zhì)點(diǎn)水平和垂直位移振幅分別為U、V，質(zhì)點(diǎn)到波導(dǎo)軸(圖6中的z軸)的垂直距離為x，為避免虛數(shù)計(jì)算，可利用雙曲函數(shù)和三角函數(shù)的相互關(guān)系推導(dǎo)出對(duì)稱型和反對(duì)稱型蘭姆波不同區(qū)間的位移振幅U、V的表達(dá)式[11]，具體如下：

對(duì)稱模式：

反對(duì)稱模式：

根據(jù)相速度Cp計(jì)算出薄板中的位移振幅值，并繪制對(duì)稱和反對(duì)稱模式下水平、垂直位移振幅U、V曲線。本程序以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，根據(jù)檢測(cè)需求設(shè)定模數(shù)、頻厚積fd和其他參數(shù)，然后運(yùn)行程序，就能繪制出相應(yīng)的位移振幅分布曲線，具體如圖6所示，圖中z軸為波導(dǎo)軸，x軸表示板厚方向的參量。在板中心，x=0；在板上、下表面位置，x=+d/2和-d/2。

圖6 位移振幅分布曲線Fig.6 Displacement amplitude distribution curve

4.6 激勵(lì)角曲線及應(yīng)用

在薄板中激勵(lì)蘭姆波目前最常用的方法是使用透聲斜楔縱波斜入射法，本文繪制的激勵(lì)角曲線是蘭姆波探頭縱波入射角(激勵(lì)角)選擇的依據(jù)。為了激勵(lì)較強(qiáng)的發(fā)射波，入射角α可由公式(12)[11]計(jì)算確定：

式中：Cl為探頭斜楔中的縱波聲速；Cp為板中所激起的蘭姆波相速度。

利用求出的Cp值及式(12)，即可設(shè)計(jì)程序繪制各種薄板的激勵(lì)角曲線。文中以1Cr18Ni9Ti不銹鋼為例，設(shè)定參數(shù)，運(yùn)行程序，進(jìn)而得到相應(yīng)的激勵(lì)角曲線，具體如圖7所示。

圖7 激勵(lì)角曲線Fig.7 Excitation angle curve

由于蘭姆波各模式的相速度是頻散的，因此在不同頻率點(diǎn)，激發(fā)不同模式的蘭姆波時(shí)入射角都是不同的。準(zhǔn)確的入射角度是激發(fā)蘭姆波的必要條件，蘭姆波換能器入射角精確，不僅可以避免蘭姆波模數(shù)激勵(lì)與識(shí)別的錯(cuò)誤，而且可以提高蘭姆波的能量[14]。本文依據(jù)繪制的激勵(lì)角曲線，確定了特定頻厚積、特定模式對(duì)應(yīng)的激勵(lì)角，選取了合適的蘭姆波換能器斜楔材料，設(shè)計(jì)了蘭姆波換能器斜楔結(jié)構(gòu)參數(shù)，并制作了蘭姆波換能器。

若以最常用的Cl=2 730 m·s-1的有機(jī)玻璃作為換能器斜楔材料，則對(duì)于橫波速度小于3 000 m·s-1的材料(包括某些鋼板在內(nèi))，在頻厚積取值較低(≤3 MHz·mm)的條件下，A0模式的相速度Cp小于斜楔材料中的縱波Cl，因而無(wú)法激勵(lì)產(chǎn)生A0模。因此，需要尋找聲速低、聲衰減小且在金屬薄板界面上聲透射率較大的材料制作換能器斜楔。通過(guò)實(shí)驗(yàn)比較，聲速為2 350 m·s-1的聚楓材料可滿足上述要求。因此，本文選用了聲速為2 350 m·s-1的聚楓作為制作蘭姆波換能器的斜楔材料。

斜楔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)能使底面上反射的聲波經(jīng)斜楔內(nèi)多次反射、散射而衰減并消失，還應(yīng)在斜楔的前端面的頂部開(kāi)設(shè)聲陷阱，澆注吸收塊等把到達(dá)這些界面上的聲能完全吸收，蘭姆波換能器斜楔具體設(shè)計(jì)如圖8所示。

實(shí)驗(yàn)進(jìn)行過(guò)程中，選用頻率為2.5 MHz的壓電陶瓷晶片，針對(duì)不同材質(zhì)、不同厚度板材設(shè)計(jì)了相應(yīng)模式的斜楔結(jié)構(gòu)參數(shù)，具體如表3和表4所示。

通過(guò)以上激勵(lì)角曲線的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析，設(shè)計(jì)并加工了換能器斜楔，制作了蘭姆波換能器，如圖 9所示。

圖8 蘭姆波換能器斜楔設(shè)計(jì)圖Fig.8 Design drawing of the wedge of Lamb wave transducer

表3 S0模對(duì)應(yīng)的蘭姆波換能器斜楔參數(shù)Table 3 Parameters of the wedge of Lamb wave transducer for S0mode

表4 A0模和A1模對(duì)應(yīng)的蘭姆波換能器斜楔參數(shù)Table 4 Parameters of the wedge of Lamb wave transducer wedge for A0and A1mode

圖9 蘭姆波換能器Fig.9 Lamb wave transducer

5 結(jié) 論

從蘭姆波檢測(cè)實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)，本文對(duì)蘭姆波頻率特征方程進(jìn)行了算法分析，提出了以相速度Cp為自變量，同時(shí)采用編程相對(duì)簡(jiǎn)單的二分法分區(qū)間求解的處理方式對(duì)方程進(jìn)行求解，并用 VC++軟件加以編程實(shí)現(xiàn)，設(shè)計(jì)了專門(mén)用于繪制蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線的軟件。實(shí)際計(jì)算及程序運(yùn)行結(jié)果表明，此種方程解法及編程方法是可行的。同時(shí)，此軟件也存在一定的局限性，首先，所繪制參數(shù)曲線顯示的頻厚積范圍有限，未體現(xiàn)大頻厚積對(duì)應(yīng)的頻散曲線；其次，S2模式和A3模式頻散曲線的截止頻率和參考文獻(xiàn)相比偏高。鑒于繪制軟件存在的以上問(wèn)題，需要在日后的工作中逐步進(jìn)行優(yōu)化完善。

在目前金屬薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線資料相對(duì)匱乏的情況下，本文對(duì)金屬薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線進(jìn)行了深入研究，解決了金屬薄板蘭姆波檢測(cè)參數(shù)曲線的繪制和應(yīng)用問(wèn)題，適用于不同材質(zhì)、不同型號(hào)的金屬薄板蘭姆波檢測(cè)，進(jìn)一步推動(dòng)了蘭姆波檢測(cè)技術(shù)在工程實(shí)踐中的應(yīng)用。