王 紅，孫同晶，劉 桐

(杭州電子科技大學(xué)通信信息傳輸與融合技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州310018)

0 引 言

主動(dòng)聲吶目標(biāo)分類(lèi)[1-2]作為水聲信號(hào)處理的重要研究方向之一，在國(guó)防和民用方面都有重要應(yīng)用價(jià)值。主動(dòng)聲吶是常用的水聲設(shè)備[3-4]，通過(guò)接收發(fā)射脈沖信號(hào)與目標(biāo)沖擊響應(yīng)的卷積，得到攜帶大量反映目標(biāo)本質(zhì)信息的回波信號(hào)，用于水下目標(biāo)分類(lèi)研究。典型分類(lèi)方法[5-8]分為特征提取和分類(lèi)器設(shè)計(jì)兩個(gè)部分，如 Li等[9]利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換頻譜對(duì)水雷回波信號(hào)進(jìn)行特征提取，然后利用主成分分析對(duì)特征進(jìn)行壓縮后再放入支持向量機(jī)(Support Vector Machine,SVM)分類(lèi)器進(jìn)行分類(lèi)。但當(dāng)海洋環(huán)境復(fù)雜以及研究目標(biāo)為小物體時(shí)，接收的目標(biāo)回波信號(hào)較弱，基于原信號(hào)的分類(lèi)方法無(wú)法滿足研究需求。

1993年，Mallat等[10]結(jié)合稀疏表示理論解決了低信噪比信號(hào)的處理問(wèn)題。稀疏表示[11]利用信號(hào)在變換域(字典)中具有稀疏的特性，有效地去除了信號(hào)的噪聲[12]，提高了信噪比。稀疏表示是由字典中有限的列向量線性表示信號(hào)的過(guò)程，因此，字典的設(shè)計(jì)直接影響稀疏表示性能。研究初期，信號(hào)的表示大多基于通用的固定字典，如余弦變換基、傅里葉變換基[13]和小波基[14]等。而后，研究者們提出了學(xué)習(xí)字典的方法，其中 K-奇異值分解算法(K-Singular Value Decomposition,K-SVD)算法K-SVD[15]是目前最常用的字典學(xué)習(xí)算法，最早由Aharon等提出，因其快速的計(jì)算效率，受到了廣泛的關(guān)注[16-18]?；谟?xùn)練學(xué)習(xí)的字典帶有目標(biāo)信號(hào)類(lèi)別信息(由目標(biāo)信號(hào)樣本作為初始字典訓(xùn)練出的最貼近目標(biāo)特性的學(xué)習(xí)字典，具有對(duì)同類(lèi)別目標(biāo)更有效的信息)，本文基于字典學(xué)習(xí)這一優(yōu)勢(shì)，提出一種基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示分類(lèi)方法，根據(jù)回波信號(hào)學(xué)習(xí)出帶有類(lèi)別信息的學(xué)習(xí)方式，以重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的匹配度作為分類(lèi)策略進(jìn)行分類(lèi)，有望提高水下目標(biāo)分類(lèi)方法的性能。

1 稀疏表示分類(lèi)基本原理

1.1 稀疏表示原理

稀疏表示是逼近思想的一種衍生。設(shè)一個(gè)回波信號(hào)Y，線性逼近過(guò)程是將Y投影到正交基ψ={ψ1ψ2… ψN} 上，以ψ中N個(gè)向量ψi線性表示Y：

基于信號(hào)逼近的思想，定義稀疏表示：設(shè)N維希爾伯特(Hilbert)空間有一組正交字典D={d1,d2,…,dN}，di為原子函數(shù)，將 Y表示為K(K?N)個(gè)原子的線性組合形式：

把待表示信號(hào)Y考慮為一個(gè)M×1的向量，一般而言，該向量大多數(shù)元素不為0，稀疏表示就是將信號(hào)Y在字典D上表示成具有很多0元素向量X的過(guò)程，使得數(shù)據(jù)具有稀疏性，字典D是一個(gè)M×N的矩陣。稀疏表示原理如圖1所示。

為了用盡可能少的原子表示信號(hào)的本質(zhì)特征，獲得待表示信號(hào)Y的最稀疏形式，限定稀疏系數(shù)非0項(xiàng)的個(gè)數(shù)為ε，求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

圖1 稀疏表示原理圖Fig.1 Schematic diagram of sparse representation

l0-范數(shù)是一個(gè)多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題(NP-hard problem)，很難直接優(yōu)化求解。由于l1-范數(shù)表示計(jì)算非零元素絕對(duì)值之和，是l0-范數(shù)的最優(yōu)凸近似，并且更好優(yōu)化求解，因此，使用l1-范數(shù)替代l0-范數(shù)，優(yōu)化問(wèn)題等價(jià)于如下問(wèn)題：

當(dāng)優(yōu)化目的為得到與信號(hào)Y誤差最小的稀疏表示形式時(shí)，改寫(xiě)優(yōu)化問(wèn)題為

式中，γ表示誤差最大值。

1.2 稀疏表示分類(lèi)

典型的稀疏表示分類(lèi)方法是基于信號(hào)在字典中呈現(xiàn)稀疏狀態(tài)，用一組原子函數(shù)線性地表示信號(hào)，在滿足一定稀疏度的條件下，獲取對(duì)原始信號(hào)的良好近似，并捕捉信號(hào)內(nèi)在的本質(zhì)特征，得到特征明顯的稀疏信號(hào)。在此基礎(chǔ)上選擇并提取特征，最后結(jié)合分類(lèi)器對(duì)信號(hào)進(jìn)行分類(lèi)。

本文提出了基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示水下目標(biāo)分類(lèi)方法(Dictionary Learning-Sparse Representation Classification,DLSRC)，該方法與典型稀疏表示分類(lèi)方法在原理上都是基于信號(hào)在字典中呈稀疏狀態(tài)，將信號(hào)表示為稀疏形式，不同點(diǎn)在于分類(lèi)方法。本文采用學(xué)習(xí)的類(lèi)別字典進(jìn)行分類(lèi)，以重構(gòu)信號(hào)與測(cè)試信號(hào)的匹配度作為分類(lèi)策略，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)分類(lèi)。

2 基于字典學(xué)習(xí)的主動(dòng)聲吶目標(biāo)稀疏表示分類(lèi)方法

2.1 基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示水下目標(biāo)分類(lèi)

本文提出的DLSRC方法，是由字典學(xué)習(xí)算法得到各類(lèi)別字典，通過(guò)各字典重構(gòu)信號(hào)，根據(jù)重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的匹配度來(lái)判斷數(shù)據(jù)的類(lèi)別，DLSRC方法框圖如圖2所示。將實(shí)測(cè)信號(hào)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集導(dǎo)入Matlab程序中，訓(xùn)練集由字典學(xué)習(xí)算法訓(xùn)練出具有類(lèi)別信息的字典，測(cè)試集賦初始類(lèi)別標(biāo)簽。

圖2 DLSRC方法總框圖Fig.2 General block diagram of DLSRC method

具體步驟如下：

(1)導(dǎo)入實(shí)測(cè)信號(hào)：將信號(hào)分為訓(xùn)練集和測(cè)試集導(dǎo)入Matlab軟件中；

(2)加噪聲：利用Matlab軟件通過(guò)仿真給所有信號(hào)加入高斯噪聲；

(3)訓(xùn)練字典：采用K-SVD算法訓(xùn)練出各類(lèi)對(duì)應(yīng)的字典，分別標(biāo)記為字典1、字典2、字典3、字典4；

(4)標(biāo)記測(cè)試信號(hào)：每類(lèi)測(cè)試集附上各自的初始類(lèi)別標(biāo)簽(測(cè)試集本身沒(méi)有標(biāo)簽，此步是為了計(jì)算分類(lèi)模型的準(zhǔn)確率)；

(5)計(jì)算稀疏系數(shù)：測(cè)試信號(hào)分別放入各類(lèi)別字典中，經(jīng)過(guò)正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法得到不同的稀疏系數(shù)(每個(gè)測(cè)試信號(hào)產(chǎn)生4個(gè)稀疏系數(shù))；

(6)重構(gòu)數(shù)據(jù)：由各類(lèi)別字典及對(duì)應(yīng)的稀疏系數(shù)重構(gòu)出對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)；

(7)計(jì)算匹配率：計(jì)算測(cè)試信號(hào)與其對(duì)應(yīng)重構(gòu)數(shù)據(jù)的匹配率(每個(gè)測(cè)試信號(hào)對(duì)應(yīng)4個(gè)匹配度)；

(8)判定標(biāo)簽：找到與測(cè)試信號(hào)匹配率最高的重構(gòu)信號(hào)，判定類(lèi)別與其對(duì)應(yīng)字典相同；

(9)計(jì)算準(zhǔn)確率：判斷初始類(lèi)別標(biāo)簽和新的類(lèi)別標(biāo)簽是否相同，相同即分類(lèi)正確，統(tǒng)計(jì)正確個(gè)數(shù)，得到準(zhǔn)確率。

2.2 基于訓(xùn)練學(xué)習(xí)的字典構(gòu)造

K-SVD算法主要由稀疏編碼和更新字典兩個(gè)步驟迭代。首先，由OMP算法計(jì)算稀疏編碼矩陣，然后逐列更新字典(奇異值分解方法)，同時(shí)在當(dāng)前字典下更新稀疏編碼矩陣，最后反復(fù)迭代、更新，直到收斂或滿足結(jié)束條件。K-SVD算法的流程圖如圖3所示。

圖3 K-SVD字典學(xué)習(xí)算法流程圖Fig.3 Flow chart of k-SVD dictionary learning algorithm

通過(guò)求解如式(4)的優(yōu)化問(wèn)題，得到最優(yōu)字典D。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)初始化：設(shè)訓(xùn)練集為字典D的初始矩陣，初始化稀疏編碼矩陣X為0矩陣；

(2)稀疏編碼：已知字典D，用OMP算法稀疏編碼近似求解稀疏系數(shù)X，懲罰項(xiàng)可以寫(xiě)為

(3)更新字典和稀疏系數(shù)：已知稀疏系數(shù) X，固定除當(dāng)前更新原子di外其它K-1項(xiàng)原子，剝離原子di的貢獻(xiàn)，逐列更新字典D。目標(biāo)函數(shù)為

(4)迭代更新 D和 X，直到收斂或滿足結(jié)束條件。

2.3 稀疏編碼方法

稀疏表示中，字典學(xué)習(xí)和稀疏分解均用到了稀疏編碼計(jì)算稀疏系數(shù)。1993年，Mallat等[10]提出了匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)算法。為了改進(jìn)MP算法收斂速度慢這一缺點(diǎn)，研究者們提出了正交匹配追蹤(OMP)算法[19]，引入施密特正交化，對(duì)每一步分解所選擇的全部原子進(jìn)行正交化處理，由于殘差總是與被選擇過(guò)的原子正交，一個(gè)原子不會(huì)被重復(fù)選擇，加快了收斂速度。目標(biāo)函數(shù)為

(1)給定字典D，初始化殘差 e0=y，y為信號(hào)；

(2)選擇與殘差內(nèi)積絕對(duì)值最大的原子，表示為φ1；

(3)將被選中的原子φ1作為列組成矩陣φt(每次循環(huán)不清空)，計(jì)算φt的正交投影算子矩陣P，通過(guò)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算殘差e1。

(4)對(duì)殘差迭代執(zhí)行(2)、(3)步，在迭代過(guò)程中被選擇過(guò)的原子均與殘差正交，不會(huì)重復(fù)選中，φt為所有被選擇過(guò)的原子組成的矩陣；

(5)達(dá)到設(shè)定迭代次數(shù)或殘差小于設(shè)定值時(shí)，計(jì)算結(jié)束。

OMP算法的流程如圖4所示。

圖4 OMP算法流程圖Fig.4 Flow chart of OMP algorithm

2.4 分類(lèi)策略

本方法以測(cè)試信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)的匹配度[20]作為分類(lèi)策略，匹配率根據(jù)l2-范數(shù)計(jì)算。首先，分別計(jì)算原信號(hào)和重構(gòu)信號(hào)誤差和兩者總和的l2-范數(shù)，然后，將結(jié)果減去誤差的l2-范數(shù)，最后計(jì)算其在總和中的占比。匹配度越高，信號(hào)越相似。其數(shù)學(xué)模型為

基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示分類(lèi)的判別方法為：每一個(gè)測(cè)試信號(hào)通過(guò) 4類(lèi)字典稀疏重構(gòu)，得到 4個(gè)重構(gòu)信號(hào)，分別計(jì)算重構(gòu)信號(hào)與當(dāng)前測(cè)試信號(hào)的匹配度，得到匹配度最高的重構(gòu)信號(hào)，其對(duì)應(yīng)字典可以最好地重構(gòu)當(dāng)前測(cè)試信號(hào)，隨即判定當(dāng)前測(cè)試信號(hào)類(lèi)別與對(duì)應(yīng)字典類(lèi)別相同。

3 基于字典學(xué)習(xí)的稀疏表示分類(lèi)方法在主動(dòng)聲吶目標(biāo)分類(lèi)中的應(yīng)用

在消聲水池中，利用主動(dòng)聲吶發(fā)射脈沖信號(hào)，接收4類(lèi)目標(biāo)的回波信號(hào)。為了產(chǎn)生不同信噪比的回波信號(hào)，將原始回波信號(hào)加入高斯噪聲，形成信噪比分別為-5、-3、0、3、6 dB的弱信號(hào)，然后采用本文提出的DLSRC方法對(duì)其進(jìn)行水下弱目標(biāo)分類(lèi)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，提取頻域信號(hào)作為特征與支持向量機(jī)(SVM)、K-最近鄰(KNN)和柔性最大值(Softmax)分類(lèi)器結(jié)合作為對(duì)比方法。

3.1 實(shí)測(cè)目標(biāo)回波信號(hào)

測(cè)試條件：入射信號(hào)為線性調(diào)頻信號(hào)、頻率范圍為100～200 kHz、脈寬為0.5 ms。

測(cè)試目標(biāo)：包括空心鋁管、實(shí)心 PVC管、實(shí)心鋁圓柱和加肋圓柱殼體4類(lèi)形似小型目標(biāo)。這4類(lèi)目標(biāo)的原始回波信號(hào)如圖5所示。

圖5 4類(lèi)目標(biāo)原始回波信號(hào)Fig.5 The original echo signals of four types of targets

3.2 基于DLSRC方法的主動(dòng)聲吶目標(biāo)分類(lèi)和對(duì)比分析

本文的DLSRC分類(lèi)方法的核心是由實(shí)測(cè)信號(hào)訓(xùn)練學(xué)習(xí)的字典。這實(shí)質(zhì)上是對(duì)龐大數(shù)據(jù)集的降維表示，使得字典保留了目標(biāo)的大部分特征，當(dāng)測(cè)試樣本集過(guò)大時(shí)，當(dāng)前學(xué)習(xí)字典無(wú)法表示的特征會(huì)更多，出現(xiàn)的分類(lèi)錯(cuò)誤率也會(huì)相應(yīng)增大。學(xué)習(xí)字典稀疏表示測(cè)試樣本的過(guò)程則是利用計(jì)算殘差與字典原子最大內(nèi)積的方法，找到最適合表示當(dāng)前測(cè)試信號(hào)的有限原子，再由這些有限原子得到含噪信號(hào)的近似(更接近于目標(biāo)的無(wú)噪信號(hào))，可以有效地去除大部分噪聲，降低信號(hào)中噪聲對(duì)分類(lèi)結(jié)果的影響，提高對(duì)低信噪比信號(hào)的分類(lèi)準(zhǔn)確率。

對(duì)此，從三個(gè)角度測(cè)試說(shuō)明DLSRC方法分類(lèi)性能。在不同測(cè)試樣本數(shù)和不同信噪比的情況下，分析測(cè)試樣本數(shù)和信噪比對(duì)本方法的影響，在信噪比分別為-5、-3、0、3、6 dB時(shí)對(duì)比DLSRC方法與其他分類(lèi)方法的準(zhǔn)確率，分析本方法的優(yōu)勢(shì)。

3.2.1 不同測(cè)試集樣本數(shù)時(shí)DLSRC方法的準(zhǔn)確率

固定訓(xùn)練集樣本數(shù)，分別使用120、200和400個(gè)測(cè)試信號(hào)下測(cè)試DLSRC方法的準(zhǔn)確率，說(shuō)明測(cè)試信號(hào)數(shù)量對(duì)分類(lèi)器的影響。結(jié)果如圖6～7所示。

圖6 不同樣本數(shù)的測(cè)試集分類(lèi)準(zhǔn)確率對(duì)比Fig.6 Comparison of classification accuracy of test sets with different sample numbers

由圖6可知，在120個(gè)測(cè)試信號(hào)、信噪比大于3 dB情況下，分類(lèi)準(zhǔn)確率達(dá)到 100%。由此可見(jiàn)DLSRC分類(lèi)方法受測(cè)試集樣本數(shù)量影響較大，信噪比不變時(shí)，測(cè)試集樣本數(shù)越少，分類(lèi)準(zhǔn)確率越高。說(shuō)明本方法對(duì)小樣本分類(lèi)效果較好；反之，在測(cè)試樣本集過(guò)大時(shí)效果欠佳，為了得到更高的分類(lèi)準(zhǔn)確率，可以對(duì)字典學(xué)習(xí)算法進(jìn)行改進(jìn)。

3.2.2 不同信噪比時(shí)DLSRC方法的準(zhǔn)確率

固定訓(xùn)練集樣本數(shù)和測(cè)試集樣本數(shù)，在信噪比分別為-5、-3、0、3、6 dB時(shí)對(duì)比DLSRC方法的準(zhǔn)確率，說(shuō)明不同信噪比對(duì)分類(lèi)方法的影響。結(jié)果如圖7所示。

由圖7可知，在相同測(cè)試集樣本數(shù)、不同信噪比時(shí)，DLSRC方法的分類(lèi)準(zhǔn)確率結(jié)果較為接近，驗(yàn)證了該方法中稀疏表示重構(gòu)的去噪能力，使得該方法受信噪比的影響較小。

3.2.3 DLSRC方法與其他分類(lèi)方法分類(lèi)準(zhǔn)確率對(duì)比

在200個(gè)測(cè)試樣本數(shù)下，信噪比分別為-5、-3、0、3、6 dB時(shí)，DLSRC 方法的準(zhǔn)確率與其他分類(lèi)方法進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比采用頻域信號(hào)結(jié)合支持向量機(jī)(SVM)、K-最近鄰(KNN)和柔性最大值(SoftMax)分類(lèi)器的方法。其中SoftMax分類(lèi)器是Logistic回歸推廣到多類(lèi)分類(lèi)的形式，常用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類(lèi)中，具有良好的分類(lèi)效果。結(jié)果如圖8～9所示。

圖7 不同信噪比時(shí)DLSRC法的分類(lèi)準(zhǔn)確率Fig.7 Classification accuracy of DLSRC method under different SNR

由圖8～9可知，與其他3種分類(lèi)方法相比，DLSRC方法的優(yōu)勢(shì)在于不同信噪比情況下的分類(lèi)準(zhǔn)確率較為穩(wěn)定，且在低信噪比時(shí)可以達(dá)到較高的準(zhǔn)確率。由圖8可知，SVM受信噪比影響較大，不適合對(duì)低信噪比信號(hào)進(jìn)行分類(lèi)；由圖9可以看出，對(duì)比受信噪比影響較小的KNN和SoftMax分類(lèi)方法，DLSRC方法在各個(gè)信噪比下的準(zhǔn)確率均較高，具有更好的分類(lèi)效果。對(duì)比結(jié)果驗(yàn)證了DLSRC方法分類(lèi)準(zhǔn)確率較高，且在低信噪比信號(hào)下也可以達(dá)到較好的分類(lèi)效果，具有良好的分類(lèi)性能和抗噪性能。

圖8 不同信噪比下4種不同分類(lèi)方法的對(duì)比圖Fig.8 Comparison of four different classification methods under different SNR

圖9 4種不同方法的分類(lèi)準(zhǔn)確率對(duì)比Fig.9 Comparison of classification accuracy of four different methods

4 結(jié) 論

本文針對(duì)主動(dòng)聲吶目標(biāo)分類(lèi)問(wèn)題，基于稀疏表示理論和字典學(xué)習(xí)，提出了基于學(xué)習(xí)字典的稀疏表示分類(lèi)方法(DLSRC)。實(shí)現(xiàn)了4類(lèi)低信噪比的主動(dòng)聲吶弱目標(biāo)的分類(lèi)，并與SVM、KNN和SoftMax方法進(jìn)行了對(duì)比分析。

結(jié)果表明，DLSRC分類(lèi)方法更適用于小樣本分類(lèi)，在測(cè)試集樣本數(shù)過(guò)大時(shí)準(zhǔn)確率降低，且本方法受信噪比的影響較小，說(shuō)明對(duì)于低信噪比弱信號(hào)的處理能力較好。由DLSRC分類(lèi)方法與其他分類(lèi)方法的對(duì)比結(jié)果可知，DLSRC分類(lèi)方法在不同信噪比時(shí)相對(duì)其他3種方法具有更好的分類(lèi)準(zhǔn)確率。綜上，DLSRC分類(lèi)方法在小樣本和低信噪比信號(hào)分類(lèi)時(shí)具有良好性能，但對(duì)于大樣本分類(lèi)效果欠佳。初步分析，其原因在于 K-SVD字典學(xué)習(xí)算法不適用于處理大樣本數(shù)據(jù)。為解決這一問(wèn)題，今后需要在 K-SVD字典學(xué)習(xí)算法基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，研究如何提高類(lèi)別字典的信號(hào)表示能力。