文臺山市教師發(fā)展中心 陳勇攀

一、考題再現

本題以橢圓為背景在考查橢圓的性質的基礎上探究一類定點、定值問題.考查數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng).第(2)問考生可以通過特殊位置探路、觀察、分析，直觀感知定點Q的位置獲得解題思路，考查考生綜合運用數學知識和方法分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力.

二、解法探究

兩邊同時除以(x-2)2，并化簡得

由韋達定理，得

此時點D是定點，故存在定點Q，使得|DQ|為定值.

(其中m+2k-1≠0，否則直線MN經過點A).

把①式代入②式，得

三、問題推廣

從上面的探究過程可知，本題的解題關鍵是在基本活動經驗的啟發(fā)下發(fā)現直線MN恒過定點.故考題可以推廣為：

兩邊同時除以(x-x0)2，并化簡得：

兩邊同時除以(x-x0)2，并化簡得

進一步探究可以發(fā)現雙曲線和拋物線中也有類似的結論，有興趣的讀者不妨試試.