文嶺南師范學院附屬中學 羅東萍

一、問題提出

“韋達定理”在解析幾何中是一個耳熟能詳?shù)拿~，關于它在解析幾何中的應用文章已經(jīng)寫得非常多了，查閱近20年關于解析幾何中韋達定理應用的文獻資料發(fā)現(xiàn)，這些文章基本局限于簡化計算以及運算技巧，我們可換一個視角討論韋達定理在解決高考試題中的應用。首先觀察下面兩例解析幾何試題：

引例1和引例2有一個共同的條件“直線與圓錐曲線交于兩點”，我們稱之為“基本條件”， 時隔九年，這兩道試題的“基本條件”雷同，不同的是已知直線的條件，因而，建立根與系數(shù)關系的方法和步驟完全一樣：聯(lián)立方程組，構(gòu)造一元二次方程，韋達定理應用(建立根與系數(shù)的關系)。

有理由推斷，如果將“基本條件”相同的試題歸為一類，該類試題中直線存在的狀態(tài)將影響韋達定理的應用。事實上，讀者將會看到，根據(jù)直線的形態(tài)可將高考解析幾何試題中韋達定理使用情形清晰分類。

二、兩種模式

1.單參數(shù)模式

單參數(shù)模式意指僅已知題設“基本條件”中決定直線方程的一個條件，引例1和引例2皆為單參數(shù)橫式，大量的高考試題亦屬于這種模式。

習慣上將例1中韋達定理的使用歸為“設而不求”這一技巧，本質(zhì)含意為：假設直線與圓錐曲線的交點，但在整個解題過程中并不需要具體求出交點；然而，單參數(shù)模式高考試題并非永遠“設而不求”，有一類單參數(shù)高考試題需要利用韋達定理求出具體的交點，且極具技巧性。

2.雙參數(shù)模式

雙參數(shù)模式意指題設“基本條件”中決定直線方程的兩個條件都未知，這類試題應用韋達定理有一定的難度。

解析：由于E，F(xiàn)是橢圓C上兩個動點，直線EF的方程的兩個參數(shù)未知，故屬于雙參數(shù)模式，構(gòu)建一元二次方程、建立根與系數(shù)的關系需要一定的技巧，設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，直線EF的方程為y=kx+m；將直線EF的方程和橢圓C的方程分別變形為：

由此看到，對于雙參數(shù)問題，不是將基本條件中的直線與圓錐曲線聯(lián)立得到一元二次方程，而是將方程的變元改為其它形式，如本例變元是兩點連線的斜率，此時，一元二次方程的解亦不是直線與曲線的交點；有時，對于雙參數(shù)模式，有時構(gòu)造一元二次方程并不需要聯(lián)立方程組。