張通千

中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 機(jī)電與信息工程學(xué)院，北京 100083

多孔材料是指內(nèi)部分布連通或封閉孔隙網(wǎng)絡(luò)的材料，廣泛存在于自然界中，如木材、巖石、土壤、建材、衣物、紙張等[1-2]。其中礦物類多孔材料(沸石、蒙脫土等)因內(nèi)部含有直徑在微米至納米大小的孔道，使得此類材料在潮濕環(huán)境下具有一定的吸濕性。一方面，當(dāng)材料接觸到液態(tài)水時，液態(tài)水可經(jīng)毛細(xì)作用進(jìn)入多孔材料，并在毛細(xì)力作用下均勻分布于材料內(nèi)部；另一方面，水分子會主動吸附在孔道表面，對孔徑在納米級的孔道而言，水分子在填滿孔道的同時，于孔道內(nèi)形成具有低表面水蒸氣濃度的凹型液面，由于凹型液面上方蒸氣壓低于環(huán)境濕空氣飽和蒸氣壓，水分子會進(jìn)一步在孔道內(nèi)聚集，直到凹型液面表層蒸氣壓與環(huán)境濕空氣飽和蒸氣壓相等[3-4]。水分的存在會降低多孔材料的物理性能和使用壽命[5]。因此，研究多孔材料吸濕及含水多孔材料內(nèi)部水分遷移機(jī)理，建立用于描述材料內(nèi)水分分布及一定干燥條件下材料含水量隨時間變化的數(shù)學(xué)模型，對認(rèn)識水分對礦物類多孔材料的侵入機(jī)理、了解含水多孔材料內(nèi)部水分?jǐn)U散過程和對潮濕礦物類多孔材料制定最優(yōu)干燥工藝具有重要意義[6-8]。

針對含水多孔材料傳熱、傳質(zhì)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述始于Lewis的液態(tài)擴(kuò)散理論[9]。該理論認(rèn)為多孔材料孔隙內(nèi)所含的液態(tài)水以擴(kuò)散的形式發(fā)生遷移，擴(kuò)散動力來自材料內(nèi)各部分之間的含水量梯度。Luikov[10]總結(jié)了前人對建立多孔材料傳熱傳質(zhì)數(shù)學(xué)模型的諸多嘗試，提出Luikov后退前沿理論模型(Receding Front Model)，指出當(dāng)蒸發(fā)過程進(jìn)行到材料內(nèi)部時，蒸發(fā)現(xiàn)象只發(fā)生在材料內(nèi)部液態(tài)水與空氣界面上，此界面隨著蒸發(fā)過程向材料內(nèi)部含水量高的部分遷移，將多孔材料分為干區(qū)(只考慮水蒸氣擴(kuò)散遷移)和濕區(qū)(只考慮自由水?dāng)U散遷移)，在此假設(shè)基礎(chǔ)上給出了多孔材料熱質(zhì)傳遞的能量和質(zhì)量守恒公式。Philip和De Vries[11-13]在后退蒸發(fā)前沿理論的基礎(chǔ)上考慮溫度、重力以及水分子在多孔材料孔道表面的吸附與解吸對水分?jǐn)U散帶來的影響，建立了Philip-De Vries干燥模型。與Philip-De Vries干燥模型相類似，Luikov[10，14-15]提出了唯象理論模型，指出多孔材料內(nèi)部水分遷移的動力由含濕量梯度、溫度梯度、水分壓力梯度3部分構(gòu)成，并建立了描述這一理論的偏微分方程組。Whitaker[16]在1970—1980年基于將多孔材料表征單元體內(nèi)部固、液、氣三相溫度與密度平均化的假設(shè)，提出體積平均理論模型，該模型將水分的遷移動力分為四類：自由水由孔道毛細(xì)作用驅(qū)動、濕空氣由含濕量梯度驅(qū)動、液態(tài)水的蒸發(fā)由熱對流驅(qū)動、液態(tài)水溫度變化由溫度梯度驅(qū)動。平均理論模型的優(yōu)勢在于其包含了多孔材料干燥過程中幾乎全部的物理現(xiàn)象，能夠較真實地反映含水多孔材料熱質(zhì)傳遞的過程。目前Luikov唯象模型和Whitaker平均體積理論模型已應(yīng)用于建材干燥和糧食干燥過程的仿真領(lǐng)域[17-20]，但模型中存在大量隨溫度或含水量不同而變化的傳熱傳質(zhì)系數(shù)，精確測量這些系數(shù)難度較大，因而限制了這2種模型的推廣和使用。

本文以Lewis-Scherwood固體材料干燥模型[9，21]為基礎(chǔ)模型，用指數(shù)形式取代原模型中常數(shù)形式的液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)，用最小二乘法擬合的動態(tài)液態(tài)水汽化潛熱值取代原模型常數(shù)形式的液態(tài)水汽化潛熱值，基于材料內(nèi)部熱量和濕度只發(fā)生一維方向上傳遞的假設(shè)，建立用于計算多孔材料在表面空氣對流干燥條件下材料內(nèi)部含水量變化情況的一維擴(kuò)散模型；然后，分別將模型改良前和改良后的計算結(jié)果與含水多孔材料試樣干燥實驗結(jié)果進(jìn)行比較，確定模型改良前后的合理性和精確性；最后，利用不同含水多孔材料試樣干燥實驗結(jié)果與改良后模型仿真計算結(jié)果進(jìn)行對比，計算模型仿真誤差，驗證模型的實用性。

1 一維擴(kuò)散模型控制方程組

1.1 模型假設(shè)及控制方程組的建立

多孔材料傳熱傳質(zhì)一維擴(kuò)散模型所基于的假設(shè)及邊界條件見表1。

表1 一維擴(kuò)散模型假設(shè)和邊界條件Tab.1 Hypotheses and boundary conditions of 1-D diffusive model

一維擴(kuò)散模型的控制方程組包含多孔材料試樣表征單元體液態(tài)水質(zhì)量守恒偏微分方程、多孔材料表征單元體溫度偏微分方程以及表面蒸發(fā)率方程3部分。由于多孔材料表面液態(tài)水蒸發(fā)引起材料內(nèi)部液態(tài)水飽和度不均勻，從而導(dǎo)致內(nèi)部液態(tài)水?dāng)U散?；贚ewis-Scherwood干燥模型，液態(tài)水質(zhì)量守恒方程可表示為

(1)

式中，φ為多孔材料孔隙率，%；ρl為液態(tài)水密度，kg/m3；Sl為液態(tài)水飽和度，%；Dls為液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)，m2/s；z為表征單元體高度，m；t為時間，s。

式(1)等號左邊為單位體積液態(tài)水在單位時間內(nèi)質(zhì)量的變化；等號右邊為以擴(kuò)散形式通過多孔材料單位體積邊界傳入的液態(tài)水質(zhì)量。

根據(jù)表1中模型假設(shè)(4)，多孔材料單位體積固、液、氣三相的瞬時溫度相同。單位體積導(dǎo)熱系數(shù)及熱焓值為固、液、氣三相體積分?jǐn)?shù)的加權(quán)平均表示為

Ts=Tl=Tg

(2)

λ=(1-φ)λs+φSlλl+φ(1-Sl)λg

(3)

ρc=(1-φ)ρscs+φSlρlcl+
φ(1-Sl)[(ρa(bǔ)ca+ρvcv)]

(4)

式中，T為溫度，K；λ為導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；c為定壓比熱容，J/(kg·K)；下標(biāo)s、l、g、a、v分別為固相、液相、濕空氣、干空氣及水蒸氣。

根據(jù)式(2)至式(4)，得到基于Lewis-Scherwood干燥模型的多孔材料單位體積能量守恒控制方程為

(5)

式(5)等號左邊為含水多孔材料單位體積在單位時間內(nèi)熱量的增加；等號右邊為單位時間內(nèi)，以導(dǎo)熱方式進(jìn)入多孔材料單位體積邊界的能量與以液態(tài)水?dāng)U散方式進(jìn)入單位體積邊界的能量之和。該式既是一維擴(kuò)散模型的能量守恒方程，也是多孔材料表征單元體溫度的控制方程。

根據(jù)Lewis-Scherwood干燥理論，描述多孔材料表面液態(tài)水蒸發(fā)的控制方程為

(6)

(7)

式中，ms為表面蒸發(fā)量，kg；hm為對流表面?zhèn)髻|(zhì)系數(shù)，kg/m·s；ρve為環(huán)境水蒸氣密度，kg/m3；Slc為材料表面液態(tài)水臨界飽和度，%。

微分方程邊界條件：

(8)

(9)

(10)

(11)

Sl=Sl0

(12)

T=T0

(13)

將式(1)、式(5)至式(13)聯(lián)立，得到傳統(tǒng)Lewis-Scherwood干燥模型的一維形式。

上述模型偏微分方程組中，式(1)、式(5)、式(9)、式(11)涉及多孔材料液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)Dls以及水的汽化潛熱值γ。在使用傳統(tǒng)模型時，需根據(jù)資料獲得該材料液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)平均值以及特定溫度范圍內(nèi)的汽化潛熱平均值，再將其代入方程組進(jìn)行運算。實際上，含水多孔材料液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)和汽化潛熱值分別是含水量及溫度的函數(shù)。為使模型具有更高精度，對Lewis-Scherwood干燥模型進(jìn)行以下修正。

(1) 采用基于大量實驗結(jié)果的指數(shù)型動態(tài)多孔材料液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)計算公式[22]和基于液態(tài)水物理性質(zhì)的二次多項式擬合動態(tài)汽化潛熱值，代替式(1)、式(5)、式(9)、式(11)中的常數(shù)型擴(kuò)散系數(shù)和汽化潛熱平均值：

(14)

γ=0.086T2-2.42×103T+3.16×106

(15)

式中，w為含水量，kg/m3；A為材料的吸水率，kg/(m2·h1/2)；wf為材料的飽和含水量，kg/m3。

綜上建立改良后的多孔材料表面對流干燥一維擴(kuò)散熱質(zhì)傳遞模型，含式(1)、式(5)至式(15)共12個偏微分方程及代數(shù)方程。

(2) 采用有限差分法將式(1)、式(5)至式(12)離散化，得到模型的迭代代數(shù)方程組。其中，多孔材料內(nèi)部表征單元體的質(zhì)量守恒、能量守恒、質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)以及汽化潛熱計算公式的迭代代數(shù)方程為

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

式中，上角標(biāo)n為第n個時刻；下角標(biāo)j為第j個單元體；j-1，j和j+1，j分別為從第j-1到第j個單元以及從j+1到第j個單元對應(yīng)物理量的值。

計算時采用邊界左右單元體對應(yīng)物理量的加權(quán)平均，λj-1，j和λj+1，j計算方法同式(22)和式(23)。

使用Matlab軟件對上述代數(shù)方程進(jìn)行編譯，得到含水多孔材料含水量隨時間變化情況的仿真程序。

1.2 多孔試樣的選擇與參數(shù)

為驗證改良模型的精度，以含水粉煤灰多孔磚、含水黏土燒結(jié)多孔磚作為多孔材料試樣。選用其作為實驗對象的理由：首先，黏土燒結(jié)磚、粉煤灰磚由多種礦物成分混合制成，黏土燒結(jié)磚主要成分為二氧化硅、少量頁巖和煤矸石粉料；粉煤灰磚主要成分為三氧化二鋁、氧化鈣、二氧化硅等無機(jī)氧化物粉體，其成分特征具有礦物類多孔材料的特征；其次，黏土燒結(jié)磚、粉煤灰磚等多孔磚屬于人工制備多孔材料，與沸石、蒙脫土、多孔碳等天然礦物類多孔材料相比，其內(nèi)部孔道分布和各成分密度分布更為均勻、孔徑大小更為一致，適合進(jìn)行干燥傳質(zhì)數(shù)學(xué)建模和熱質(zhì)傳遞現(xiàn)象的仿真及實驗研究。

本文選取2種粉煤灰燒結(jié)多孔磚，1種黏土燒結(jié)磚，將試樣加工成5 cm×5 cm×1.69 cm(長×寬×高)的長方體。在進(jìn)行含水量計算時將試樣分割為20個單元體，即式(16)至式(23)中j的取值為1至20。多孔材料試樣的孔隙率、密度、吸水率和飽和含水量根據(jù)《建筑材料和產(chǎn)品溫濕吸收性EN ISO 15148/A1—2016》標(biāo)準(zhǔn)所提供方法測得，試樣的導(dǎo)熱系數(shù)、比熱容參照《公共建筑節(jié)能設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范DGJ32/J 96—2010》。試樣全部參數(shù)見表2。

表2 多孔材料試樣熱質(zhì)傳遞參數(shù)

2 含水多孔材料表面對流干燥實驗

2.1 實驗設(shè)備與試樣預(yù)處理

為驗證含水多孔材料含水量模型計算值與實驗值之間誤差，需對3種含水多孔試樣依次在恒溫恒濕干燥箱內(nèi)做對流干燥實驗。對流干燥實驗所采用的設(shè)備見表3。圖1為恒溫恒濕干燥箱實物照片。通過恒溫恒濕控制器面板預(yù)設(shè)干燥箱內(nèi)需要的溫度和濕度，溫度和濕度傳感器探頭實時監(jiān)測箱內(nèi)溫度和濕度變化。恒溫恒濕干燥箱內(nèi)置熱風(fēng)風(fēng)扇，對試樣進(jìn)行恒定風(fēng)速的對流干燥；恒溫恒濕干燥箱內(nèi)部載物臺上放置絕熱絕質(zhì)處理后的多孔材料試樣，其試樣除上表面與空氣接觸外，其他表面均使用硅酮膠做隔熱、隔水處理，防止試樣與周圍環(huán)境進(jìn)行熱量和質(zhì)量交換。根據(jù)表1中的邊界條件2，經(jīng)隔熱、隔水處理后的多孔材料試樣，在進(jìn)行干燥實驗時可近似認(rèn)為材料內(nèi)部熱濕傳遞只發(fā)生在一維方向，即沿試樣的高度方向。

表3 干燥實驗設(shè)備

圖1 恒溫恒濕干燥箱及多孔試樣預(yù)處理Fig.1 Drying instrument and sample pretreatment

2.2 含水多孔材料表面對流干燥實驗過程

按照表2給出的初始含水量將對應(yīng)質(zhì)量的水滴加到多孔材料試樣的表面，隨后將試樣在20 ℃下恒溫靜置30 min，使材料內(nèi)部液態(tài)水在多孔材料孔道毛細(xì)作用下均勻分布于試樣中。將恒溫恒濕控制器面板的溫度設(shè)置為35 ℃，并打開加熱片開關(guān)對箱內(nèi)空氣進(jìn)行加熱。打開恒溫恒濕干燥箱內(nèi)的熱風(fēng)風(fēng)扇，使用風(fēng)速儀測定干燥用熱風(fēng)風(fēng)速為3 m/s。關(guān)閉干燥箱頂蓋，待箱內(nèi)溫度穩(wěn)定，記錄該時刻干燥箱內(nèi)溫濕度值；將含水多孔試樣未做隔熱隔水處理的表面向上，記錄含水多孔材料試樣的初始重量；然后將其放入干燥箱內(nèi)進(jìn)行表面對流干燥，每隔4 min將試樣取出稱重并記錄，稱重過程所需時間不得大于30 s。整個干燥實驗持續(xù)120 min。依上述步驟，分別對含水粉煤灰燒結(jié)多孔磚試樣和黏土燒結(jié)多孔磚試樣進(jìn)行干燥實驗。

將干燥實驗進(jìn)行時的箱中溫度、濕度和干燥用熱風(fēng)風(fēng)速值以及表2多孔材料試樣熱質(zhì)傳遞參數(shù)代入一維擴(kuò)散模型仿真程序并運行，得到與干燥實驗同等條件下試樣含水量變化計算值，通過與實驗值的比較，考察模型計算的準(zhǔn)確度。

3 實驗結(jié)果及分析

對比3種含水多孔材料試樣在干燥實驗下試樣質(zhì)量的測量值、傳統(tǒng)Lewis-Scherwood干燥模型試樣質(zhì)量的計算值和一維擴(kuò)散模型試樣質(zhì)量的計算值，結(jié)果如圖2所示。由于試樣凈重為常量，因此圖2為不同試樣的含水量變化曲線。由 2種模型計算含水量變化曲線與實驗值采樣點的偏離程度可見，一維擴(kuò)散模型含水量計算值與實驗值較接近，傳統(tǒng)模型計算結(jié)果在干燥時間為1 h后，開始逐漸偏離實驗值。3種多孔材料試樣經(jīng)傳統(tǒng)干燥模型計算所得的含水量隨時間呈線性遞減的趨勢，這是由于傳統(tǒng)模型中采用常數(shù)型液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)，導(dǎo)致計算結(jié)果顯示為整個干燥過程中材料內(nèi)部液態(tài)水發(fā)生等量擴(kuò)散。從干燥實驗值的結(jié)果可見，多孔材料試樣液態(tài)水含量的遞減隨時間呈減緩趨勢，即單位時間多孔材料試樣含水量的下降速率隨材料本身含水量的下降而變緩。這說明實際干燥情況下，多孔材料含水量越低，材料內(nèi)部的液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)越小，含水量下降速度越慢。因此，使用動態(tài)指數(shù)型擴(kuò)散系數(shù)一維擴(kuò)散模型的計算結(jié)果在干燥1 h后仍可以較好地與實驗值相匹配，即動態(tài)指數(shù)型擴(kuò)散系數(shù)的使用較好地反映出真實情況下多孔材料內(nèi)部液態(tài)水?dāng)U散規(guī)律。

為表征模型計算值與實驗值誤差大小，采用絕對誤差值之和、最大絕對誤差和最大相對誤差值作為指標(biāo)，其計算公式為

(24)

(25)

(26)

式中，Uex、Uca為含水多孔材料試樣某時刻的實驗質(zhì)量、計算質(zhì)量，kg；Wwater為對應(yīng)每種多孔材料試樣初始含水率的多孔材料試樣初始含水質(zhì)量，kg；n為總采樣時間點的個數(shù)。

圖2 多孔材料試樣含水量的干燥實驗值與模型計算值Fig.2 Experimental values and simulated values of water content by convective drying in porous materials samples

將Lewis-Scherwood干燥模型和一維擴(kuò)散模型分別命名為傳統(tǒng)模型和改良模型，按照式(16)至式(18)，分別求得3種多孔材料試樣含水量變化的傳統(tǒng)模型計算值、一維擴(kuò)散模型計算值與實驗值誤差，結(jié)果見表4。由表4可見，傳統(tǒng)Lewis-Scherwood干燥模型的絕對誤差值和最大絕對誤差值約為一維擴(kuò)散模型的絕對誤差值和最大絕對誤差值的2～3倍；傳統(tǒng)Lewis-Scherwood干燥模型最大相對誤差約為一維擴(kuò)散模型最大相對誤差的2～3倍。針對3種多孔材料試樣，采用一維擴(kuò)散模型計算的含水量隨時間變化的計算值與實驗值的平均最大相對誤差為4.6%，采用常數(shù)型液態(tài)水?dāng)U散系數(shù)和液態(tài)水汽化潛熱進(jìn)行計算的傳統(tǒng)模型，平均最大相對誤差值為12.4%。誤差計算的結(jié)果說明，一維擴(kuò)散模型精度較高，且能較好地描述多孔材料含水量隨時間的非線性變化，即含水量下降速度隨含水量本身的減少而降低。

表4 模型計算值與干燥實驗值誤差

4 結(jié) 論

(1) 與Lewis-Scherwood干燥模型相比，改良后的一維擴(kuò)散熱質(zhì)傳遞模型得出的計算值與干燥實驗值吻合較好。由于使用了指數(shù)型變化的水?dāng)U散系數(shù)，一維擴(kuò)散模型能較明顯地體現(xiàn)多孔材料液態(tài)水?dāng)U散量隨材料本身含水量減少而降低，導(dǎo)致材料含水量下降速率隨干燥時間的延長而減少的現(xiàn)象。與此相比，Lewis-Scherwood干燥模型的計算結(jié)果體現(xiàn)出多孔材料含水量隨時間線性下降的關(guān)系，但隨干燥時間的延長，Lewis-Scherwood干燥模型計算結(jié)果與實驗結(jié)果偏離程度逐漸變大。

(2) 使用Lewis-Scherwood干燥模型對含水多孔材料試樣干燥實驗進(jìn)行仿真計算后所得最大相對誤差為12.4%，而一維擴(kuò)散模型的最大相對誤差為4.6%。一維擴(kuò)散模型與Lewis-Scherwood模型相比，在計算含水多孔材料表面對流干燥條件下材料內(nèi)部含水量變化情況時具有更高的精確度，為預(yù)測礦物類多孔材料內(nèi)部液態(tài)水含量、優(yōu)化潮濕礦物類多孔材料的干燥工藝參數(shù)提供了借鑒。