孫永林，李大成，劉 飛

(1.海裝重大專(zhuān)項(xiàng)裝備項(xiàng)目管理中心，北京 100089；2.海裝裝備項(xiàng)目管理中心，北京 100089；3.中國(guó)人民解放軍32380部隊(duì)，北京 100072)

0 引言

由于電磁波具有開(kāi)放性，在傳輸過(guò)程中存在極易被干擾的現(xiàn)象，而良好的抗干擾性能是安全穩(wěn)定通信的重要保證。隨著通信種類(lèi)的不斷增多和通信設(shè)備的不斷增加，通信易被干擾的問(wèn)題已經(jīng)成為制約通信發(fā)展的重要因素，而一味用提高算法的復(fù)雜度等方式來(lái)實(shí)現(xiàn)抗干擾的做法也越來(lái)越具有局限性。因此，找到一種簡(jiǎn)單、有效抗干擾的調(diào)制解調(diào)方法顯得尤為重要?；谛碌臅r(shí)頻分析工具-分?jǐn)?shù)傅里葉變換(FRFT)，Tao Ran等[1]中提出了線(xiàn)性調(diào)頻(LFM)信號(hào)的方向估計(jì)算法。LFM信號(hào)是其初始頻率隨時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)。分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT)是普通傅立葉變換的推廣，是一個(gè)能夠?qū)崿F(xiàn)非平穩(wěn)信號(hào)的能量聚焦特性的強(qiáng)大工具，并已用于估計(jì)LFM信號(hào)的參數(shù)[2-3]。類(lèi)似于余弦信號(hào)是傅立葉變換的基本信號(hào)，LFM信號(hào)也是FRFT的基本信號(hào)， LFM信號(hào)在合適的分?jǐn)?shù)傅里葉變換域中呈現(xiàn)脈沖狀態(tài)?；诖颂匦?，Qi Shuai等[4]提出了一種以L(fǎng)FM信號(hào)為載波和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換理論相結(jié)合的實(shí)現(xiàn)類(lèi)似于FSK調(diào)制解調(diào)的新方法。在前人的理論基礎(chǔ)上，本文同樣以L(fǎng)FM信號(hào)為載波，利用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換實(shí)現(xiàn)類(lèi)似于PSK調(diào)制解調(diào)的新方法，并分析其抗干擾性能。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)模型主要由3個(gè)部分組成：信號(hào)發(fā)送端Alice、信號(hào)接收端Bob和信號(hào)干擾端Eve。假設(shè)在相同干擾信號(hào)的情況下，信號(hào)發(fā)送端和接收端分別以余弦信號(hào)作為載波利用傅立葉變換實(shí)現(xiàn)調(diào)制解調(diào)，和以L(fǎng)FM信號(hào)為載波利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)調(diào)制解調(diào)， 在兩種不同的情況下仿真計(jì)算信號(hào)接收端Bob的誤碼率大小，分析其抗干擾能力。系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)模型

2 基本原理

2.1 LFM信號(hào)的表示

線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)可以表示為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(1)

式中A是信號(hào)幅度；φ為初始相位；f0為初始頻率；t是時(shí)間；m為調(diào)頻率，是對(duì)應(yīng)于頻率的常數(shù)。 信號(hào)的瞬時(shí)頻率為：

f=f0+mt2/2

(2)

2.2 FRFT算法

近年來(lái)，F(xiàn)RFT在信號(hào)處理領(lǐng)域引起了越來(lái)越多的關(guān)注，Namias介紹了FRFT的數(shù)學(xué)定義[5]。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的定義可以寫(xiě)為：

(3)

式(3)中，α為分?jǐn)?shù)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度。

為了便于理解，分?jǐn)?shù)傅里葉變換可以分解為以下三步：

第一步：用Chirp信號(hào)對(duì)f(t)信號(hào)進(jìn)行調(diào)制：

g(t)=f(t)exp[-jπt2tan(α/2)]

(4)

第二步：將調(diào)制信號(hào)與另一個(gè)Chirp信號(hào)進(jìn)行卷積：

(5)

第三步：通過(guò)LFM信號(hào)和信號(hào)的卷積實(shí)現(xiàn)調(diào)制：

Fp(u)=g′α(u)exp[-jπu2tan(α/2)]

(6)

為了實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)傅里葉變換的數(shù)值計(jì)算，可以將整個(gè)過(guò)程進(jìn)行如下處理。

步驟一：對(duì)f(t)信號(hào)進(jìn)行采樣。分?jǐn)?shù)階數(shù)p的取值范圍為p∈[-1,1]，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度與階數(shù)的關(guān)系為：

α=pπ/2

(7)

F4[f(t)]=F0[f(t)]=f(t)

(8)

F2[f(t)]=f(-t).

(9)

也即分?jǐn)?shù)傅立葉變換具有旋轉(zhuǎn)特性，所以當(dāng)分?jǐn)?shù)階數(shù)p取其他值時(shí)，可以先利用此特性變到[-1,1]的范圍內(nèi)再進(jìn)行計(jì)算。

步驟二：利用FFT來(lái)實(shí)現(xiàn)式中的卷積運(yùn)算，由此來(lái)保證通信的實(shí)時(shí)性。

步驟三：將卷積后的信號(hào)進(jìn)行調(diào)制，再利用前后的抽取和內(nèi)插便可得到最終的離散的分?jǐn)?shù)傅立葉變換的結(jié)果。

2.3 LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)FRFT的推導(dǎo)運(yùn)算

已知LFM信號(hào)一般形式為：

f(t)=Aexp[j(φ+2πf0+mπt2)]

(10)

為了推導(dǎo)方便，使φ=f0=0，A=1。因此，LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)FRFT后可以得到：

(11)

(12)

可以分段表示為：

(13)

從上述推導(dǎo)結(jié)果可以看出，在變換階數(shù)滿(mǎn)足一定的關(guān)系時(shí)，LFM信號(hào)在其相應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換域表現(xiàn)出沖擊函數(shù)的特性。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)FRFT的結(jié)果

在仿真實(shí)驗(yàn)中，為了便于計(jì)算，LFM的信號(hào)參數(shù)取φ=f0=0、m=5、t∈[0,4]，則LFM信號(hào)可以表示為：

f(t)=exp(j5πt2)

(14)

圖2 LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)傅立葉變換

3.2 LFM信號(hào)的抗干擾性能

假設(shè)干擾信號(hào)在中心頻率上，表達(dá)形式為：

g(t=Aexp(j40πt)

(15)

式中A為干擾信號(hào)的振幅。當(dāng)A=1時(shí)，LFM信號(hào)與干擾信號(hào)的總信號(hào)為：

(16)

信號(hào)s(t)經(jīng)過(guò)與f(t)相同的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后，干擾信號(hào)對(duì)LFM信號(hào)有一定的影響，但是不影響其沖擊波形?？傂盘?hào)經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)傅立葉變換如圖3所示。

圖3 總信號(hào)經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)傅立葉變換

信號(hào)s(t)經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)角度為α的分?jǐn)?shù)傅里葉變換后，在分?jǐn)?shù)傅立葉變換域進(jìn)行帶通濾波，此時(shí)保留沖擊信號(hào)，然后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)角度為-α的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，變換后信號(hào)恢復(fù)時(shí)域形式，在時(shí)域進(jìn)行解調(diào)并判決后便得到了原信號(hào)f′(t)。LFM信號(hào)的解調(diào)原理如圖4所示。

利用上述原理，對(duì)干擾信號(hào)進(jìn)行仿真可以得到相應(yīng)的誤碼率。同時(shí)，假設(shè)與LFM信號(hào)具有相同振幅的作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)的表達(dá)式為：

e(t)=exp(j40πt)

(17)

在不存在噪聲干擾時(shí)，e(t)信號(hào)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示其誤碼率約0.5，即完全被干擾；而由于LFM信號(hào)只被影響了單一頻點(diǎn)，其誤碼率幾乎與原來(lái)沒(méi)有差別，LFM信號(hào)對(duì)于單一頻點(diǎn)的干擾具有強(qiáng)大的抗干擾能力。

圖4 LFM信號(hào)的解調(diào)原理

4 結(jié)語(yǔ)

經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展，從圖像加密到頻率復(fù)用再到調(diào)制解調(diào)領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)傅里葉變換理論已經(jīng)取得了眾多值得稱(chēng)贊的成果，本文從抗干擾的角度出發(fā)探索分?jǐn)?shù)傅里葉變換理論更廣泛應(yīng)用的可能。首先介紹了分?jǐn)?shù)傅里葉變換理論的研究現(xiàn)狀，其次建立了現(xiàn)實(shí)中可能存在的惡意干擾模型，對(duì)LFM信號(hào)和分?jǐn)?shù)傅里葉變換理論進(jìn)行了公式推導(dǎo)，揭示了LFM信號(hào)經(jīng)過(guò)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換后會(huì)存在沖擊函數(shù)形式這一理論基礎(chǔ)，利用仿真結(jié)果直觀(guān)展示了LFM信號(hào)在分?jǐn)?shù)傅里葉變換域的沖擊形式，仿真結(jié)果與理論相對(duì)應(yīng)，最后，通過(guò)誤碼率的變化說(shuō)明了干擾信號(hào)對(duì)LFM信號(hào)和余弦信號(hào)的影響大小。

雖然對(duì)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的研究已經(jīng)出現(xiàn)了眾多可喜的成果，但是其應(yīng)用和影響還遠(yuǎn)不如傅里葉變換。隨著人們對(duì)分?jǐn)?shù)傅里葉變換研究的不斷深入，更多優(yōu)秀的理論成果一定會(huì)呈現(xiàn)在人們面前，那時(shí)，一定會(huì)帶來(lái)更多的技術(shù)驚喜。