龐海燕

[摘? 要] 在新的教學(xué)理念下，我們由研究知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向研究全程育人、綜合育人、全面育人，從學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，即從“知識(shí)、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”. 文章以浙江省義烏市王芳名師工作室經(jīng)過“三試三議 ”模式開發(fā)的高中數(shù)學(xué)HPM序言課為例，進(jìn)行解析幾何序言課的探究和實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] HPM;解析幾何;序言課;坐標(biāo)法

引言

教育部印發(fā)了《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，要求我們由研究知識(shí)傳授轉(zhuǎn)向研究全程育人、綜合育人、全面育人，也就是從學(xué)科教學(xué)走向?qū)W科教育，確立了以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)為目標(biāo)，即從“知識(shí)、能力本位”走向“素養(yǎng)本位”. 核心素養(yǎng)是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而形成的正確的價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力，通俗地講，就是那些很多年后宏觀留下的進(jìn)入學(xué)生靈魂深處的東西，因此與之相適應(yīng)的應(yīng)該是注重整體一致與邏輯連貫的教學(xué). 正是因?yàn)樾蜓越虒W(xué)能滿足這些需求，目前很多學(xué)者不約而同地提出序言教學(xué). 序言課能為整章的教學(xué)起到路線規(guī)劃、導(dǎo)航定位的作用，相當(dāng)于汽車GPS（全球定位系統(tǒng)）的功能. 安裝了“GPS”的起始教學(xué)能讓后續(xù)課時(shí)教學(xué)近似于“傻瓜式”操作，避免我們走彎路，而且能加強(qiáng)整體認(rèn)識(shí)，協(xié)調(diào)彼此之間的聯(lián)系. 如何設(shè)計(jì)、安裝理想的“GPS”呢？這其實(shí)就是序言課的設(shè)計(jì)、教學(xué)問題. 為了教學(xué)的整體性，我們需要從宏觀層面俯瞰課程的知識(shí)體系. 為了高觀點(diǎn)，我們需要從思想、觀念或者應(yīng)用的層面提出問題、發(fā)現(xiàn)問題，不是簡(jiǎn)單、日常意義上的數(shù)學(xué)題. 為了情境創(chuàng)設(shè)的適切性，我們需要運(yùn)用歷史發(fā)生學(xué)原理，以史為鑒. HPM視角下的序言課課例研究可以有效促進(jìn)教師在知識(shí)、信念和能力這三個(gè)維度的發(fā)展. 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)序言課教學(xué)，可以呈現(xiàn)知識(shí)之諧，展示方法之美，營(yíng)造探究之樂，揭示文化之魅，提供能力之柱，彰顯德育之效.

歷史材料及應(yīng)用

本節(jié)課從回顧初中平面幾何知識(shí)和研究方法出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷用演繹法解決平面幾何問題時(shí)遇到的困境，使學(xué)生感受到從單純觀察形的角度和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的角度研究圖形的乏力，由此創(chuàng)設(shè)了“圓還是橢圓”的問題情境，以便激發(fā)學(xué)生進(jìn)行方法的創(chuàng)新，產(chǎn)生突破的沖動(dòng). 這具有高度的歷史相似性：16世紀(jì)，對(duì)運(yùn)動(dòng)與變化研究已變成了自然科學(xué)的中心問題，原有幾何學(xué)出現(xiàn)解決問題乏力的狀態(tài)，迫切需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生.

在坐標(biāo)法建構(gòu)環(huán)節(jié)，先出示學(xué)生熟悉的兩個(gè)平面幾何問題，落腳點(diǎn)在用點(diǎn)的坐標(biāo)刻畫距離、位置關(guān)系，再?gòu)撵o到動(dòng)，給出兩個(gè)古希臘軌跡問題，引出用坐標(biāo)法研究點(diǎn)的位置、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)——曲線、圖形. 在此過程中運(yùn)用史料：笛卡爾以研究古希臘軌跡問題為目的，以韋達(dá)的符號(hào)代數(shù)為工具，通過建立坐標(biāo)系（一條軸），將二元代數(shù)方程與幾何曲線對(duì)應(yīng)起來，從而成了解析幾何的發(fā)明者. 笛卡爾的解析幾何是作為《方法論》一書的附錄《幾何》出現(xiàn)的，后半部分通過展現(xiàn)解“帕普斯問題”的具體過程介紹了解析幾何方法，所謂笛卡爾解析幾何主要就體現(xiàn)在這一部分中.

在核心問題研究環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)用代數(shù)方法研究幾何圖形，設(shè)計(jì)橢圓規(guī)實(shí)驗(yàn);在知識(shí)展望環(huán)節(jié)，通過幾何畫板演示二元二次方程對(duì)應(yīng)的曲線. 在此過程中運(yùn)用史料：解析幾何的另一創(chuàng)始人17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬從方程的角度出發(fā)研究曲線，笛卡爾的側(cè)重點(diǎn)是研究曲線的方程，兩者分別是解析幾何的兩個(gè)基本方面.

教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

本節(jié)課突出“五核”，通過“圓還是橢圓”的情境創(chuàng)設(shè)，設(shè)置了數(shù)學(xué)問題串，建構(gòu)起核心方法（坐標(biāo)法），初步運(yùn)用其解決核心問題（由曲線上點(diǎn)的特征建立方程、用代數(shù)方法研究幾何圖形、由方程研究曲線幾何性質(zhì)及曲線位置關(guān)系），通過問題“這方法可靠嗎”直指核心概念（曲線的方程、方程的曲線），幫助學(xué)生理解和體會(huì)笛卡爾“一切問題都可歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，一切數(shù)學(xué)問題都可歸結(jié)為代數(shù)問題，一切代數(shù)問題都可歸結(jié)為解方程問題”的思想. 整節(jié)課滲透數(shù)形結(jié)合的核心思想，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 本節(jié)課以能在具體情境和解決問題的過程中，深化對(duì)坐標(biāo)法的認(rèn)識(shí)，感受解析幾何的孕育與發(fā)展為目標(biāo)，重點(diǎn)在坐標(biāo)法解決幾何問題思想的滲透，突破曲線與方程對(duì)應(yīng)的難點(diǎn).

（一）舊知回顧

教師：同學(xué)們好，今天我們要來說說幾何，初中的時(shí)候，我們學(xué)習(xí)了平面幾何，還記得我們學(xué)了哪些知識(shí)嗎？

學(xué)生：圖形認(rèn)識(shí)初步、平行線、相交線關(guān)系、三角形、四邊形、圓.

教師：我們是用什么方法來研究這些幾何問題的呢？

學(xué)生：演繹法.

教師：初中平面幾何屬于歐氏幾何，歐幾里得的《幾何原本》首次建立起幾何學(xué)的完整演繹體系. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的《圓錐曲線論》幾乎包含圓錐曲線的全部性質(zhì). 那同學(xué)們?cè)谔幚砥矫鎺缀螁栴}時(shí)，用演繹法解決起來會(huì)碰到哪些困難呢？

學(xué)生討論，認(rèn)為平面幾何沒有普適性的方法.

（二）情境創(chuàng)設(shè)

教師：我們今天的問題就從一張圖片說起，請(qǐng)觀察這張圖片，淺色曲線是什么？

學(xué)生：圓.

教師：再觀察一下（以深色曲線為參照）.

學(xué)生：橢圓？圓？

教師：哈哈，到底是圓還是橢圓呢？這樣的問題也曾困擾了一大批天文學(xué)家，下面請(qǐng)大家看一個(gè)視頻. （演示開普勒視頻）. 看完請(qǐng)同學(xué)們提取開普勒解決地球軌道是圓還是橢圓的關(guān)鍵詞.

學(xué)生討論得出“代數(shù)、幾何結(jié)合”“根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算”等等.

教師：16世紀(jì)以后，科學(xué)的發(fā)展向幾何學(xué)提出了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題，之前歐氏幾何和阿波羅尼斯的圓錐曲線論中的方法已不能滿足人們的研究需要. 同學(xué)們說得都很好，那究竟會(huì)是一種什么樣的方法可以解決這些問題呢？代數(shù)、幾何如何結(jié)合？如何計(jì)算呢？

（三）方法建構(gòu)

問題1：（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E在邊AB上，BE=4，EF∥BC，分別交BD，CD于G，F(xiàn)，若M，N分別是DG，EC的中點(diǎn)，試求MN的長(zhǎng)度.

（2）矩形ABCD中，E，F(xiàn)是CD上的三等分點(diǎn)，G，H是BC邊上的三等分點(diǎn)，AE與DG相交于K，AF與DH相交于N，求證：KN∥CD.

學(xué)生討論求解.

教師總結(jié)：幾何問題代數(shù)化，建立平面坐標(biāo)系. 點(diǎn)的坐標(biāo)來聯(lián)系，算出長(zhǎng)度沒問題，平行關(guān)系可判定.

設(shè)計(jì)意圖：建立坐標(biāo)觀念確定點(diǎn)的位置.

教師：靜止是相對(duì)的，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的. 數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而不再枯燥，數(shù)學(xué)因運(yùn)動(dòng)而充滿活力. 如何描述一個(gè)點(diǎn)在平面中的運(yùn)動(dòng)呢？

學(xué)生：用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其橫、縱坐標(biāo)應(yīng)該會(huì)滿足一定的關(guān)系.

問題2：（二線軌跡）阿波羅尼斯是公元前3世紀(jì)的古希臘著名數(shù)學(xué)家，他曾提出過這樣一個(gè)問題：到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？

學(xué)生：是這兩條直線所夾角的角平分線.

教師：那現(xiàn)在這兩條直線有幾條角平分線呢？

學(xué)生：兩條.

教師：很好. 根據(jù)初中所學(xué)平面幾何的知識(shí)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，因此在這個(gè)例子中我們可以很快得出“二線問題”的軌跡. 形狀、位置我們都可以定下來. 我們接下來再看一個(gè)升級(jí)版的問題.

問題3：（三線軌跡）古希臘數(shù)學(xué)家并不滿足于此，帕普斯又提出了“三線軌跡”問題. 如圖5，平面內(nèi)三條直線滿足l■⊥l■，l■⊥l■，l■∥l■，l■，l■距離為a，平面上一動(dòng)點(diǎn)P到l■，l■，l■的距離PA，PB，PC滿足PA·PB=PC2，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？

是否與剛剛的二線軌跡問題一樣，可以一眼就看出點(diǎn)的軌跡呢？

學(xué)生討論解決方案：以l■，l■交點(diǎn)為原點(diǎn)建系，設(shè)點(diǎn)P（x，y），得出（x，y）滿足方程x-■■+y2=■■.

教師：這個(gè)方程代表著什么意義呢？對(duì)于二元方程x-■■+y2=■■，這種通常有無窮多組解的所謂“不定方程”對(duì)代數(shù)學(xué)家來說是索然無趣的，但如果注意到當(dāng)x連續(xù)地改變時(shí)，方程相應(yīng)確定y，于是兩個(gè)變量的組合（x，y）可以看作是平面上運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)的坐標(biāo)，于是這樣的點(diǎn)組成一條平面曲線.

學(xué)生：得出方程表示P（x，y）到■，0距離為定值■，是一個(gè)以■，0為圓心，■為半徑的圓.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生建立將帶兩個(gè)未知數(shù)的方程和平面上的曲線相對(duì)比的觀念.

教師：很好，大家以前是否有看見一個(gè)方程，就知道它表示什么曲線的這種經(jīng)歷嗎？

學(xué)生：有，形如y=kx+b的表示直線，形如xy=k的表示雙曲線，形如y=ax2+bx+c（a≠0）的表示拋物線.

教師：很好，方程中的x，y有什么幾何意義和代數(shù)意義嗎？

學(xué)生：從代數(shù)角度，有序數(shù)對(duì)（x，y）表示方程的解;從幾何角度，有序數(shù)對(duì)（x，y）表示曲線上某點(diǎn)的坐標(biāo).

教師：有序數(shù)對(duì)（x，y）從哪里來的呢？

學(xué)生：建系.

教師：對(duì)！我們坐標(biāo)系這個(gè)工具溝通起方程的解和曲線的點(diǎn)，可以把幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)操作，幾何運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從研究代數(shù)、方程的角度來研究幾何問題. 讓我們給這個(gè)操作起個(gè)名字吧！

學(xué)生：建系法！坐標(biāo)法！

教師總結(jié)：坐標(biāo)法就是通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再通過一步步地計(jì)算來解決問題的方法.

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟.

（四）核心問題

教師：坐標(biāo)法可以干什么呢？我們?nèi)绾谓鉀Q前面“圓還是橢圓”的問題？

1. 圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓上任意一點(diǎn)P（x，y），滿足的條件是________.

（1）y=■可以表示1中的圓嗎？

（2）點(diǎn)■，■，■，-■在1中的圓上嗎？

教師總結(jié)：從曲線幾何特征寫曲線的方程，再?gòu)姆匠绦问脚袛嗲€的形狀，我們發(fā)現(xiàn)曲線上的點(diǎn)與方程的解一一對(duì)應(yīng)，故而坐標(biāo)法可以由曲線上點(diǎn)的特征建立方程.

小組動(dòng)手實(shí)驗(yàn)探究：荷蘭數(shù)學(xué)家蘇騰的橢圓作圖工具中的兩種.

實(shí)驗(yàn)結(jié)論：平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和（和值大于兩定點(diǎn)之間的距離）等于定值的軌跡是橢圓.

2.？搖探究方程■+y2=1表示什么曲線.

數(shù)無形，不直觀！學(xué)生討論作圖，猜想方程表示橢圓.

教師：同學(xué)們猜想對(duì)不對(duì)呢？先不要急著下結(jié)論，請(qǐng)大家計(jì)算一下：

曲線上一點(diǎn)P（x，y）到（1，0），（-1，0）的距離之和有何特點(diǎn)？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)其和為定值.

教師：在前面的實(shí)驗(yàn)中，我們已知道到平面上動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和（和值大于兩定點(diǎn)之間的距離）等于定值的軌跡是橢圓，兩定點(diǎn)稱之為橢圓的焦點(diǎn). 剛才我們的研究發(fā)現(xiàn)給定方程上的點(diǎn)滿足這個(gè)特點(diǎn)，它確實(shí)表示橢圓. 為同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)點(diǎn)贊！老師還有一個(gè)問題要問，我們可以解決“圓還是橢圓”的問題了嗎？

學(xué)生：可以，利用坐標(biāo)法建系，寫出方程，判斷曲線類型.

教師：那視頻中的開普勒是在算什么呢？

學(xué)生：根據(jù)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)方程是圓還是橢圓. 真可謂坐標(biāo)一橋飛架，數(shù)形天塹變通途！

教師：坐標(biāo)法可以幫助我們用代數(shù)方法研究幾何圖形.

教師：很好！形無數(shù)，難入微！老師還有一個(gè)問題，請(qǐng)觀察下圖，判斷直線與圓的位置關(guān)系.

學(xué)生很謹(jǐn)慎，提出需要計(jì)算，否則無法準(zhǔn)確判斷相切還是相交.

3. 探究y=-x+■，x2+y2=1的位置關(guān)系.

學(xué)生討論得出可以研究方程組的解的情況，亦可根據(jù)圓心到直線的距離判斷，但苦于距離公式不知道，教師鼓勵(lì)其想法，指出我們后階段會(huì)學(xué)習(xí).

變式：y=-x+1，x2+y2=1呢？

學(xué)生提出方法類似，教師追問既然相交，弦長(zhǎng)可以如何求出呢？

學(xué)生：解方程組，得出具體交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式可得.

變式：y=x+1，y=x+2，y=-x+1呢？

教師總結(jié)：利用坐標(biāo)法可以由方程來研究曲線幾何性質(zhì)、曲線位置關(guān)系，計(jì)算距離.

（五）核心概念

教師：今天我們學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法，發(fā)現(xiàn)它可以解決很多問題（由曲線上點(diǎn)的特征建立方程，用代數(shù)方法研究幾何圖形，由方程研究曲線幾何性質(zhì)及曲線位置關(guān)系），老師卻要問，這方法可靠嗎？

師生討論，理出思維鏈條：

代數(shù)方程■方程的解■變量■線段■有序數(shù)對(duì)■曲線上的點(diǎn)■曲線

其中，思維起點(diǎn)——代數(shù)方程;思維指向——代數(shù)方程的解;思維跳躍——讓方程的解動(dòng)起來;思維提取——形可表示數(shù);思維遷移——借助坐標(biāo);思維重組——數(shù)又可表示形;思維變向——方程可表示曲線;思維反演——曲線與方程統(tǒng)一.

學(xué)生總結(jié)：建立“曲線與方程”對(duì)應(yīng)的關(guān)系很重要，初步認(rèn)識(shí)曲線的方程、方程的曲線的核心概念.

（六）體系建立

解析幾何：一種借助解析式進(jìn)行圖形研究的幾何學(xué)分支，就是把幾何圖形放在坐標(biāo)系里面加以分析，這樣使得理論更加形象化. 在坐標(biāo)系里建立點(diǎn)、線、面和各種形狀的解析式，使得表達(dá)更加規(guī)范.

（七）歷史重現(xiàn)

教師展示數(shù)學(xué)史微課.

學(xué)生：原來前面我們解決的三線軌跡居然是帕普斯軌跡問題的特殊情況，我們和笛卡爾一樣，建立了坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法解決了問題，太棒啦！

（八）展望小結(jié)

教師：從前面的微課我們知道，解析幾何的創(chuàng)始人之一費(fèi)馬從方程出發(fā)研究曲線. 那我們也利用計(jì)算機(jī)軟件，展示二元方程（m+1）x2-y2-m（x+1）=0隨參數(shù)m值變化，曲線的變化形式.

學(xué)生：原來一個(gè)二元方程可以統(tǒng)一這么多形式的曲線.

師生總結(jié)呈現(xiàn)解析幾何知識(shí)樹.

教師：圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線. 它在我們的實(shí)際生活很重要，許多物體的運(yùn)動(dòng)軌跡可以用圓錐曲線或近似地用圓錐曲線表示，很多光學(xué)儀器都是利用圓錐曲線（面）的性質(zhì)制作的. 老師給大家留個(gè)課后思考問題，通過初中學(xué)習(xí)我們知道，形如y=kx+b的方程表示直線，那我們?yōu)槭裁催€要繼續(xù)研究直線及其方程呢？需要研究什么呢？

學(xué)生反饋

通過課前、課后的問卷調(diào)查，學(xué)生們喜歡數(shù)學(xué)老師將與數(shù)學(xué)知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史、實(shí)例融入課堂教學(xué)中，喜歡老師在新的模塊或單元學(xué)習(xí)開始前先帶領(lǐng)他們構(gòu)建要學(xué)的知識(shí)框架，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容和任務(wù)，介紹與解析幾何相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史對(duì)解析幾何學(xué)習(xí)和理解有幫助，認(rèn)為以后有必要開設(shè)別的章節(jié)序言課.

教學(xué)感悟

以史為鑒，方能更好地揭示知識(shí)的自然發(fā)生過程. 本節(jié)課中，我們從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，以“我們”和“科學(xué)家”解決“圓還是橢圓”的問題為抓手，通過問題串，引導(dǎo)學(xué)生自然地經(jīng)歷了坐標(biāo)法解決幾何問題的過程. 核心問題的探究活動(dòng)讓學(xué)生積極地參與了解決問題的過程，充分地體會(huì)了數(shù)學(xué)探究的樂趣，動(dòng)手操作不僅獲得了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)思維能力，而且激發(fā)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 數(shù)學(xué)史微課，更是讓課堂充滿數(shù)學(xué)文化的芬芳.

現(xiàn)階段在高考升學(xué)壓力下，教師過于重視知識(shí)點(diǎn)的機(jī)械教授，很少在課堂上花很多時(shí)間去涉足數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化，而且由于教學(xué)任務(wù)重，課時(shí)安排緊，在實(shí)際教學(xué)中很難擠出時(shí)間來上數(shù)學(xué)序言課. 經(jīng)過實(shí)踐我們發(fā)現(xiàn)通過本節(jié)序言課，后面在上圓、橢圓、曲線與方程新課時(shí)無須再重新引入情境. 此外，學(xué)生對(duì)距離、位置關(guān)系有了探究體驗(yàn)，對(duì)解析幾何整個(gè)知識(shí)體系有了一定的認(rèn)識(shí)，很好地把握了研究問題的方法，同時(shí)讓學(xué)生獲得了歷史感，改善了他們的數(shù)學(xué)觀，提升了他們的數(shù)學(xué)情感.