（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

工業(yè)機(jī)器人的精度一直是評價工業(yè)機(jī)器人工作要求的重要指標(biāo)。機(jī)器人零部件加工階段造成的尺寸和幾何誤差及裝配過程中關(guān)節(jié)產(chǎn)生的間隙會對末端執(zhí)行器位姿造成很大影響[1]。

分析機(jī)器人誤差的方法有很多，如齊俊德等[2]對柔度誤差的影響進(jìn)行了解耦，并考慮了機(jī)器人基坐標(biāo)系與測量坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換誤差，提出基于相對位置的幾何參數(shù)誤差模型，該方法可有效提高機(jī)器人的絕對定位精度。張紹春等[3]提出一種利用Jacobi 矩陣將末端運(yùn)動軌跡在Descartes坐標(biāo)下的誤差轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)角修正量的算法，有效降低了運(yùn)動路徑誤差。劉華春等[4]利用基于關(guān)節(jié)剛度模型的位置補(bǔ)償提高了重載機(jī)器人的末端軌跡定位精度。溫秀蘭等[5]在M-DH模型的基礎(chǔ)上，提出基于擬隨機(jī)序列產(chǎn)生初始位置的改進(jìn)烏鴉搜索算法用于標(biāo)定機(jī)器人幾何參數(shù)，使得機(jī)器人精度大幅提升。隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，越來越多的現(xiàn)代方法[6-8]被應(yīng)用到機(jī)器人的分析當(dāng)中，旋量理論便是其中重要的一個。

為避免Denavit-Hartenberg模型（簡稱DH模型）的奇異性，K.Okamura 等[9]將Exponential of Product公式（簡稱POE 公式）應(yīng)用到串聯(lián)機(jī)器人的標(biāo)定中，并建立了一般性的幾何誤差模型。譚月勝等[10]利用旋量理論建立了一模塊化機(jī)械臂末端執(zhí)行器運(yùn)動誤差數(shù)學(xué)模型。但是該模型只是將關(guān)節(jié)的誤差影響設(shè)為6個結(jié)構(gòu)參數(shù)的旋量，為隱式表達(dá)，并不能直接反映關(guān)節(jié)具體誤差源的影響。黃勇剛等[11]將機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線的位姿誤差等效為假想廣義運(yùn)動副螺旋運(yùn)動的結(jié)果，從而建立了誤差模型，給出了其大小及方向的計算公式，但是在誤差旋量建立時對理論關(guān)節(jié)軸線與實際關(guān)節(jié)軸線的位置關(guān)系只歸結(jié)為相交、平行、交錯3種情況，存在一定不足。Fu G.Q.等[12]提出了一種基于指數(shù)積公式的多軸機(jī)床的幾何誤差模型，該模型用3個旋量來表示每個軸的6個基礎(chǔ)誤差，滿足精度要求，具有明確的幾何意義。Qu S.W.等[13]利用有限位移旋量對串聯(lián)機(jī)器人關(guān)節(jié)間隙對機(jī)器人精度的影響進(jìn)行了分析。

本文基于旋量理論，提出了一種機(jī)器人關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)誤差對其精度影響的分析方法。通過對機(jī)械臂關(guān)節(jié)軸線在不同幾何誤差作用下位置空間關(guān)系的分析，給出了關(guān)節(jié)誤差的旋量表達(dá)，結(jié)合POE模型，提出了包含具體誤差源的機(jī)器人正向運(yùn)動學(xué)顯示表達(dá)式。并利用Adams 進(jìn)行了仿真驗證，仿真結(jié)果驗證了本文提的方法的正確性。通過該方法可計算關(guān)節(jié)具體幾何誤差對機(jī)器人末端精度的影響，本文工作體現(xiàn)了旋量在機(jī)器人運(yùn)動分析中的直觀性、便捷性。提出的方法給機(jī)器人的制造、裝配與優(yōu)化以及機(jī)器人精度補(bǔ)償研究提供了理論依據(jù)。

2 旋量及其表示

旋量是描述歐式幾何空間的另一種幾何元素。旋量的定義[14]：設(shè)s與s0為三維空間的2個矢量，其中s為單位矢量，s0=r×s+hs，則s與s0共同構(gòu)成一個單位旋量，記作：

則剛體運(yùn)動的指數(shù)坐標(biāo)與POE 公式如下所示。

機(jī)器人各關(guān)節(jié)的運(yùn)動由與之關(guān)聯(lián)的關(guān)節(jié)軸線的運(yùn)動旋量產(chǎn)生，如果用表示該關(guān)節(jié)軸線的單位運(yùn)動旋量坐標(biāo)，則沿此軸線的剛體運(yùn)動可表示為

定義機(jī)器人初始位形為機(jī)器人對應(yīng)于θ=0時的位形，并用表示機(jī)器人位于初始位形時慣性坐標(biāo)系與工具坐標(biāo)系間的剛體變換。對于每個關(guān)節(jié)都可以構(gòu)造一個單位運(yùn)動旋量這時除第i個關(guān)節(jié)之外的所有其他關(guān)節(jié)均固定于初始位形（θj=0，j表示除第i個并節(jié)角外其他的并節(jié)角度）。對于轉(zhuǎn)動副：對于移動副：

這時，對于任意給定的n自由度機(jī)器人，指數(shù)積形式的正向運(yùn)動學(xué)模型[15]為

3 關(guān)節(jié)幾何誤差分析

機(jī)器人關(guān)節(jié)連接處出現(xiàn)偏差，即關(guān)節(jié)理論軸線與實際軸線不一致，根據(jù)其空間位置關(guān)系分為兩軸重合（關(guān)節(jié)連接處發(fā)生軸向位移）、兩軸平行、兩軸線異面。顯然理論軸線到實際軸線的運(yùn)動為一般剛體運(yùn)動，由Chasles定理[14]證明了剛體運(yùn)動與螺旋運(yùn)動是等價的。因此，可以用運(yùn)動旋量來表示該運(yùn)動，下面對上述情況進(jìn)行具體分析。

當(dāng)兩軸線異面時可以視為理論軸線與實際軸線增加了一個螺旋副，理論軸線繞兩軸線的公垂線旋轉(zhuǎn)角度轉(zhuǎn)?θi，然后沿該垂線移動距離Δli。如圖1所示。

圖1 兩軸線異面Fig.1 Two axes on different surfaces

根據(jù)旋量的定義[14]，該螺旋副的單位運(yùn)動旋量可以表示為

當(dāng)節(jié)距為0時，單位旋量退化為線矢量，兩軸線相交，僅發(fā)生旋轉(zhuǎn)，如圖2所示。

圖2 兩軸線相交且相對旋轉(zhuǎn)Fig.2 Two axes intersecting with a relative rotation

此時，運(yùn)動旋量可以表示為

當(dāng)節(jié)距無窮大時，單位旋量退化為單位偶量，兩軸線平行，僅發(fā)生徑向平移，如圖3所示。

圖3 兩軸線平行Fig.3 Two axes parallelling to each other

此時，運(yùn)動旋量可以表示為

當(dāng)兩關(guān)節(jié)軸線共面且發(fā)生非徑向移動時，可分為以下兩種情況：發(fā)生軸向偏差、發(fā)生非軸向非徑向偏移?？梢砸暈槔碚撦S線與實際軸線增加了一個移動副，如圖4所示。

圖4 兩軸線共面且發(fā)生非徑向偏差Fig.4 Two axes coplanar with non-radial deviation

此種情況下移動副的運(yùn)動旋量可表示為

4 幾何誤差的旋量表達(dá)

文獻(xiàn)[16]中指出：se(3)中的元素與SE(3)中的元素之間存在指數(shù)映射關(guān)系：任意給定齊次變換矩陣則必存在和標(biāo)量θ，使得文獻(xiàn)[13]給出和θ的計算公式。

當(dāng)兩軸線異面時，不妨設(shè)實際軸線是理論軸線繞x、y、z軸分別旋轉(zhuǎn)角度?、?θ、?ψ和移動距離?x、?y、?z得到的。如圖5所示。

圖5 兩軸線相對位置Fig.5 The relative position of two axes

因?qū)嶋H中不可能發(fā)生兩軸線反向重合的情況，故不考慮trR=-1的情況。

兩軸線關(guān)系為圖1所示情況時，即：

有[13]

兩軸線關(guān)系為圖2所示情況時，即：

θ、ωe分別可由式（11）（12）求出，而v=(0,0,0)T。

兩軸線關(guān)系分別為圖3、圖4a、4b所示情況時，即：

此時有[13]：

式中：gi為i號關(guān)節(jié)坐標(biāo)系相對于空間坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣。

5 仿真驗證

5.1 機(jī)械臂模型

在Matlab中建立了如圖6所示的3R 機(jī)械臂模型，其中連桿長度設(shè)置如下：L1=520 mm，L2=350 mm，L3=250 mm。機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線單位矢量及點(diǎn)的設(shè)置如表1～2所示。

圖6 3DOF 機(jī)械臂模型圖Fig.6 Model drawing of 3DOF robot manipulator

表1 機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線單位矢量Table1 Unit vector of robot joint axis

表2 機(jī)器人關(guān)節(jié)軸線上的點(diǎn)Table2 Points on the robot joint axis

機(jī)器人位于初始位形時，慣性坐標(biāo)系與工具坐標(biāo)系間的剛體變換矩陣為

各關(guān)節(jié)運(yùn)動旋量為

機(jī)器臂正向運(yùn)動學(xué)的指數(shù)積公式為

根據(jù)式（19）考慮關(guān)節(jié)誤差后得到的機(jī)器臂實際正向運(yùn)動學(xué)公式為

讓機(jī)械臂沿如圖7所示的一段起點(diǎn)坐標(biāo)為(0.00,600.00,520.00)，終點(diǎn)坐標(biāo)為(214.05,370.75,128.49)的空間軌跡運(yùn)動，記錄各關(guān)節(jié)角度值的變化。

圖7 末端運(yùn)動軌跡Fig.7 Trajectory of the end effector

將各關(guān)節(jié)誤差設(shè)置成如表3所示的誤差值，將上述記錄的各關(guān)節(jié)角度值代入式（20），得到包含誤差的軌跡坐標(biāo)值，然后將該坐標(biāo)值與不包含誤差時的軌跡坐標(biāo)相減得到如圖8所示的誤差曲線圖。

表3 關(guān)節(jié)誤差值Table3 Joint error value

圖8 末端位置誤差曲線Fig.8 Position error curve of the end effector

5.2 Adams 仿真驗證

根據(jù)圖6所示的結(jié)構(gòu)，利用SolidWorks 軟件建立了機(jī)械臂的三維模型。在模型裝配階段，通過調(diào)整部件的旋轉(zhuǎn)與位移，將如表3所示的誤差值添加進(jìn)各關(guān)節(jié)，然后將模型導(dǎo)入Adams 里，得到如圖9所示的三自由度機(jī)械臂模型。

圖9 3DOF 機(jī)械臂Fig.9 3DOF robotic manipulator

在兩相鄰連桿間添加如圖10所示的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，各關(guān)節(jié)的Marker點(diǎn)坐標(biāo)如表4所示。給各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)添加如圖11所示的Motion，Motion 由5.1中各關(guān)節(jié)產(chǎn)生的角度值生成的樣條曲線驅(qū)動。

圖10 各關(guān)節(jié)設(shè)置Fig.10 Settings of joints

表4 Marker點(diǎn)坐標(biāo)值Table4 Coordinate values of marker points

圖11 Motion 設(shè)置Fig.11 Motion settings

通過仿真實驗，獲得了機(jī)械臂運(yùn)動時末端各位置的坐標(biāo)，并將各坐標(biāo)數(shù)據(jù)導(dǎo)出后與5.1中不包含誤差的坐標(biāo)數(shù)據(jù)相減，得到如圖12所示的末端位置誤差曲線。

圖12 末端位置誤差曲線Fig.12 Position error curve of the end effector

同時將仿真數(shù)據(jù)與公式計算的包含誤差的坐標(biāo)數(shù)據(jù)相減，得到如圖13所示的坐標(biāo)差值圖。

圖13 仿真結(jié)果與公式計算結(jié)果的坐標(biāo)差值Fig.13 Coordinate difference between simulation results and formula calculation results

從圖8與圖12所示的誤差曲線可以看出，公式計算與仿真實驗得到的誤差值基本一致，注意到圖13中仿真得到的數(shù)據(jù)與式（20）計算的坐標(biāo)值并不完全一致，但兩者的差值在（±3×104）mm 以內(nèi)，考慮到仿真軟件中數(shù)值運(yùn)算存在一定的精度限制，故將圖13所示的誤差認(rèn)定為合理的誤差。由此，本文提出方法的正確性得到了驗證。

6 結(jié)語

課題組應(yīng)用旋量理論，通過分析機(jī)器臂關(guān)節(jié)兩軸線在不同幾何誤差作用下的位置空間關(guān)系，將關(guān)節(jié)誤差表示成旋量的形式，結(jié)合POE 公式，給出了包含關(guān)節(jié)誤差的機(jī)器臂正向運(yùn)動學(xué)公式。通過對一3R 關(guān)節(jié)機(jī)械臂的仿真實驗，驗證了課題組提出的精度分析方法的正確性。該方法體現(xiàn)了旋量在機(jī)器人運(yùn)動分析中的直觀性、便捷性，為機(jī)器人的制造、裝配與優(yōu)化提供了參考依據(jù)，可以提高工業(yè)機(jī)器人的定位精度。該方法不僅可用于靜態(tài)和準(zhǔn)靜態(tài)誤差分析，如果考慮誤差的大小隨機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程變化，還可用于動態(tài)誤差的分析。