畢太苗，施明華

(皖西學院 金融與數(shù)學學院, 安徽 六安 237012)

集結(jié)算子作為信息融合的一種重要工具，是信息科學的重要組成部分。目前已被廣泛地應用于人工智能、優(yōu)化研究、模式識別、圖像處理、決策科學等多個研究領(lǐng)域[1]。隨著時代的發(fā)展，人們所處理的信息往往帶有一定的模糊性和不確定性。為此，近年來學者們提出大量的模糊信息集結(jié)算子。例如：有序加權(quán)平均算子用于集結(jié)模糊語言信息[2]、直覺模糊信息[3]、猶豫模糊信息[4]；有序加權(quán)幾何平均算子用于集結(jié)不確定語言信息[5]、三角直覺模糊信息[6]、區(qū)間猶豫模糊信息[7]；優(yōu)先級加權(quán)平均算子用于集結(jié)區(qū)間直覺模糊信息[8]、中智模糊信息[9]、區(qū)間猶豫模糊語言信息[10]。

上述集結(jié)算子假定信息集結(jié)過程中變量間是相互獨立的，而這一假設(shè)在實際操作中較難滿足。目前文獻大多使用Bonferroni平均算子和Heronian平均算子，對關(guān)聯(lián)程度較高的信息進行融合。文獻[11]將Bonferroni平均算子用于猶豫模糊語言信息的集結(jié)，并用于解決智慧醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)中的多屬性決策問題；文獻[12]將Bonferroni平均算子用于生產(chǎn)庫存模型中的直覺模糊信息集結(jié)；文獻[13]進一步提出直覺模糊Bonferroni幾何平均算子，并用于求解金融投資中的多屬性決策問題。Heronian平均算子和Bonferroni平均算子一樣能捕獲變量之間的關(guān)聯(lián)性，但其計算量卻要明顯少于Bonferroni平均算子，近年來受到廣泛的關(guān)注。文獻[14]結(jié)合幾何平均算子和Heronian平均算子，提出了直覺模糊Heronian幾何平均算子和直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子；文獻[15]對猶豫模糊語言加權(quán)Heronian幾何平均算子進行定義，并給出一種多屬性決策問題的求解方法；文獻[16]給出了區(qū)間直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子，并用于電子政務績效評價的多屬性決策問題；文獻[17]將Heronian幾何平均算子引入語言環(huán)境下，定義了不確定語言加權(quán)Heronian幾何平均算子。但這些加權(quán)Heronian幾何平均算子在權(quán)重相相等時無法退化為Heronian平均算子，并且不滿足冪等性。

近年來隨著我國人民生活水平的提高，白酒行業(yè)得到快速發(fā)展。行業(yè)龍頭川酒、貴酒穩(wěn)居領(lǐng)導地位，而處于第二梯隊的徽酒、鄂酒、蘇酒成為白酒行業(yè)的生力軍，市場占有率不斷擴大，品牌辨識度逐漸提高。以古井、口子窖、高爐家酒、迎駕貢酒、皖徽酒等“五朵金花”為代表的主流徽酒品牌，在中部地區(qū)有一定的市場影響力，近些年，依托其有效的營銷模式和清晰的市場定位，讓徽酒在市場中取得了不錯的突破，徽酒開始由曾經(jīng)的地域性品牌向全國性品牌強勢邁進?？谧咏咽讍⒌摹氨P中盤”營銷策略，將重點放在核心消費者終端，取得了空前成功，有效開發(fā)和帶動了市場消費，品牌市場份額也得到大幅度提高。其后，該模式被其他徽酒企業(yè)效仿，也取得了不錯的業(yè)績。創(chuàng)新的營銷模式和有效的品牌策略，使徽酒在全國白酒市場逐漸站穩(wěn)腳跟。但隨著越來越多白酒企業(yè)對這種營銷方式的效仿和跟進，市場競爭也在不斷加劇，導致各品牌搶奪市場酒店、餐飲等終端消費者的成本不斷攀升，而效果卻在減弱，導致企業(yè)利潤大幅度降低?；站七@種同質(zhì)化的營銷策略很難使其在未來發(fā)展中取得有效突破。從長遠來看，企業(yè)將營銷方向從過度關(guān)注產(chǎn)品、渠道促銷等方面轉(zhuǎn)向品牌運營，才能形成自己的核心競爭力，向良性發(fā)展之路邁進。另一方面，隨著消費升級趨勢的加快，人們的消費理念也在改變，他們開始追求健康飲酒、理性飲酒以及酒企背后的品牌文化。對于白酒企業(yè)來說，緊跟時代發(fā)展，打造鮮明的品牌，提供個性化、功能性產(chǎn)品才是大勢所趨。因此，對于徽酒進行評價，可以找出對徽酒品牌的影響因素，讓酒企更加清楚地了解自身的品牌現(xiàn)狀，從而進行改進提升，對其未來的品牌發(fā)展戰(zhàn)略有著至關(guān)重要的意義。

綜上所述，本文同時考慮到直覺模糊集理論能更好地處理復雜系統(tǒng)中的模糊性和不確定性，對加權(quán)Heronian幾何平均算子進行重新設(shè)計，提出一種改進的直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均算子，并證明新算子具有退化性、冪等性、單調(diào)性、有界性等良好性質(zhì)，最后，將其用于解決白酒評價的多屬性決策問題。

1 預備知識

1.1 直覺模糊集

定義1[3]設(shè)X是一給定論域，則X上的一個直覺模糊集A為

其中μA(x):X→[0,1]和υA(x):X→[0,1]分別代表A的隸屬函數(shù)和非隸屬函數(shù)，并且?x∈X有0≤μA(x)+υA(x)≤1.

為便于計算和討論，將直覺模糊集中的元素用有序區(qū)間對α=(μα,υα)表示，并稱為直覺模糊數(shù)。設(shè)α=(μα,υα)和β=(μβ,υβ)是2個直覺模糊數(shù)，規(guī)定：

1)α⊕β=(μα+μβ-μαμβ,υαυβ)；

2)α?β=(μαμβ,υα+υβ-υαυβ)；

為對直覺模糊數(shù)α=(μα,υα)和β=(μβ,υβ)進行排序，Chen等人提出得分函數(shù)[18](P13-18),[19]：sα=μα-υα；Hong等人引入精確度：hα=μα+υα；Xu等人將二者相結(jié)合，給出如下的排序方法[20]：

· 若sα>sβ，則α>β;

· 若sα=sβ，則

(ⅰ) 當hα=hβ時，有α=β；

(ⅱ) 當hα>hβ時，有α>β.

1.2 Heronian幾何平均算子

定義2[14]設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時為0，αi=(μαi,υαi) (i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若

則稱IFGHMp,q為直覺模糊Heronian幾何平均(GHM)算子。

但上述Heronian幾何平均算子僅考慮了變量間的關(guān)聯(lián)性，忽略了權(quán)重信息。為此，Yu等人進一步給出如下定義[14]。

定義3[14]設(shè)p≥0，q≥0，且p與q不同時為0，αi=(μαi,υαi) (i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)。若

則稱IFWGHMp,q為直覺模糊加權(quán)Heronian幾何平均(IFWGHM)算子。

2 改進的直覺模糊WGHM算子

進而有

(1)

故有

下證，由IIFWGHM算子的集結(jié)值是直覺模糊數(shù)。

由0≤μαi≤1，0≤υαi≤1，易知

和

又

綜上定理得證。

因此

定理3(1) (冪等性)αi(i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若αi=α(i=1,2,…,n)，則有

(2) (交換性)αi(i=1,2,…,n)為一組直覺模糊數(shù)，若α′1,α′2,…,α′n為α1,α2,…,αn任一置換，則有

(3) (單調(diào)性)αi=(μαi,υαi)，βi=(μβi,υβi)(i=1,2,…,n)為兩組直覺模糊數(shù)，若對任意的i=1,2,…,n，都有μαi≤μβi，υαi≥υβi，則

證明：(1)

(2)

(3) 因為μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，故有

從而

同理可得

所以

不妨設(shè)IIFWGHMp,q(α1,α2,…,αn)和IIFWGHMp,q(β1,β2,…,βn)的得分函數(shù)和精度分別為sα、sβ以及hα、hβ，則由上式得sβ≥sα.

1) 若sβ>sα，則直接可得

IIFWGHMp,q(α1,α2,…,αn)

2) 若sα=sβ，結(jié)合μαi≤μβi，υαi≥υβi(i=1,2,…,n)，可得

和

從而有hα=hβ，因此

綜上，(3)成立。

(4) 由(1)和(3)可得

和

即

綜上，定理3得證。

下面我們給出IIFWGHM算子的一些特殊形式。

情形1若p=0, 則有

情形2若q=0, 則有

情形3若p=1,q=1，則有

注：1) 由情形1和2可知參數(shù)p，q不具備交換性，即

2) 當q=0時IIFWGHM算子無法捕獲變量的權(quán)重信息。

3 直覺模糊多屬性決策方法

在前文定義的IIFWGHM算子基礎(chǔ)上，給出上述決策問題的求解步驟，具體如下：

步驟3：依次計算上述綜合評價值的得分值(如需要，則進一步計算精度值)，利用方案綜合評價值的得分對決策方案進行排序，并選擇最優(yōu)方案。

4 實例分析

假定某公司打算選擇某徽酒品牌進行投資，經(jīng)過前期的市場調(diào)研，4種徽酒品牌(x1,x2,x3,x4)進入備選。智囊團的成員決定從以下4個因素(對應的權(quán)重為w=(0.2,0.3,0.3,0.2)T)，對各4種徽酒品牌的進行評估：

g1-支持力，指的是品牌受關(guān)注度和社會的認可度，具有強大支持力的品牌在市場中的傳播力度更加強勁，而且能夠獲得較強傳播投資和營銷支持；

g2-市場力，指的是品牌在市場中的占有率。一個具有較大市場占有率的品牌，在市場中的認知度會明顯優(yōu)于其他品牌，競爭優(yōu)勢也增強；

g3-行銷范圍，指品牌的銷售區(qū)域，擁有較強的跨區(qū)域、跨文化傳播的能力。若該品牌行銷范圍廣，則在市場更具有認知度和聲望；

g4-趨勢力，指的是品牌是否能與企業(yè)未來發(fā)展相契合，具有良好趨勢力的品牌能夠順應市場的發(fā)展，抓住消費者的需求和變化，并與之保持同步。

最終，專家組達成一致評價意見，并給出如下的直覺模糊信息評價矩陣。

表1 直覺模糊信息評價矩陣

為選擇最佳建設(shè)方案，下面利用本文的決策方法進行求解，具體步驟如下：

步驟1：題中涉及的屬性均為效益型指標，因此無須規(guī)范化，可直接進行優(yōu)選決策；

步驟2：利用IIFWGHM集結(jié)算子對上述評價矩陣第i行進行集結(jié)，得到方案的綜合評價值，具體如表2。

表2 IIFWGHM算子集結(jié)結(jié)果

步驟3：計算各徽酒品牌綜合評價的得分值，并據(jù)此進行排序(如表3所示)，為公司選擇最佳投資品牌。

從表3可見p，q取值不同時，盡管最佳選擇是x2，但整體排序卻不一致。由此可知，IIFWGHM算子決策方法依賴于參數(shù)取值，考慮到計算復雜性等因素，一般情況下建議決策時取p=q=1。從表2以及表3我們還可以見到一個有趣的現(xiàn)象，當p，q取值相等時，參數(shù)取值越大，評價值和得分值越低。事實上，可以證明p=q時，IIFWGHM算子是關(guān)于參數(shù)遞減的，對于樂觀者可以選擇取值較低的參數(shù)，而悲觀者則相反。但過大的參數(shù)也會導致模型識別能力降低，例如本題中p=q=30時，x2～x4～x1?x3.因此決策過程中要合理的選擇參數(shù)進行決策。

表3 決策結(jié)果

5 比較分析

下面我們將本文方法同已有的直覺模糊多屬性決策方法進行對比，由于這些方法的主要區(qū)別在于使用不同的集結(jié)算子，因此我們有重點的選取直覺模糊加權(quán)Heronian平均(IFWHM)算子[21]，直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均(IFWGHM)算子[14]，以及直覺模糊加權(quán)Bonferroni平均(IFWBM)算子[22]，同本文的改進的直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均(IIFWGHM)算子進行對比，具體結(jié)果如表5所示。

表4 方法比對結(jié)果

6 結(jié)論

在經(jīng)濟社會快速發(fā)展的今天，人們所面臨的信息往往具有一定的不確定性和模糊性，直覺模糊數(shù)是處理此類信息的一種有效技術(shù)。本文對于現(xiàn)有的加權(quán)幾何Heronian平均算子進行設(shè)計，給出了一種具有退化性以及冪等性等優(yōu)良性質(zhì)的直覺模糊加權(quán)幾何Heronian平均算子。此外，基于新設(shè)計的算子，提出一種多屬性決策方法，徽酒品牌評價案例表明方法的可行性和有效性。