魏 雯 關(guān)振長(zhǎng)

（福州大學(xué)土木工程學(xué)院）

0 引言

我國(guó)臨近太平洋地震帶，在高烈度地震頻發(fā)的區(qū)域，如何確保隧道工程的抗震性能顯得尤為重要，達(dá)到“小震不壞，中震可修，大震不倒”的設(shè)防目標(biāo)成為隧道抗震領(lǐng)域亟待解決的熱門(mén)問(wèn)題[1-4]。開(kāi)展隧道抗震性能的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)研究具有重要意義，目前隧道抗震性能研究，主要采用的研究手段為理論分析、原位觀測(cè)以及模型試驗(yàn)[5-9]。模型試驗(yàn)主要是將模型試驗(yàn)結(jié)果反演到原型結(jié)構(gòu)，進(jìn)而研究原型結(jié)構(gòu)在地震作用下的變形規(guī)律及破壞形態(tài)。模型試驗(yàn)?zāi)軌蜉^好的控制邊界條件、模型尺寸以及方便選取地震波類型，進(jìn)而模擬地震過(guò)程[10-12]。

本文依托福州市金雞山隧道擴(kuò)建項(xiàng)目，通過(guò)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)分析隧道在地震作用下的變形形態(tài)。一個(gè)好的模型試驗(yàn)研究，需要依據(jù)相似理論推導(dǎo)出隧道圍巖及襯砌結(jié)構(gòu)的各物理量相似關(guān)系。因此，相似比設(shè)計(jì)在模型試驗(yàn)中顯得尤為重要，是進(jìn)行振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)及前提條件。

1 工程概況

福州金雞山隧道原位擴(kuò)挖后為雙向8 車道，隧道高13.0m、寬19.0m，隧道最大埋深約39m，隧道圍巖地層由上往下依次為花崗巖殘積砂土、花崗巖殘積粉質(zhì)粘土與中風(fēng)化粗?；◢弾r。

考慮到隧道特征及試驗(yàn)研究目的，選取典型地段，對(duì)隧道圍巖土層進(jìn)行了簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化后隧道埋深約14m，土層厚度由上往下為12m、15m 和12m。隧道位于花崗巖殘積粉質(zhì)粘土層，如圖1 所示。

圖1 隧道典型斷面圖（單位：dm）

2 相似理論分析

相似性在自然界中是客觀存在的普遍現(xiàn)象。在幾何相似理論中，對(duì)于類似性質(zhì)的物理過(guò)程，假設(shè)全部相關(guān)的物理量于幾何點(diǎn)和相對(duì)時(shí)間均存在一定比例關(guān)系，則稱之為相似現(xiàn)象。通常認(rèn)為相似現(xiàn)象遵循一定的物理規(guī)律，相似現(xiàn)象采用的物理表達(dá)方程式認(rèn)為是一樣的。相似現(xiàn)象中，原型物理量與對(duì)應(yīng)的縮放物理量的比例關(guān)系稱為相似常數(shù)，通常情況下，受物理定律的約束相似常數(shù)不能隨意選取，例如幾何尺寸最佳相似比是依據(jù)重力加速度確定的。當(dāng)下，確定相似關(guān)系主要的方法有方程式與量綱分析[13-14]。

一般情形下，相似判斷若經(jīng)確定的方程式推導(dǎo)而得，那么用方程分析法推導(dǎo)相似判斷也是準(zhǔn)確的。方程分析法建立的基礎(chǔ)是物理過(guò)程中每個(gè)物理量的函數(shù)關(guān)系式必須是確定的，但往往受制于試驗(yàn)條件以及材料的復(fù)雜性，很難得到準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，此時(shí)量綱分析法可以有效的解決這個(gè)問(wèn)題。

通過(guò)相似理論分析，每個(gè)物理量都存在一定聯(lián)系，因此每個(gè)物理量之間的量綱也存在一定聯(lián)系。

量綱一般是確定物理量的類型種類，無(wú)關(guān)于量的大小。量綱關(guān)系主要是達(dá)成一定的量綱和諧，量綱關(guān)系主要有以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

①假如兩個(gè)物理量相等，那么它們數(shù)值相等，量綱也相同。②兩物理量若是量綱相同，那么它們的比值是無(wú)量綱量的，無(wú)關(guān)于單位大小。③量綱和諧：一般方程可以采用減、加及等號(hào)關(guān)聯(lián)起來(lái)用來(lái)描述某一個(gè)物理現(xiàn)象，但是每一項(xiàng)的量綱一定要相同。

相似理論是探究物理相似現(xiàn)象的基本原理和指導(dǎo)方法。相似現(xiàn)象一般能夠采用物理方程所表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而得到三個(gè)基本定理如下。

⑴相似第一定理

如果相似指標(biāo)等于1，則稱為兩個(gè)現(xiàn)象相似，那么一樣的物理量所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的比例系數(shù)相等。1686 年Newton 提出了著名的牛頓準(zhǔn)則，較好的闡述了兩個(gè)力學(xué)系統(tǒng)相似準(zhǔn)則問(wèn)題，同時(shí)用相似關(guān)系建立了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的關(guān)聯(lián)問(wèn)題；1848 年，Bertrand 首次提出了相似第一定理。

⑵相似第二定理

相似第二定律闡述的原理是，當(dāng)在n 個(gè)物理量的某個(gè)物理系統(tǒng)中，相互獨(dú)立的量綱有m 個(gè)，那么存在（n-m）個(gè)相似判據(jù)。該定理還提出，假設(shè)某個(gè)物理系統(tǒng)的現(xiàn)象相似，則可以推導(dǎo)出相似判據(jù)一樣。1911 經(jīng)俄國(guó)費(fèi)捷爾曼首次提出；若干年后，被美國(guó)學(xué)者E.Buckingham 推導(dǎo)論證。

⑶相似第三定理

相似第三定理闡述的原理是，當(dāng)物理量處于幾何相似系統(tǒng)，那么物理量之間的微分方程要一樣，其中還要求對(duì)應(yīng)部分的模數(shù)數(shù)值相等。該定理由基爾皮契夫提出。

在相似第三定理中，單值量條件需滿足單個(gè)具體現(xiàn)象得從眾多現(xiàn)象中區(qū)別篩選出來(lái)的條件，它主要包含以下部分：①幾何條件：凡參與物理過(guò)程的物體的幾何大小應(yīng)當(dāng)給出的單值量條件。②物理?xiàng)l件：在物理系統(tǒng)過(guò)程中，物質(zhì)屬性必須明確單值量條件，主要有泊松比、速度、質(zhì)量、剪應(yīng)力、彈模等。③邊界條件：世間物理現(xiàn)象之間均是相互影響的，所以單值量條件在邊界上應(yīng)當(dāng)明確，比如：邊界荷載分布情況，地基的支承受力端的方向，分析物體體積膨脹時(shí)的溫度條件等。④初始條件：事物現(xiàn)象的發(fā)展往往跟初始狀態(tài)密切聯(lián)系，一般情況下必須給出初始的單值量條件，比如，運(yùn)動(dòng)物體的初始速度和出發(fā)時(shí)間、物體的質(zhì)量和體積以及自然狀態(tài)下物體的溫度等。

各物理量之間是相互聯(lián)系的，確定若干個(gè)單值量后，通過(guò)物理系統(tǒng)中的物理方程式可推導(dǎo)出其他相關(guān)單量值。

3 相似比設(shè)計(jì)

當(dāng)前受場(chǎng)地及設(shè)備的限制，物理模型試驗(yàn)通常情況是通過(guò)原型縮尺進(jìn)行。根據(jù)相似理論，將物理結(jié)構(gòu)原型經(jīng)相似比設(shè)計(jì)后縮小進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，通過(guò)模型試驗(yàn)研究相關(guān)結(jié)構(gòu)的受力規(guī)律及破壞形態(tài)，進(jìn)而推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)在實(shí)際工程應(yīng)用中的受力情況，以便更好的提供理論基礎(chǔ)支撐及指導(dǎo)工程施工。因此做好模型試驗(yàn)的重要前提是明確結(jié)構(gòu)的相關(guān)物理量以及各物理量之間的相似關(guān)系。結(jié)合具體的某個(gè)試驗(yàn)，應(yīng)具體情況具體分析，在物理關(guān)系明確，可以用數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)出物理方程式的可采用第三相似定律推導(dǎo)。本文研究的隧道抗震性能分析，其隧道受力關(guān)系明確，因此采用方程式推導(dǎo)出各物理量的動(dòng)力相似關(guān)系，進(jìn)而設(shè)計(jì)相似比。

3.1 相似關(guān)系

模型試驗(yàn)?zāi)芊褫^好的反映實(shí)際受力變形情況跟相似關(guān)系密切相關(guān)。相似關(guān)系中提出必須滿足各物理量的相似條件，但通常受制于試驗(yàn)材料和試驗(yàn)設(shè)備的影響，往往很難做到完全相似。于是，每個(gè)試驗(yàn)項(xiàng)目根據(jù)研究的具體目的著重考慮某些物理量相似，進(jìn)而推導(dǎo)出其他物理量的相似關(guān)系。

本項(xiàng)目借助福州某高校振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行了隧道抗震模型試驗(yàn)研究，其中振動(dòng)臺(tái)的主要物理參數(shù)如表1 所示。

表1 振動(dòng)臺(tái)的主要物理參數(shù)

通常情況，若是已知三個(gè)物理量，且物理量之間相互獨(dú)立，那么即可推導(dǎo)出剩余物理量量綱。因此，當(dāng)沒(méi)有離心機(jī)時(shí)，原型和模型均位于一樣的重力場(chǎng)，要增大物體質(zhì)量相當(dāng)困難，重力加速度默認(rèn)為相等。為了方便模型試驗(yàn)研究，同時(shí)受制于場(chǎng)地和試驗(yàn)設(shè)備，一般假定加速度、幾何尺寸與彈模作為獨(dú)立變量，進(jìn)而依據(jù)明確的物理方程式推導(dǎo)剩余的物理量相似比。

通過(guò)以上假定，根據(jù)具體項(xiàng)目要求、場(chǎng)地條件、材料屬性、經(jīng)濟(jì)條件以及試驗(yàn)設(shè)備，確定出已知量的相似設(shè)計(jì)比。本項(xiàng)目結(jié)合試驗(yàn)作業(yè)臺(tái)面以及模型試驗(yàn)箱，材料吊裝安全等幾方面考慮，最終確定將隧道埋深39m 縮尺為1.3m 較為妥當(dāng)，進(jìn)而推導(dǎo)出幾何尺寸相似比為1/30；因在同一重力場(chǎng)，重力加速度相似比確定為1/1；參考已有研究以及材料物理屬性限制，將彈性模量相似比確定1/40。其余物理量相似比通過(guò)以上已知條件推導(dǎo)。主要的材料物理量有應(yīng)變、應(yīng)力、密度彈模以及泊松比；主要的幾何物理量有位移和幾何尺寸；主要的動(dòng)力物理量有加頻率、速度、剛度、時(shí)間和阻尼等，根據(jù)第三相似定律推導(dǎo)后，主要的動(dòng)力相似關(guān)系如表2 所示。

表2 動(dòng)力相似關(guān)系

隧道圍巖相似比設(shè)計(jì)完成后，襯砌結(jié)構(gòu)的相似比也應(yīng)確認(rèn)。從隧道受力角度分析認(rèn)為，抗彎和彎曲應(yīng)變對(duì)襯砌安全起到重要作用。隧道襯砌結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)不僅承受抗彎，同時(shí)還承受軸力，該襯砌結(jié)構(gòu)類似于圓柱形殼體結(jié)構(gòu)。因此,在模型試驗(yàn)中我們將抗彎剛度作為研究重點(diǎn)。但是由于隧道結(jié)構(gòu)的軸向和彎曲變形方程不相同，兩者相似準(zhǔn)則不能一概而論，應(yīng)將兩種情況單獨(dú)分析考慮。

在隧道結(jié)構(gòu)彎曲變形相似設(shè)計(jì)中，假設(shè)其滿足薄板結(jié)構(gòu)板撓曲ω 控制方程，將薄板厚度設(shè)置成h，x 軸與y軸分別為橫截面內(nèi)的坐標(biāo)軸，則薄板在橫向均布力q 的作用下，應(yīng)滿足的薄板撓曲ω 方程如下所示：

式中，

Sh——圍巖長(zhǎng)度單位相似比為；

SE——圍巖彈模相似比；

S＇h——二襯長(zhǎng)度單位相似比；

S′E——襯砌彈模相似比為。

同時(shí)泊松比是無(wú)量綱物理量，可推導(dǎo)出S＇μ=Sμ=1。結(jié)合本項(xiàng)目試驗(yàn)?zāi)康囊约霸囼?yàn)材料屬性，同時(shí)便于試驗(yàn)研究，經(jīng)過(guò)分析對(duì)比，將襯砌彈模相似比設(shè)置為S′E=SE，進(jìn)一步推導(dǎo)出S＇h=Sh，那么襯砌結(jié)構(gòu)厚度相似比可以推導(dǎo)出為1/30，襯砌相似關(guān)系也如表2 所示。

3.2 確定模型相似尺寸

通過(guò)確定長(zhǎng)度L 相似比為1/30，重力加速度相似比為1/1，彈性模量相似比確定為1/40，本項(xiàng)目模型試驗(yàn)的最終尺寸擬定為長(zhǎng)310cm、寬80cm 和高130cm。通過(guò)相似關(guān)系推導(dǎo)，結(jié)合表2 的動(dòng)力相似關(guān)系，確定出模型襯砌結(jié)構(gòu)尺寸厚2.5cm、高43cm 以及寬63cm。經(jīng)過(guò)相似設(shè)計(jì)比，將本項(xiàng)目原型尺寸縮尺后得到的幾何尺寸圖如圖2 所示?？s尺后隧道圍巖劃分為三層，各層厚度由上往下依次為40cm、50cm 以及40cm。

圖2 隧道模型縮尺后立面圖（單位：㎝）

3.3 相似材料選取

由以上相似關(guān)系推導(dǎo)可知，模型試驗(yàn)中采用的材料密度為實(shí)際圍巖密度的1.33 倍，因此隧道圍巖底層的中風(fēng)化粗粒花崗巖，采用巖質(zhì)相似材料的重晶石粉和鐵粉等模擬；頂層的花崗巖殘積粉質(zhì)粘土以及底層的花崗巖殘積砂土采用土質(zhì)相似材料，主要由粉質(zhì)黏土和膨脹土模擬。在后續(xù)振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果分析中，根據(jù)相似比設(shè)計(jì)反推回實(shí)際結(jié)構(gòu)在振動(dòng)響應(yīng)中的振動(dòng)速度、加速度及應(yīng)力等物理量。通過(guò)配合比試驗(yàn)得到相似材料的主要物理參數(shù)盡量滿足表3 的相似關(guān)系。

根據(jù)相似材料主要物理參數(shù)，通過(guò)比較分析試驗(yàn)結(jié)果，為了能較好的模擬隧道圍巖物理屬性，本文選取的相似材料配比如下：

⑴花崗巖殘積砂土相似材料配比為：m重晶石粉:m鐵粉:m粉細(xì)砂:m松香:m酒精:m石膏=0.606:0.152:0.189:0.033:0.1:0.02。

⑵花崗巖殘積粉質(zhì)粘土相似材料配比為：m粉質(zhì)粘土:m重晶石粉:m粉細(xì)砂=0.48:0.4:0.12。

⑶砂土狀強(qiáng)風(fēng)化花崗巖材料配比：m粉質(zhì)粘土:m重晶石粉:m粉細(xì)砂:m膨潤(rùn)土=0.384:0.32:0.096:0.20。

表3 巖質(zhì)相似材料的相似關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

⑴通過(guò)相似比設(shè)計(jì)，擬定加速度相似比為1/1、幾何尺寸為1/30 以及彈性模量為1/40。確定出模型試驗(yàn)的最終尺寸擬定為長(zhǎng)310㎝、寬80㎝和高130㎝。

⑵通過(guò)擬定的物理量相似關(guān)系，推導(dǎo)出模型試驗(yàn)中速度、加速度及密度等其他物理量的動(dòng)力相似關(guān)系。

⑶通過(guò)確定隧道圍巖材料的相似比，選取出物理屬性較為適合的材料進(jìn)行配比作為試驗(yàn)相似材料。

合理的模型試驗(yàn)設(shè)計(jì)，能夠使試驗(yàn)結(jié)果更加真實(shí)可靠地反映原型結(jié)構(gòu)變形與受力情況，為隧道抗震研究提供理論基礎(chǔ)。