趙 龍 王曉峰

（沈陽航空航天大學(xué)，遼寧 沈陽110000）

1 無偏灰色馬爾科夫鏈方法介紹

民航貨運(yùn)量是一項(xiàng)重要的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，可用于反映民航貨運(yùn)營銷系統(tǒng)中商品的需求。民航貨運(yùn)量預(yù)測(cè)是采用科學(xué)的方法估算未來貨運(yùn)量和發(fā)展趨勢(shì)，可以幫助運(yùn)輸管理和實(shí)踐決策。由于貨物的航空運(yùn)輸與當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)和企業(yè)發(fā)展息息相關(guān)，鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)已成為研究貨物需求與經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間關(guān)系的重要問題。當(dāng)前，有許多方法可以預(yù)測(cè)時(shí)間序列，例如Logistic 回歸，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，支持向量機(jī)，灰色系統(tǒng)理論等。

灰色模型已應(yīng)用于時(shí)間序列預(yù)測(cè)，并且主要利用模型GM（1，1）進(jìn)行預(yù)測(cè)。因?yàn)镚M（1，1）的解是一條平滑的指數(shù)曲線，所以它無法擬合那些作為振動(dòng)序列的數(shù)據(jù)。馬爾可夫轉(zhuǎn)移模型是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它通過分析內(nèi)在發(fā)展來預(yù)測(cè)未來，它反映了影響程度和規(guī)律，這些影響程度和規(guī)律位于要素從一種狀態(tài)過渡到另一種狀態(tài)的過程中。該模型可以很好地預(yù)測(cè)這些穩(wěn)定的隨機(jī)數(shù)據(jù)序列，但在現(xiàn)實(shí)世界中，這些原始序列會(huì)以一定的變化趨勢(shì)振動(dòng)和變化。基于以上分析，我們知道GM（1，1）模型和Markov 模型可以相互集成，以利用它們的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。也就是說：模型GM（1，1）可用于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列的變化趨勢(shì)，而馬爾可夫鏈模型可用于確定其發(fā)展的振動(dòng)規(guī)律。

為了進(jìn)一步提高灰色馬爾可夫模型的預(yù)測(cè)能力，對(duì)常規(guī)灰色馬爾可夫模型進(jìn)行了兩項(xiàng)改進(jìn)。在灰色預(yù)測(cè)階段，為了減少和消除常規(guī)GM（1，1）中存在的偏差，開發(fā)了無偏GM（1，1）以適應(yīng)歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。在該過程的最后階段，使用模糊分類對(duì)統(tǒng)計(jì)樣本進(jìn)行排序。樣本可以屬于不同的類別，只有其不同類別的隸屬度是不同的。由于樣本受到干擾且略有變化，因此每個(gè)州的隸屬度都將變化，這不會(huì)對(duì)最終的預(yù)測(cè)結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重影響。這種改進(jìn)的灰色- 馬爾可夫鏈模型稱為無偏灰色- 模糊- 馬爾可夫鏈方法。

2 無偏灰色馬爾科夫鏈方法的實(shí)現(xiàn)

步驟1；構(gòu)造無偏GM（1，1）

（1）給定數(shù)據(jù)序列

我們使用累積生成操作來生成新的數(shù)據(jù)序列：

步驟2；建立模糊分類

基于無偏灰色模型的相對(duì)誤差，我們將系統(tǒng)分為m 個(gè)狀態(tài)，每個(gè)狀態(tài)表示為

其中θi1和θi是第i 個(gè)狀態(tài)的相對(duì)誤差的下邊界和上邊界。θi1和θi是第i 個(gè)狀態(tài)的下邊界和上邊界的實(shí)際值，可以通過使用θi1和θi計(jì)算得出。 給定一個(gè)相對(duì)誤差x∈U（U 是相對(duì)誤差集），可以使用三角法建立其隸屬度函數(shù)。

圖1 說明了由三角法定義的模糊空間，該圖顯示了將空間U 劃分為5 個(gè)模糊類，并使用三角法構(gòu)建隸屬函數(shù)，其中a 和b是集合U 的最小值和最大值，而A1到A5是5 個(gè)模糊集。模糊分類允許一個(gè)值同時(shí)屬于不同的類別，當(dāng)兩個(gè)類別之間的邊界不明確且難以定義時(shí)，此概念非常有用。

因此，每個(gè)相對(duì)誤差的歸屬都可以描述為模糊狀態(tài)向量：（u1（x），u2（x），...，um（x）），其中ui（x）是第i 類的隸屬函數(shù)。

步驟3；構(gòu)造轉(zhuǎn)移概率矩陣

可以用最大隸屬度原則建立每個(gè)相對(duì)誤差狀態(tài)，也就是說，對(duì)于任何相對(duì)誤差x∈U（U 是一個(gè)相對(duì)誤差集），只要存在k0（1≤k0≤m）即可滿足等式

圖1

狀態(tài)P 的轉(zhuǎn)移概率矩陣反映了系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移規(guī)則。狀態(tài)Pij的轉(zhuǎn)變概率反映了從初始狀態(tài)θi到終端狀態(tài)θj轉(zhuǎn)變1 步的可能性。它是基于馬爾可夫概率矩陣進(jìn)行預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)

步驟4：Fuzzy-Markov 誤差調(diào)整

將F（δ（n））表示為隸屬度的向量：

F（δ（n））=[uA1（δ（n）），uA2（δ（n）），…，uAm（δ（n））]

其中δ（n）是時(shí)間n 處的相對(duì)誤差，uAi（δ（n））是模糊狀態(tài)Ai中δ（n）的隸屬度。在步驟n+1 時(shí)的隸屬度向量可以通過以下公式計(jì)算：

F（δ（n+1））=F（δ（n））P=[uA1（δ（n+1）），…，uAm（δ（n+1））]

F（δ（n+1））的每個(gè)分量表示時(shí)間步長n+1 處每個(gè)模糊狀態(tài)的隸屬度。以模糊向量中的隸屬度為權(quán)重，可以通過加權(quán)和法計(jì)算出下一步的預(yù)測(cè)相對(duì)誤差：

3 民用航空貨運(yùn)量預(yù)測(cè)

根據(jù)2015 年中國民航貨運(yùn)量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)了2016 年至2020 年的民航貨運(yùn)量，驗(yàn)證了模型的有效性。圖2 中列出了2015 年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

圖2

4 結(jié)論

無偏灰色模型GM（1,1）反映了宏觀調(diào)控，而具有模糊分類的馬爾可夫模型則顯示了微觀系統(tǒng)的振動(dòng)發(fā)展，不僅具有共同的優(yōu)勢(shì)，而且可以充分利用這些信息，包含在這些原始數(shù)據(jù)中。因此，預(yù)測(cè)灰色馬爾可夫模型具有更高的準(zhǔn)確性，可靠性，可用于民航貨運(yùn)量預(yù)測(cè)。