王健

(華北理工大學 礦業(yè)工程學院，河北 唐山 063210)

0 引言

在精密工程測量工作中，利用全站儀進行精密距離測量是一項重要且基本的工作。該項工作對測距精度要求很高[1]，一般要求誤差不能超過2～3 mm。雖然精密全站儀能夠高精度地測量兩點之間的斜距，但是在將斜距歸算為水平距離、水平距離歸算為橢球面弧長的過程中會產(chǎn)生變形誤差[2]。在精密放樣工作中，有時甚至忽略投影變形的存在，直接使用全站儀放樣水平距離。這些因素都可能會影響測量成果的精度，嚴重時會導致測量成果不合格。所以，對各種情況下斜距歸算的變形誤差進行定量分析，并提出合理的處理方法是十分必要的。

1 斜距歸算為水平距離以及橢球面弧長的變形分析

1.1 斜距歸算為水平距離的變形

如圖1、圖2所示，A、B為地面上兩點，弧AC為過A點的橢球面弧長，弧BD為過B點的橢球面弧長，α3為弧長所對應的圓心角。AE為弧AC的切線，α1為相應豎直角；BF為弧BD的切線，α2為相應豎直角。利用全站儀直接測得斜距SAB，其水平距離按下式得到：

DAE=SABcosα1

(1)

DBF=SABcosα2

(2)

當A、B兩點間高差較小時，如圖1所示，可得α2+α1=α3(此時，AB的豎直角為負數(shù)，BA的豎直角也為負數(shù))。

當A、B兩點間高差較大時，如圖2所示，可得α2-α1=α3(此時，AB的豎直角為正數(shù)，BA的豎直角為負數(shù))。

圖1 小豎直角時斜距歸算示意圖 圖2 大豎直角時斜距歸算示意圖

無論A、B兩點間的高差如何變化，都不會出現(xiàn)AB、BA的豎直角同時為正數(shù)的情況。

于是，利用全站儀在A、B兩點分別測水平距離，2個水平距離從理論上來說是不一致的，其差值為：

ω1=DAE-DBF

(3)

在實際工程測量工作中，常常在一個控制點上設站來測定或放樣某一個水平距離。按照上面的分析，這一過程肯定是有誤差的。誤差的具體大小，將以具體數(shù)值來進行分析。

1.2 水平距離歸算為橢球面弧長的變形

在建立精密工程控制網(wǎng)工作中，往往需要將觀測的距離歸算為參考橢球面上的弧長。由圖1、圖2可得弧長的計算公式為[3]：

LAC=ROA×α3

(4)

LBD=ROB×α3

(5)

其中，半徑ROA的值可以選取地球的半徑或過A點的橢球面法截弧半徑，半徑ROB通過余弦定理計算：

(6)

圓心角α3通過正弦定理計算獲得：

(7)

圖1中，角BAO=90-α1；圖2中，角BAO=90+α1。

斜距SAB2個端點A、B上對應的弧長之差為：

ω2=LBD-LAC

(8)

在精密控制測量中，取A、B兩端點的平均弧長值做最終結果：

(9)

利用全站儀可以很方便地測量斜距和豎直角，從而獲取水平距離DAE、DBF，A、B兩端點水平距離的平均值為：

(10)

水平距離平均值與弧長平均值的差為：

ω3=LZZ-DZZ

(11)

在精密的工程測量工作中，要求控制網(wǎng)的距離尺度與放樣時的尺度高度一致。從以上分析可以看出，DAE、DBF、DZZ、LZZ的值理論上是不一致的，而且投影變形值隨A、B兩點間的斜距大小、豎直角的大小變化而變化。為了更直觀地分析這種變形值的變化規(guī)律，現(xiàn)在利用具體數(shù)據(jù)進行定量分析。

2 距離歸算誤差的定量分析

2.1 小豎直角情況下距離歸算誤差數(shù)值分析

如圖1所示。常見的工程測量控制網(wǎng)，邊長都比較短，此時該邊長所對應的圓心角非常小。依據(jù)α1+α2=α3，該種情況只能出現(xiàn)在A、B 2個端點的豎直角都非常小的條件下。對于圖1，最不利的情況(即A、B兩端豎直角相差最大的情況)為一端豎直角為0，另一端豎直角與3值相等?，F(xiàn)在對斜距分別為500 m、1 000 m、1 500 m、2 000 m、2 500 m、3 000 m、3 500 m、4 000 m、4 500 m、5 000 m，計算其在A、B兩端豎直角相差最大的情況下，水平距離、弧長、平均水平距離、平均弧長的值，計算結果見表1。

表1 小豎直角時各種距離歸算誤差的數(shù)值分析

由表1可知，測距邊為小豎直角的情況下，邊長歸算誤差隨著邊長和豎直角的增大而增大，但總體而言歸算誤差數(shù)值都很小，例如：斜距為5 000 m時，僅從一個端點測量的水平距離與平均弧長之差不會超過1.2 mm。所以在小豎直角的情況下，歸算誤差可忽略，完全可以利用一個端點測得的精密水平距離代替平均弧長。

2.2 大豎直角情況下距離歸算誤差數(shù)值分析

如圖2所示。取斜距為200 ～1 000 m，步長間隔為200 m，豎直角為1 ～10。，步長間隔為1。，分別計算各水平距離、弧長、平均水平距離、平均弧長的值，計算結果見表2～表6。

表2 斜距200 m時各種豎直角下歸算誤差的數(shù)值分析

表3 斜距400 m時各種豎直角下歸算誤差的數(shù)值分析

表4 斜距600 m時各種豎直角下歸算誤差的數(shù)值分析

表5 斜距800 m時各種豎直角下歸算誤差的數(shù)值分析

表6 斜距1 000 m時各種豎直角下歸算誤差的數(shù)值分析

由表2～表6可見，在測距邊的傾斜角較大時，歸算誤差比較大，誤差值受斜距值和豎直角值2個因素的影響。為了更直觀地體現(xiàn)誤差值的變化，以斜距作為橫軸(單位m)，以豎直角作為豎軸(單位。)，計算單端測量的水平距離的誤差值(DAE減LZZ，單位mm)，繪制等值線圖，如圖3。

分析表2～表6和圖3可得：當豎直角較大時，即使比較短的距離，單端測量的水平距離也有較大的歸算誤差，這是精密測距工作中必須引起注意的；斜距相同時，歸算誤差基本與豎直角的大小成正比；豎直角相同時，隨著斜距的增加，歸算誤差迅速增加；利用2個端點測得的水平距離取平均值，與弧長平均值之差幾乎為零。所以在精密測距工作中，取兩端點測得的水平距離的平均值作為結果，是消除歸算誤差的簡單有效的方法，避免了計算弧長的繁瑣過程。

圖3 斜距歸算水平距離誤差的等值線圖

3 結論

(1)豎直角很小時，單端測量的水平距離與平均弧長相差非常小，歸算誤差可以忽略。

(2)豎直角較大時，即使比較短的距離，單端測量的水平距離也有較大的歸算誤差，這是精密測距不允許的，必須加入改正數(shù)。

(3)對2個端點測得的水平距離取平均值，與弧長平均值之差幾乎為零，所以在精密測距工作中可以采用該措施來消除歸算誤差。