文 陳 卓
角是幾何圖形中非常重要的元素。在證明兩條直線互相平行的位置關(guān)系、全等三角形的判定、相似三角形的判定、三角函數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)中都會(huì)涉及角。圓的性質(zhì)和對(duì)稱的特征,賦予以圓為載體的角較強(qiáng)的靈活性,使得這些角能夠靈活地互相轉(zhuǎn)化。
例1(2020·山東聊城)如圖1,在⊙O中,四邊形OABC為菱形,點(diǎn)D在上,則∠ADC的度數(shù)是________。
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠B=∠AOC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠B+∠D=180°,即可得出∠D+∠AOC=180°。根據(jù)圓周角定理得出∠AOC=2∠D,即可求得∠ADC=60°。
解:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴∠B+∠ADC=180°。
∵四邊形OABC為菱形,
∴∠B=∠AOC,
∴∠ADC+∠AOC=180°。
∵∠AOC=2∠ADC,
∴3∠ADC=180°,
∴∠ADC=60°。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì),將圓中角進(jìn)行靈活變化是解題關(guān)鍵。
例2(2020·山東青島)如圖2,BD是⊙O的直徑,點(diǎn)A、C在⊙O上,,AC交BD于點(diǎn)G。若∠COD=126°,則∠AGB的度數(shù)為( )。
A.99° B.108° C.110° D.117°
【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BAD=90°,∠DAC=∠COD=63°,再 由得到∠B=∠D=45°,然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可以計(jì)算出∠AGB的度數(shù)。
解:∵BD是⊙O的直徑,
∴∠BAD=90°。
∵∠DAC=∠COD=×126°=63°,
∴∠AGB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°。
故選B。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論:直徑所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
例3如圖3,直線AB與⊙O相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)O在AB上,點(diǎn)C在⊙O上,且∠AOC=40°,點(diǎn)E是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O不重合),直線EC交⊙O于另一點(diǎn)D,則使DE=DO的點(diǎn)總共有________個(gè)。
【分析】我們要將點(diǎn)E分為在線段AB上(E在⊙O內(nèi))、在線段BA或AB的延長(zhǎng)線上(E點(diǎn)在⊙O外)這三種情況考慮。再通過角度的計(jì)算,我們才能確定E點(diǎn)位置、存在的個(gè)數(shù)。
解:如圖4所示,點(diǎn)E的位置有3個(gè)。
當(dāng)是E1時(shí),∠CE1O的度數(shù)為;
當(dāng)是E2時(shí),∠CE2O的度數(shù)為;
當(dāng)是E3時(shí),∠CE3O的度數(shù)為。
所以使DE=DO的點(diǎn)總共有3個(gè)。
【點(diǎn)評(píng)】弧是聯(lián)系與圓有關(guān)的角的中介,“由弧到角,由角看弧”是促使與圓有關(guān)的角相互轉(zhuǎn)化的基本方法。
例4如圖5,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AC,BD⊥AC,垂足為E。
(1)若∠BAC=40°,則∠ADC=________°;
(2)求證:∠BAC=2∠DAC;
(3)若AB=10,CD=5,求BC的值。
【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論;
(3)過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAH=∠CAH=∠CAB,CH=BH,過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AH,CG=CH。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,設(shè)BH=k,AH=2k,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論。
(1)解:∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°。
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,
∴∠ADC=180°-∠ABC=110°。
(2)證明:∵BD⊥AC,
∴∠AEB=∠BEC=90°,
∴∠ACB=90°-∠CBD。
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=90°-∠CBD,
∴∠BAC=180°-2∠ABC=2∠CBD。
∵∠DAC=∠CBD,
∴∠BAC=2∠DAC。
(3)解:過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,
∵AB=AC,
∴∠BAH=∠CAH=∠CAB,CH=BH。
∵∠BAC=2∠DAC,
∴∠CAG=∠CAH。
過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∴∠G=∠AHC=90°。
∵AC=AC,
∴△AGC≌△AHC(AAS),
∴AG=AH,CG=CH。
∵∠CDG=∠ABC,
∴△CDG∽△ABH,
設(shè)BH=k,AH=2k,
∴AB=,
∴k=,
∴BC=2k=。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)。本題中對(duì)圓中角轉(zhuǎn)化進(jìn)行了較為綜合性的運(yùn)用,對(duì)理解知識(shí)點(diǎn)有很好的啟發(fā)作用。