張志勇

隨著知識革新及技術(shù)創(chuàng)新，以大數(shù)據(jù)、“互聯(lián)網(wǎng)+”為背景的教育新時代已經(jīng)到來。對于數(shù)學教學而言，教育技術(shù)已成為一種不可或缺的工具，“重視信息技術(shù)運用，實現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學課程的深度融合”是我們理應深入探究的課題。實現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學的深度融合，離不開信息化教學環(huán)境的構(gòu)造、新型教與學方式的實現(xiàn)和傳統(tǒng)課堂教學結(jié)構(gòu)的變革。本文以GeoGebra 為軟件平臺，就概念生成、規(guī)則演繹等內(nèi)容談談如何將技術(shù)融入數(shù)學的教與學中，從而影響并推動著傳統(tǒng)課堂教學結(jié)構(gòu)的變革和數(shù)學教學新形態(tài)的構(gòu)建。

一、概念形成中的融合設(shè)計

概念是數(shù)學思維方式建構(gòu)或轉(zhuǎn)變的基石，一個概念的背后往往蘊含著豐富的數(shù)學思想，分析、處理問題的策略與方法。因此，對于數(shù)學概念的學習，并不是僅僅能記住、說出它的定義，認識它的代表符號，而是要真正能夠把握它的本質(zhì)屬性。概念教學中，要讓學生認識到學習新概念的必要性，同時凸顯概念的形成過程，讓學生在大量例證中歸納、概括、抽象出概念的關(guān)鍵屬性。

案例1：等比數(shù)列的概念教學。

概念形成需要從大量的實例和學習者的實際經(jīng)驗出發(fā)，以歸納的思維方式獲得概念。于是融入技術(shù)元素，設(shè)計適于概念形成的學習情境并留給學生自主活動的空間，當是教學設(shè)計中應該重點處理的環(huán)節(jié)。

二、規(guī)則演繹中的融合設(shè)計

數(shù)學學習離不開推理運算，而公式法則、定理命題是運算推理的重要根基，學生運算出錯、推理失敗多是因為公式、定理理解不全的緣故。在常規(guī)教學中，定理法則的教學采用更多的是“告訴演繹”思路，即展示規(guī)則（告訴）→推導驗證（演繹）→變式應用（操練）。技術(shù)融入后，可借助CAS 系統(tǒng)（Computer Algebra System）增加“規(guī)則發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，化單純的演繹為“歸納+演繹”，為我們的教學設(shè)計提供更多的選擇。

案例2：導數(shù)運算法則的“發(fā)現(xiàn)”教學。

以積的求導法則為例，在常規(guī)的教學流程中可增加下列環(huán)節(jié)：

（1）計算先行，感知規(guī)則。在GeoGebra 的運算區(qū)中，先計算一些具體函數(shù)的導數(shù)，如y=x2ex、y=xsinx 等，讓學生認識到積的導數(shù)應該是和的形式；

（2）歸納猜想，發(fā)現(xiàn)規(guī)則。進一步的，在運算區(qū)中進行實驗探究。如圖3，改變基本函數(shù)f（x）、g（x）的解析式，考察f（x）g（x）的導數(shù)的變化，從而明確和式的由來，得出結(jié)果“（f（x）·g（x））′=f '（x）·g（x）+f（x）·g'（x）”。

這樣的教學設(shè)計其實是借助技術(shù)的力量實現(xiàn)教學流程倒置，將原來的記憶操練變更為歸納發(fā)現(xiàn)（導數(shù)運算結(jié)果提前呈現(xiàn)給學生），在實現(xiàn)“向技術(shù)學數(shù)學”的同時，也創(chuàng)設(shè)了“再創(chuàng)造”數(shù)學的情境，讓學生有機會在經(jīng)歷“觀察現(xiàn)象→歸納猜想→證明猜想→應用拓展”的過程中，實現(xiàn)更高抽象層次上的抽象探究。雖然完整的教學流程還需要有演繹推證規(guī)則、變式應用操作（在練習過程中可將紙筆運算結(jié)果與計算機計算結(jié)果進行比對驗證）環(huán)節(jié)，但有了技術(shù)的融入，我們在定理法則的教學中有了全新的設(shè)計選擇，完全可以做過去課堂中做不到的事情。事實上，技術(shù)本身也是數(shù)學，GeoGebra 可以方便實現(xiàn)符號計算功能，能更好地與注重形式化、符號化的數(shù)學學科相匹配，滿足在計算機上推導數(shù)學公式的需求，如對表達式進行因式分解、化簡、微分、積分、解代數(shù)方程、求解常微分方程等；進而滿足學生在更高抽象層次上進行思考與探究，使形式化的符號也能成為學生高層次的數(shù)學認知基礎(chǔ)。

三、活動探究中的融合設(shè)計

只有經(jīng)歷豐富的數(shù)學活動，數(shù)學學習才能積累足夠的原初經(jīng)驗，于是應用現(xiàn)代技術(shù)的動態(tài)形象優(yōu)勢，可以創(chuàng)設(shè)生動活潑、富有啟發(fā)性的情境，為學生理解概念創(chuàng)設(shè)背景，為學生探索規(guī)律啟發(fā)思路，為學生解決問題提供直觀呈現(xiàn)的方式，從而優(yōu)化課堂教學，轉(zhuǎn)變教與學的方式。

案例3：圓錐曲線的包絡探究。

我們知道，圓錐曲線可以通過折紙的方式來呈現(xiàn)，但折紙操作過程費時費力，并且通過有限的幾條折痕“看出”輪廓（包絡線）也絕非易事，而這樣的麻煩事?lián)Q到技術(shù)環(huán)境中則可以輕松解決，從而讓學生在數(shù)學活動中獲取圓錐曲線概念的原始經(jīng)驗。如圖4，拖動滑動條n，隨著線段AC（C為圓B上的動點）的中垂線條數(shù)的增多，包絡的呈現(xiàn)越發(fā)清晰，圓錐曲線便呈現(xiàn)在學生眼前；拖動改變A、B 的相對位置可發(fā)現(xiàn)更多的精彩，當A 點從圓B 外運動到圓B 內(nèi)時，包絡線由雙曲線變成了橢圓，這樣的動態(tài)變化過程恰好表明了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一性；從外在的包絡現(xiàn)象到內(nèi)在的數(shù)學原理探尋，數(shù)學知識便找到了很好的落腳點。以雙曲線為例，取包絡上的任意一點P，|PA-PB|=|PC-PB|=BC（P 為線段AC的垂直平分線上的點，從而PA=PC），從而P 點的軌跡為以A、B 為焦點的雙曲線。從發(fā)現(xiàn)包絡的“驚詫”、動態(tài)聯(lián)系的“美妙”到本質(zhì)探尋的“原來如此”，數(shù)學學習的意義和價值在這樣的活動設(shè)計中得到很好的彰顯。

四、方法提煉中的融合設(shè)計

學數(shù)學就要解數(shù)學題，通過解題可以幫助學生深刻理解數(shù)學概念、掌握數(shù)學方法進而錘煉數(shù)學思維。從而數(shù)學教學的一個很重要的任務，就是教學生學習如何解數(shù)學題，教學生學會數(shù)學地思維。當然數(shù)學題目類型的千差萬別決定了解題方法的多樣性、復雜性，因此，探尋方法也就沒有固定的規(guī)律可循。應用技術(shù)創(chuàng)設(shè)探究情境，可以讓學生有機會嘗試從不同的角度探究問題的各個方面，在展示解題思路的探求過程中解構(gòu)解題策略的形成，思考“怎樣學會解題”，在問題“源與流”的探尋中感悟“原來如此”的美妙。

案例4：導數(shù)零點問題探求。

上述教學設(shè)計的實現(xiàn)離不開技術(shù)的融入，我們通過圖象趨勢觀察（取勢）、放縮本質(zhì)思考（明道）達成優(yōu)化解題方案（優(yōu)術(shù)），事實上解題教學的價值和意義恰恰在于教會學生“怎樣應用數(shù)學方法”“如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學結(jié)論”，而解題策略的獲取、解題觀點的提升、思維層次的優(yōu)化自然是教學設(shè)計中的重要考量。

隨著教育信息化2.0時代的到來，數(shù)學教育由主要強調(diào)紙筆計算向充分使用現(xiàn)代教育技術(shù)轉(zhuǎn)變已經(jīng)是歷史的必然。實現(xiàn)技術(shù)與數(shù)學教學的深度融合，要求我們在深入理解與掌握技術(shù)的基礎(chǔ)上實施能有效變革課堂教學結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新教學模式，要在構(gòu)建互動交流的數(shù)學學習環(huán)境的同時促進學生數(shù)學思維的提升。