包玉蘭 張文偉

題型一：二分法

二分法只適用于變號(hào)零點(diǎn)，二分法是求方程的根的近似值的一種方法。記憶口訣：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看，同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間。周而復(fù)始怎么辦?精確度上來判斷。

例1 用二分法求函數(shù)f(x)=ln(x+1)+x-1 在區(qū)間[0，1]上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01 時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為____。

題型二：函數(shù)零點(diǎn)的求法

求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)通常有兩種方法：一是令f(x)=0，根據(jù)方程f(x)=0 的根可求得函數(shù)的零點(diǎn)；二是畫出函數(shù)y=f(x)的圖像，其圖像與x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)。

A.{1} B.{-1}

C.{-1，1} D.{-1，0，1}

解：當(dāng)x≤0時(shí)，由f(x)=x+1=0，可得x=-1；當(dāng)x＞0時(shí)，由f(x)=log2x=0，可得x=1。故函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為{-1，1}。應(yīng)選C。

題型三：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的三種方法：①解方程法，當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，確定方程是否有根落在給定區(qū)間上；②定理法，利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷；③數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，通過觀察圖像與x 軸在給定區(qū)間上的交點(diǎn)來判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像在給定區(qū)間上的交點(diǎn)來判斷。

例3 函數(shù)f(x)=x+lnx-3 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )。

A.(0，1) B.(1，2)

C.(2，3) D.(3，4)

解：(利用零點(diǎn)存在性定理)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是增函數(shù)，且f(2)=ln2-1＜0，f(3)=ln3＞0，所以由零點(diǎn)存在性定理可得f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2，3)。應(yīng)選C。

(利用數(shù)形結(jié)合法)函數(shù)f(x)=x+lnx-3 的零點(diǎn)所在區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=lnx 與h(x)=-x+3的圖像的交點(diǎn)橫坐標(biāo)所在的范圍。畫出函數(shù)g(x)=lnx，h(x)=-x+3 的圖像(圖略)，由圖可知f(x)的零點(diǎn)在(2，3)內(nèi)。應(yīng)選C。

題型四：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的四種方法：①直接法，令f(x)=0，如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)。②定理法，利用零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還要結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)。③圖像法，函數(shù)f(x)的圖像與x 軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。④性質(zhì)法，利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。有1個(gè)，即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。

題型五：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的范圍

已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)取值范圍的三種方法：①直接法，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍。②分離參數(shù)法，先將參數(shù)分離，然后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決。③數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后利用圖像的交點(diǎn)求解。

題型六：復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)

求復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，就是求解復(fù)合方程問題。一般地，由方程f[g(x)]=0 分解為f(t)=0 和g(x)=t 求 解，即 先 從 方 程f(t)=0中求t，再代入方程g(x)=t中求出x 的值。

例6 設(shè)函數(shù)f(x)=x2，若函數(shù)g(x)=[f(x)]2+mf(x)+m+3有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為_____。

提示：當(dāng)x≤0 時(shí)，y=f[f(x)]-1=f(2x)-1=log22x-1=x-1。令x-1=0，則x=1，顯然與x≤0矛盾，所以當(dāng)x≤0時(shí)，y=f[f(x)]-1沒有零點(diǎn)。

當(dāng)x＞0時(shí)，分兩種情況：

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，log2x≤0，y=f[f(x)]-1=f(log2x)-1=2log2x-1=x-1，令x-1=0，解得x=1。當(dāng)x＞1時(shí)，log2x＞0，y=

f[f(x)]-1=f(log2x)-1=log2(log2x)-1，令log2(log2x)-1=0，可得log2x=2，解得x=4。

綜上可知，函數(shù)y=f[f(x)]-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2。

題型七：函數(shù)零點(diǎn)中的新定義問題

對(duì)于這類問題，首先要分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條進(jìn)行分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決。

例7 用[a]表示不大于實(shí)數(shù)a 的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè)x1，x2分別是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，則[x1]+[x2]等于_____。

解：因?yàn)閤1，x2分別是方程x+ex=4，x+ln(x-1)=4的根，所以x1，x2分別是函數(shù)g(x)=x+ex-4 和函數(shù)h(x)=x+ln(x-1)-4的零點(diǎn)。

由于g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且g(1)＜0，g(2)＞0，所以1＜x1＜2。由于h(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且h(3)＜0，h(4)＞0，所以3＜x2＜4。據(jù)此可得[x1]=1，[x2]=3，所以[x1]+[x2]=4。

跟蹤訓(xùn)練7：設(shè)函數(shù)f(x)=1+[x]-x，其中[x]表示不超過x 的最大整數(shù)，若函數(shù)y=logax 的圖像與函數(shù)f(x)的圖像恰有3個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是( )。

A.[2，3) B.(2，3]

C.(3，4] D.[3，4)

提示：因?yàn)閒(x+1)=1+[x+1]-(x+1)，而[x+1]=[x]+1，所以f(x+1)=1+[x]+1-x-1=1+[x]-x=f(x)，

即函數(shù)f(x)的周期為1。

當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)=1-x，畫出函數(shù)f(x)在[0，+∞)上的圖像，如圖1 所示(其中函數(shù)y=logax 中的a＞1才滿足題意)。