張德理

基本初等函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，同學(xué)們要牢固掌握其概念、圖像與性質(zhì)以及應(yīng)用等。

題型一：指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

例1 函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖像大致是( )。

解：由f(x)=1-e|x|是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y 軸對(duì)稱(chēng)，可排除B，D。

因?yàn)閑|x|≥1，所以f(x)的值域?yàn)?-∞，0]，排除C。應(yīng)選A。

由圖像可知，函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞增。

因?yàn)閤＞x-1，且x-(x-1)=1，f(0)=1，所以要使f(x)+f(x-1)＞1成立，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像可知，只需滿(mǎn)足x-1＞-1，解得x＞0。故所求x 的取值范圍是(0，+∞)。

題型二：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

有關(guān)指數(shù)不等關(guān)系的比較大小問(wèn)題，?；癁橥谆蛲傅男问剑弥笖?shù)函數(shù)的單調(diào)性，或1，0，-1 等中間量進(jìn)行比較。簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題，主要是利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論。形如y=a2x+b·ax+c(a＞0，且a≠1)型函數(shù)的最值問(wèn)題常用換元法，即令t=ax轉(zhuǎn)化為y=t2+bt+c 的最值問(wèn)題，但要注意t 的取值范圍。

題型三：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小決定了圖像相對(duì)位置的高低，無(wú)論是a＞1還是0＜a＜1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖像對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大。在x 軸上方，圖像從左到右相應(yīng)的底數(shù)由小變大；在x 軸下方，圖像從右到左相應(yīng)的底數(shù)由小變大(無(wú)論在x 軸的上方還是下方，底數(shù)都按順時(shí)針?lè)较蜃兇?。研究對(duì)數(shù)型函數(shù)圖像的思路：一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換得到，特別地，要注意底數(shù)a＞1或0＜a＜1這兩種不同情況。

例3 函數(shù)f(x)=|loga(x+1)|的大致圖像是( )。

解：(方法1)函數(shù)f(x)=|loga(x+1)|的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，且對(duì)任意的x，均有f(x)≥0，結(jié)合選項(xiàng)可知選C。

(方法2)f(x)=|loga(x+1)|的圖像可由y=logax 的圖像向左平移1個(gè)單位，再把x 軸下方向上翻折得到的，結(jié)合選項(xiàng)知選C。

跟蹤訓(xùn)練3：已知函數(shù)f(x)=|lnx|。若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，則a+4b 的取值范圍是( )。

A.(4，+∞)

B.[4，+∞)

C.(5，+∞)

D.[5，+∞)

題型四：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)a 的值有關(guān)，在研究對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要按0＜a＜1和a＞1進(jìn)行分類(lèi)討論。求解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題，先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解，對(duì)于某些對(duì)數(shù)不等式問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像，利用數(shù)形結(jié)合法求解。解決對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題要注意三點(diǎn)：①分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0，1)，還是a∈(1，+∞)。②無(wú)論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個(gè)性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行。③一定要注意對(duì)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的等價(jià)性。

題型五：冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

這類(lèi)問(wèn)題要借助冪函數(shù)的圖像，理解冪函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性，準(zhǔn)確掌握冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較。

題型六：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)在高考中單獨(dú)考查的頻率較低，與一元二次方程、一元二次不等式等知識(shí)交匯命題是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用。

例6 圖2 是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 圖像的一部分，圖像過(guò)點(diǎn)A(-3，0)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1?，F(xiàn)給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a-b=1；③a-b+c=0；④5a＜b。

其中正確的結(jié)論是( )。

A.②④ B.①④

C.②③ D.①③

題型七：函數(shù)圖像的應(yīng)用問(wèn)題

利用函數(shù)圖像可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，如利用函數(shù)圖像解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程根的問(wèn)題、有關(guān)不等式問(wèn)題等，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想求解。

例7 已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x，則下列結(jié)論正確的是( )。

A.f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，+∞)

B.f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(-∞，1)

C.f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(-1，1)

D.f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(-∞，0)

由圖可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(-1，1)上單調(diào)遞減。應(yīng)選C。

提示：要 使 當(dāng)x ∈(1，2)時(shí)，不 等 式(x-1)2＜logax 恒成立，只需函數(shù)y=(x-1)2在(1，2)上的圖像在y=logax 的圖像的下方即可。

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，顯然不成立。如圖4，當(dāng)a＞1時(shí)，要使當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，y=(x-1)2的圖像在y=logax 的圖像的下方，只需滿(mǎn)足(2-1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1＜a≤2。

故實(shí)數(shù)a 的取值范圍是(1，2]。應(yīng)選A。