趙春燕 鐘琴

【摘? 要】應(yīng)用型本科高校該如何有效培養(yǎng)符合社會(huì)需求的高質(zhì)量應(yīng)用型人才是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，本文針對(duì)當(dāng)前《概率統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)中存在的問(wèn)題，結(jié)合其學(xué)科特點(diǎn)，探討了進(jìn)行以應(yīng)用為導(dǎo)向的教學(xué)改革的必要性，并闡述了從傳授知識(shí)向培養(yǎng)能力轉(zhuǎn)變的改革途徑與方法，即將數(shù)學(xué)建模引入課堂，讓數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)零距離，從而拓展學(xué)生的視野、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最終提高教學(xué)效益。

【關(guān)鍵詞】 應(yīng)用型人才;《概率統(tǒng)計(jì)》課程教改;數(shù)學(xué)建模

1.當(dāng)前《概率統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是理工農(nóng)醫(yī)類及經(jīng)管類學(xué)生普遍學(xué)習(xí)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課和必修課，雖然自改革開(kāi)放以來(lái)教材內(nèi)容、教學(xué)方式不斷地深化改革以適應(yīng)日益數(shù)學(xué)化的時(shí)代發(fā)展特征、更好地提高教學(xué)質(zhì)量，但是目前它留給人們的印象仍然是“高高在上、自我陶醉”的樣子，特別是對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，當(dāng)前概率統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)效果尚未盡如人意。主要表現(xiàn)為：學(xué)生在完成本課程的學(xué)習(xí)之后仍然不能真正理解所學(xué)的概念、公式、定理，更難以運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題，從而造成一種“學(xué)無(wú)所用”的感覺(jué)。究其原因主要是：在傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，沒(méi)有通過(guò)大量具有典型性、時(shí)效性的實(shí)際案例來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力，對(duì)實(shí)踐創(chuàng)新能力的培養(yǎng)方面還相當(dāng)欠缺。

2.實(shí)施以應(yīng)用為導(dǎo)向的教學(xué)改革的必要性

認(rèn)清《概率統(tǒng)計(jì)》課程目前存在的主要問(wèn)題后，深感教學(xué)改革的必要性和緊迫性。但是，如何改革呢？對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生設(shè)置數(shù)學(xué)課程不僅僅是為專業(yè)課服務(wù)的工具，更不是培養(yǎng)數(shù)學(xué)家，而是全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

現(xiàn)階段，面對(duì)激烈競(jìng)爭(zhēng)，國(guó)家產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)，社會(huì)迫切需要應(yīng)用型人才。國(guó)家發(fā)改委、教育部為回應(yīng)這一需求共同推進(jìn)了應(yīng)用型高校建設(shè)。相對(duì)于研究型大學(xué)注重知識(shí)的系統(tǒng)性和理論性的人才培養(yǎng)模式，應(yīng)用型本科高校應(yīng)該確立“以社會(huì)需求為導(dǎo)向、以應(yīng)用型人才培養(yǎng)為目標(biāo)、從傳授知識(shí)向培養(yǎng)能力轉(zhuǎn)變、理論實(shí)踐并重”的人才培養(yǎng)模式。應(yīng)用型高校的教學(xué)應(yīng)該秉承“學(xué)有所用、學(xué)以致用”的宗旨，培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)發(fā)展并進(jìn)而能服務(wù)于社會(huì)的各類人才。為此，我們的教學(xué)就必須盡量多地與社會(huì)發(fā)展接軌、與市場(chǎng)需求接軌。

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》正是一門在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展起來(lái)的學(xué)科，有著很強(qiáng)的應(yīng)用性，其思想方法已經(jīng)滲透到人工智能、金融、農(nóng)業(yè)、醫(yī)療、軍事、生物、社會(huì)等許多領(lǐng)域。教師在授課過(guò)程中就應(yīng)該結(jié)合這些應(yīng)用來(lái)開(kāi)展教學(xué)，讓學(xué)生了解所學(xué)知識(shí)有何用處，從而激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。更重要的是：只有圍繞這些應(yīng)用展開(kāi)學(xué)習(xí)，才能使學(xué)生尤其是非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更深刻的掌握相關(guān)理論知識(shí)，從而更好地運(yùn)用于實(shí)踐并成長(zhǎng)為社會(huì)需要的人才。

3.將數(shù)學(xué)建模思想融入應(yīng)用案例的教學(xué)模式探索

傳統(tǒng)的教學(xué)方法與實(shí)踐應(yīng)用之間的脫節(jié)，造成了學(xué)生雖然系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)卻不知道如何應(yīng)用;而最能激發(fā)學(xué)生興趣、培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和能力并使之印象深刻的則是貼近生活、與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題和案例。雖然教材上也有一些應(yīng)用例題和習(xí)題，但是大多資料要么內(nèi)容過(guò)于理想化、要么蜻蜓點(diǎn)水。而數(shù)學(xué)建模則在數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題之間架設(shè)的一座橋梁，是彌補(bǔ)“理論脫離實(shí)際”這一缺陷的必由之路。因此，概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)改革可以將經(jīng)典的或是與時(shí)俱進(jìn)的應(yīng)用問(wèn)題作為案例引入到課程教學(xué)中，通過(guò)數(shù)學(xué)建模思想的融入，可以培養(yǎng)學(xué)生概括抽象問(wèn)題的綜合能力和處理不同問(wèn)題的應(yīng)變能力，兩方面能力可進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生“以問(wèn)題為導(dǎo)向，加強(qiáng)問(wèn)題意識(shí)，自覺(jué)提高應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力”。這種將不同領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題作為案例引入到《概率統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)模式，有助于培養(yǎng)學(xué)生重視應(yīng)用、勇于應(yīng)用、善于應(yīng)用的思維和能力。由于重視應(yīng)用，從而主動(dòng)獲取多方面的理論知識(shí)，進(jìn)而獲得更多實(shí)踐機(jī)會(huì)，更加重視應(yīng)用能力;由于善于應(yīng)用，才能聯(lián)系理論與實(shí)踐，并形成良性的促進(jìn)和循環(huán)。下面介紹兩個(gè)教學(xué)案例拋磚引玉：

案例1 古典概型與生日重合及指紋識(shí)別問(wèn)題：

（1）生日重合的緣分有多大？

《紅樓夢(mèng)》62回中有這樣一段話——探春笑道：“倒有些意思，一年十二個(gè)月，月月有幾個(gè)生日。人多了，就這樣巧，也有三個(gè)一日的，兩個(gè)一日的……過(guò)了燈節(jié)，就是大太太和寶姐姐，他們娘兒兩個(gè)遇的巧……”

我們可以利用古典概型來(lái)計(jì)算上述探春說(shuō)到的“遇的巧”的概率，即個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率。

①模型假設(shè)：生日相同是指出生的月及日都相同即可（不含年份），個(gè)人中無(wú)雙胞胎，一年有天（或）。

②模型建立：由古典概型及排列組合的理論可計(jì)算出個(gè)人的生日全不相同的概率為：

那么個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率就為

③模型求解：以為例，取不同值時(shí)的近似值計(jì)算結(jié)果如表1所示?？梢?jiàn)，在60個(gè)人的群體中至少有兩個(gè)人生日相同的概率高達(dá)99%，我們還可以進(jìn)一步計(jì)算，在多于23人的群體中，至少有兩個(gè)人生日相同的概率會(huì)超過(guò)50%。

（2）指紋是唯一的嗎？

指紋作為證據(jù)之首，以其特征的唯一性、穩(wěn)定性得到了世界法庭科學(xué)的公認(rèn)，在全世界的司法審判中一直受到倚重。然而，這個(gè)實(shí)行了近百年的起訴工具卻于2002年在美國(guó)受到了挑戰(zhàn)：費(fèi)城法院

的資深法官路易斯.H.波拉克2002年1月6日做出了一項(xiàng)破天荒的判決，宣布檢察官在一宗謀殺案中呈送的指紋證據(jù)因缺乏科學(xué)性而不予采納。人們開(kāi)始對(duì)指紋作為證據(jù)提出質(zhì)疑：用小小的指紋判定“我是誰(shuí)”科學(xué)嗎？是否每一個(gè)人都擁有獨(dú)特的指紋？?jī)蓚€(gè)不同的人的指紋被認(rèn)定成同一個(gè)指紋的可能性有多大？2004年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM 2004）的A題就引導(dǎo)大學(xué)學(xué)生們關(guān)注了這一熱點(diǎn)問(wèn)題。為了說(shuō)明指紋的唯一性，我們希望得到任意兩個(gè)人的指紋都不同，或者任意兩個(gè)人的指紋相同的概率非常小、幾乎為零的結(jié)論，這可以仿照生日重合問(wèn)題的方法來(lái)解決。

①模型假設(shè)： 指紋識(shí)別主要通過(guò)比較特征點(diǎn)來(lái)完成;特征點(diǎn)可能分布在指紋的最多個(gè)位置上，每個(gè)位置至多一個(gè)特征點(diǎn)，所有特征點(diǎn)的分布均勻且相互獨(dú)立;具有相同細(xì)節(jié)特征的兩個(gè)指紋是相同的。

②模型建立：類似生日重合問(wèn)題，設(shè)不同指紋的總數(shù)為，那么在一個(gè)人組成的集合中至少有兩個(gè)人指紋相同的概率為

③模型求解：如果采用上面的模型來(lái)解釋指紋的唯一性，我們需要解決兩個(gè)問(wèn)題，即不同指紋的總數(shù)量及所研究群體的人數(shù)。其中后者的確定比較簡(jiǎn)單，據(jù)資料顯示，地球上生活過(guò)的人口總數(shù)估計(jì)為人，由于人數(shù)仍在不斷增加，可按人計(jì)算，大約占總數(shù)6%的人正生活在地球上，可取一定的數(shù)量級(jí)或具體的人數(shù)皆可;至于前者的確定則相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)。

為了討論問(wèn)題的方便，我們先不考慮特征點(diǎn)的方向，即認(rèn)為特征點(diǎn)沒(méi)有方向差異，那么一個(gè)指紋就由特征點(diǎn)的數(shù)目及其位置分布所決定了。具體來(lái)說(shuō)，如果特征點(diǎn)可能分布在指紋的最多個(gè)位置上且每個(gè)位置至多一個(gè)特征點(diǎn)、所有特征點(diǎn)的分布相互獨(dú)立，那么個(gè)特征點(diǎn)就有種可能的分布方式，即由個(gè)特征點(diǎn)所決定的不同指紋的數(shù)目恰為組合數(shù)，因此不同指紋的總數(shù)就為

如果進(jìn)一步考慮特征點(diǎn)的方向，比如逆脊和順脊兩個(gè)方向，那么由個(gè)特征點(diǎn)所決定的不同指紋的數(shù)目為，此時(shí)不同指紋的總數(shù)為：

要是考慮更多的方向，比如個(gè)，那么對(duì)應(yīng)的不同指紋的總數(shù)則為：

經(jīng)估算，特征點(diǎn)分布的可能位置總數(shù)的取值在1100～1600個(gè)，但是由于計(jì)算機(jī)的限制，當(dāng)時(shí)，計(jì)算比較困難。不妨考慮計(jì)算其中一部分的和，即盡管指紋上的特征點(diǎn)個(gè)數(shù)最多可達(dá)個(gè)，但是我們只考慮原式的前面項(xiàng)的和。顯然，如果據(jù)此能說(shuō)明指紋出現(xiàn)重合的概率非常小，那么當(dāng)指紋總數(shù)增加時(shí)就更能達(dá)到預(yù)期效果了。由于指紋識(shí)別過(guò)程中建立指紋特征模板時(shí)，特征點(diǎn)的數(shù)目常達(dá)100～200個(gè)，因此這里?。ㄒ部扇⌒∮诘钠渌麛?shù)）。

下面我們考慮特征點(diǎn)的不同方向，即取或，分別記

在分別取1100及1600時(shí)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的部分指紋數(shù)目和如表2所示。

接下來(lái)計(jì)算不同群體規(guī)模所對(duì)應(yīng)的指紋重合概率和，如表3所示，可以看到，指紋重合概率的最大數(shù)量級(jí)為，這是一個(gè)非常小的數(shù)。于是，我們可以得出結(jié)論：任意兩個(gè)人的指紋是不同的，即指紋具有唯一性。

4.結(jié)束語(yǔ)

總之，為了適應(yīng)應(yīng)用型本科高校的建設(shè)，秉承“學(xué)有所用、學(xué)以致用”的教學(xué)宗旨，《概率統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的具體情況，適當(dāng)?shù)卣{(diào)整教學(xué)內(nèi)容及模式，努力挖掘理論知識(shí)中能與生產(chǎn)、生活實(shí)際較好結(jié)合的思想方法和模型，讓數(shù)學(xué)與現(xiàn)代生活零距離，通過(guò)充實(shí)大量貼近生活、與學(xué)生所學(xué)專業(yè)相關(guān)的實(shí)際案例，拓展學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力。

通訊作者：鐘琴

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基金項(xiàng)目：四川大學(xué)錦江學(xué)院教改項(xiàng)目（JG201728）。

作者簡(jiǎn)介：趙春燕（1983-），女，講師，主要從事應(yīng)用統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模及教學(xué)法的研究。