曹克凡

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提倡數(shù)學(xué)教學(xué)要重視利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象。顯而易見，借助“圖”來表達(dá)思維，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn)。對(duì)于小學(xué)生而言，畫圖可以使抽象的問題變得形象直觀，可以使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得淺顯易懂。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要善于根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生創(chuàng)造應(yīng)用畫圖的策略去解決問題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到畫圖解決問題的價(jià)值，助力學(xué)生形成主動(dòng)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題、思考問題、探究問題的能力，發(fā)展學(xué)生的思維水平。那么，如何在教學(xué)中，巧妙地依托教學(xué)內(nèi)容來幫助學(xué)生應(yīng)用畫圖策略來凸顯個(gè)性思維呢？筆者從以下幾個(gè)方面進(jìn)行了嘗試和探索。

“畫”繁為簡

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。”顯而易見，數(shù)與形雖然各自存在于兩個(gè)不同的領(lǐng)域之中，但是它們卻猶如鳥之兩翼、車之雙輪，相輔相成，相互轉(zhuǎn)化，相互作用。也就是說，不論是研究形，還是研究數(shù)，如果能有效地將這二者進(jìn)行巧妙結(jié)合，將有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀能力，更好地理解、學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。這恰恰正是數(shù)形結(jié)合思想的核心價(jià)值的體現(xiàn)。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，教師要平衡好數(shù)與形的這種關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使兩者之間互相結(jié)合、互相借用、互相促進(jìn)，通過兩者的緊密結(jié)合，達(dá)到化繁為簡、以簡馭繁，達(dá)到啟發(fā)思考和解決問題的目的。

以小學(xué)四年級(jí)的“雞兔同籠”問題為例，該問題是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。由于題目里數(shù)量之間的關(guān)系比較隱蔽，并且抽象的數(shù)學(xué)語言給學(xué)生理解和解決起來帶來不小的困難。那么如何能讓學(xué)生厘清煩瑣的數(shù)量關(guān)系，將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化，這需要我們深挖教材，把表象的東西形象化，借助直觀的圖形把問題化繁為簡，探尋出“雞兔同籠”問題中所蘊(yùn)含的規(guī)律，從中剝離出解決問題的思路。筆者是這樣教學(xué)的——出示問題：“雞兔同籠，有20只頭，54條腿，雞、兔各有多少只？”題目中只有這兩個(gè)已知數(shù)據(jù)的條件，但是學(xué)生難以找到二者之間有什么直接而又明顯的關(guān)聯(lián)，難以想到如何把這二者進(jìn)行一個(gè)有效的溝通和串聯(lián)。其實(shí)，題目中還隱藏著雞有2條腿和兔有4條腿這樣的兩個(gè)常識(shí)信息，題面上沒有表述。因此，首先讓學(xué)生把問題中的所有已知信息找全找齊，然后，引導(dǎo)學(xué)生畫簡單的示意圖。

師：根據(jù)已知條件，可以先畫什么？

生：（由“雞兔有20只頭”會(huì)自然地想到）先畫20個(gè)圓圈表示20個(gè)頭。

師：20表示誰的頭？

生：20表示雞和兔一共的總頭數(shù)。

師：20只頭畫好了，想想那54條腿怎么畫呢？

生：先在每個(gè)圓下面畫上兩條腿。

師：為什么每只頭下先畫出兩條腿？

生：因?yàn)椴徽撌请u或者是兔，至少有2條腿。（于是讓學(xué)生給每個(gè)圓先畫上2條腿。）

師：20只動(dòng)物你一共畫了多少條腿？

生：20×2=40，用了40條腿。

師：（啟發(fā)）題目中告訴我們一共有幾條腿呢？腿畫完了嗎？

生：應(yīng)該是54條腿，現(xiàn)在還剩下14條腿。

師：那這剩下的14條腿該怎么辦呢？

生：把剩下的14條腿再分別給每只頭下添上兩條。

師：那試試看，會(huì)有什么結(jié)果？

學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)剩下的14條腿正好可以畫在其中的7只動(dòng)物上。并且，從圖上一眼就可以看出這7只就是4條腿的兔子，另外的13只就是2條腿的雞。從而通過簡單的畫圖操作，解決了問題。但是，此時(shí)，并沒有急于結(jié)束。教師接著引導(dǎo)：“剛才我們是先給每只動(dòng)物畫上2條腿，那如果要先給每只動(dòng)物畫上4條腿，又會(huì)是什么情況呢？你能不能自己試試？”學(xué)生們很感興趣，隨即畫了起來。在師生們的共同操作下，探索出這次要把腿依次減少，同樣也得到了和剛才一樣的結(jié)論。就這樣，原本學(xué)生一籌莫展，百思不得其解的雞兔同籠問題，在這樣一個(gè)簡單的畫一畫過程中得到解決。雖然這只是一個(gè)簡單操作活動(dòng)，但是在畫圖的過程中充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，經(jīng)歷了一個(gè)探索的過程。重要的是，通過這三個(gè)步驟的畫，把抽象的假設(shè)法簡單得以融和，從而學(xué)生對(duì)假設(shè)法的理解水到渠成，起到了意想不到的效果。

“畫”里有話

乘法分配律是小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn)之一。它是學(xué)生在學(xué)習(xí)了加法交換律、加法結(jié)合律以及乘法交換律、乘法結(jié)合律的基礎(chǔ)上教學(xué)的，對(duì)于學(xué)生來說，還是一個(gè)比較抽象的概念。讓學(xué)生經(jīng)歷“具體——抽象——具體”的認(rèn)識(shí)過程，在多種探究方法的環(huán)境下去尋找特點(diǎn)，概況規(guī)律，是教師重點(diǎn)思考的問題。對(duì)于正處于由形象思維向抽象思維過渡的四年級(jí)學(xué)生而言，如果能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，潛移默化地讓學(xué)生借助抽象圖形，在直觀的操作或演示中讓學(xué)生輕松自如地理解運(yùn)算律，獲得運(yùn)算律的普遍意義，并用抽象的字母符號(hào)表示運(yùn)算律，則是一種上佳的教學(xué)策略。

例如，對(duì)于圖一這道例題，讓學(xué)生用兩種不同的方法解答，這對(duì)于學(xué)生來說并不是難事。但是如果只是單純地對(duì)照兩種方法來認(rèn)識(shí)乘法分配律，恐怕學(xué)生理解起來也只是看形似，而對(duì)于神似的理解估計(jì)就難以深入了。所以，重要的是怎么讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的意義理解得更加完整和深刻。為此，筆者并不急于先讓學(xué)生列出算式算出結(jié)果，而是先請(qǐng)學(xué)生想一想，怎樣通過畫圖來解釋自己的思路。學(xué)生積極動(dòng)腦筋思考，并嘗試畫出展現(xiàn)自己的想法，表達(dá)自己所要說的話，實(shí)現(xiàn)畫里有話。

圖二是選自其中一位學(xué)生的畫法。從中可以看出，學(xué)生在畫圖的過程中，進(jìn)一步體會(huì)了計(jì)算的思路，清晰的圖意表達(dá)了學(xué)生想要說的話。右邊的算式反映出了學(xué)生對(duì)于先算什么再算什么，兩種算法之間有什么聯(lián)系十分明確。通過“畫、算、想”幾個(gè)鮮明的層次活動(dòng)，學(xué)生對(duì)于乘法分配律有了更加深刻的認(rèn)識(shí)和理解。筆者認(rèn)為，正是這種有意識(shí)地、有目的地讓學(xué)生畫圖表達(dá)思考，讓學(xué)生通過畫圖把算法顯性化，將思維可見，化抽象為直觀，才會(huì)更加有效地促進(jìn)和助推學(xué)生對(duì)知識(shí)的消化與理解，在形象思維和抽象思維的共同作用下完成抽象過程。

出謀“畫”策

通常，人的思維往往習(xí)慣于順向思維，尤其是小學(xué)生在思考問題時(shí)大多是按照已經(jīng)提出的問題從正面方向考慮，不斷由起始線索順藤摸瓜，一步步探索問題的答案。但有些問題往往難以找到起始線索為突破口去解決問題，導(dǎo)致無從下手，舉步維艱。比如，有這樣一道題（圖三）：“池塘里的浮萍每天長大一倍，如果第18天長滿整個(gè)池塘，那么第幾天長到池塘的 ？”學(xué)生讀完題目之后，剛開始試圖想通過第一天浮萍的量推導(dǎo)出結(jié)果，然而第一天的浮萍數(shù)量究竟是多少？而題目中沒有給出這個(gè)條件，也無從獲得，這便成了解決這個(gè)問題的一個(gè)無法逾越的障礙，結(jié)果自然是無疾而終。這種順向思考問題的方式對(duì)于解決這道題行不通。假若換一種思維方式，采用逆向思維的方法，即從問題的反向角度進(jìn)行思考，再以圖作輔助和補(bǔ)充，就不難發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。

于是，筆者提醒學(xué)生：第一天的浮萍量我們不得而知，那能不能把第18天的浮萍量先畫下來？學(xué)生思考后，紛紛動(dòng)手去畫。有的學(xué)生畫了一個(gè)圓并涂滿顏色表示第18天的浮萍量，有的畫了一個(gè)正方形并涂滿顏色表示第18天的浮萍量，有的學(xué)生畫了一條線段表示第18天的浮萍量，等等。此時(shí)，筆者繼續(xù)追問：那能不能在這幅圖上找到是第幾天長滿池塘的 的呢？于是，學(xué)生繼續(xù)觀察自己的圖，想到既然是整個(gè)池塘的 ，那就先把整個(gè)池塘平均分成4份，其中的一份的時(shí)間就是問題的答案。于是，學(xué)生把圖平均分成4份，表示了其中的一份。那究竟是第幾天呢？接著，筆者提醒學(xué)生題目中已知“浮萍每天長大一倍”是什么意思？學(xué)生認(rèn)為就是今天的浮萍量是昨天的2倍，昨天的浮萍量是前天的2倍……以此類推。筆者繼續(xù)引導(dǎo)：那現(xiàn)在知道了第18天的浮萍量是蓋滿整個(gè)池塘，由此你能想到哪一天的浮萍量呢？能用圖表示出來嗎？學(xué)生們恍然大悟，由第18天的浮萍量是蓋滿整個(gè)池塘，可以想到第18天的前一天即第17天的浮萍量，也就是浮萍蓋滿了半個(gè)池塘。緊接著讓學(xué)生用圖表示出第17天的浮萍。那如果再繼續(xù)倒著往前一天推呢？學(xué)生繼續(xù)用圖表示第16天的浮萍。結(jié)果發(fā)現(xiàn)這不就是整個(gè)池塘的 嗎？從而順理成章的了答案。

真是柳暗花明。此時(shí)，教學(xué)并沒有急于結(jié)束，而是讓學(xué)生回顧剛才解題的全過程。當(dāng)學(xué)生在談到感受和收獲時(shí)，一方面說到有時(shí)解決問題可以采用倒推的思考方式;另一方面，可以借助圖形來幫助自己思考，結(jié)合圖來分析問題更容易等?？梢姡瑢W(xué)生在這個(gè)過程中，不僅有了解決問題成功的體驗(yàn)，同時(shí)逐步形成了借助圖形靈活思考的意識(shí)，思維得到了有效培養(yǎng)。

“畫”中提升學(xué)習(xí)能力

有這樣一道題：“老師和學(xué)生們一起開展植樹活動(dòng)。老師每人植2棵，學(xué)生每兩人植1棵，這次活動(dòng)一共植19棵，可能有幾個(gè)老師，幾個(gè)同學(xué)參加植樹活動(dòng)？”（可以列式，也可以畫一畫）這道題目不是書本上一般形式的解決問題的題目，學(xué)生讀完之后，對(duì)于題目中的幾個(gè)數(shù)量關(guān)系并不能很容易地就理清楚它們之間的關(guān)系，如果讓三年級(jí)學(xué)生直接通過列式來表達(dá)自己的想法，解決起來會(huì)有一定的困難。好在題目上不做硬性要求，表達(dá)形式上可以選擇畫一畫。有的同學(xué)就利用了自己這方面的優(yōu)勢(shì)，通過畫一畫找到了解決的思路。圖四是一個(gè)同學(xué)的真實(shí)圖畫，反映出了這位學(xué)生的思維方式。只要給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，他們能畫出直觀、形象的圖畫。這些圖畫不僅能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，還能幫助他們展開思考和想象。

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)數(shù)學(xué)化過程。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）提出：“建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符合建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。”而數(shù)學(xué)模型就是在學(xué)生不斷思考、質(zhì)疑中建構(gòu)起來的。

上面這個(gè)學(xué)生有了自己的想法后，自己嘗試把自己的想法畫下來，在畫的過程中，他會(huì)更深入、更認(rèn)真地想。在這樣的思考過程中，自然會(huì)對(duì)自己的想法進(jìn)行不斷質(zhì)疑，不斷求證，不斷完善。借助“圖形模型”，最后借助圖直觀表達(dá)出自己的思路。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)經(jīng)歷兩次抽象過程，不知不覺地實(shí)現(xiàn)了從“情境”到“模型”的過渡。這種深入地獨(dú)立思考更容易讓學(xué)生形成獨(dú)立的個(gè)人見解和看法，有助于學(xué)生不斷探究知識(shí)本質(zhì)、尋找規(guī)律、追求真理的精神培養(yǎng)。并且，學(xué)生以熟悉的生活問題為載體，綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)探究問題解決的方法，從而使學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并有效地發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的核心素養(yǎng)，在今后的教學(xué)過程中，教師要給予學(xué)生充足的學(xué)習(xí)時(shí)間和空間，并營造寬松的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生可以用自己喜歡的思維方式，在生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上，自主探究問題，充分大膽嘗試，這樣，學(xué)生才會(huì)有學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

結(jié)束語

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師如果能夠結(jié)合具體內(nèi)容，適時(shí)適當(dāng)、因地制宜地選擇畫圖進(jìn)行有機(jī)的輔助，讓“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，相互作用，引導(dǎo)學(xué)生“畫”出直觀，并經(jīng)歷探索解決問題方法的過程，將會(huì)凸顯出不同的個(gè)性思維，彰顯數(shù)形結(jié)合的核心。

（作者單位：江蘇省徐州市星光小學(xué)）